3.1. Дифференциальные уравнения Эйлера. Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме

Соотношение между силами, действующими на жидкость, которая находится в состоянии покоя, определяющее условия равновесия жидкости, выражается дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера.

В жидкости выделим элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx ,dy, dz, расположенными параллельно осям координат х, у и z.

На выделенный параллелепипед действуют массовые и поверхностные силы. В данном случае поверхностные силы – силы давления на грани параллелепипеда.

Рисунок 3 – Элементарный параллелепипед

Рассмотрим условие равновесия выделенного элементарного объема.

Обозначим через X, Y, Z проекции единичных массовых сил на оси координат, представляющих собой проекции ускорений на соответствующие координатные оси. Массовые силы, действующие на выделенный элементарный объем в направлении координатных осей, будут равны произведению ускорений на массу элементарного объема . Например, проекция массовой силы на ось х представляет собой:

Сила гидростатического давления на любую из граней параллелепипеда равна произведению гидростатического давления р на площадь этой грани (). Будем считать, что давление р является функцией всех трех координат:

,

Согласно основному принципу статики, сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объем, находящийся в равновесии, равна нулю. В противном случае происходило бы перемещение жидкости.

Рассмотрим сумму проекций сил на ось x. Сила гидростатического давления действует на левую грань параллелепипеда по нормали к ней и ее проекция на ось x равна p^.dydz. Изменение гидростатического давления в направлении оси x составляет (градиент давления вдоль оси x). Тогда давление жидкости на правой грани будет равно и сила давления на правую грань равна .

Сумма проекций сил на ось x равна нулю, т.е.

После сокращений получаем:

,

так как это объем параллелепипеда, тогда:

,

Для трех координатных осей соответственно получим:

Это выражение называется системой дифференциальных уравнений Эйлера для покоящейся жидкости.

Разделив все уравнения на плотность и умножив первое уравнение на , второе на и третье на после сложения уравнений, получим:

,

т.к. давление является только функцией координат, то выражение есть полный дифференциал – dp.

,

где

Приращение давления при изменении координат согласно уравнения Эйлера составляет:

полученное уравнение является основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме [1,2,5].

3.2. Основное уравнение гидростатики в интегральной форме

Если на жидкость из массовых сил действует только сила тяжести, то

, а ,

тогда .

Последняя зависимость показывает, что при действии только сил тяжести давление в покоящейся жидкости меняется только по вертикали.

После интегрирования для двух горизонтальных поверхностей 1 и 2, получим:

,

или

Полученную зависимость называют основным уравнением гидростатики в интегральной форме.

Рассмотрим, например, две частицы жидкости, из которых одна расположена в точке 1 внутри объема жидкости – на высоте z от произвольно выбранной плоскости 0 - 0, а другая находится в точке 2 на поверхности жидкости – на высоте z₀ от той же плоскости (рисунок 4). Плоскость 0 – 0 называют плоскостью сравнения. Плоскость сравнения – горизонтальная плоскость, проведенная на произвольной высоте.

Рисунок 4 – К основному уравнению гидростатики

Пусть р и р₀ – давление в точках 1 и 2 соответственно. При этих обозначениях согласно основному уравнению гидростатики:

_,

_или

Член z в уравнении, представляющий собой высоту расположения данной точки над произвольно выбранной плоскостью сравнения 0-0, называется геометрическим напором. Величину называютпьезометрическим напором.

Напором в гидравлике называют удельную энергию жидкости (энергию жидкости, отнесенную к единице веса).

Следовательно, согласно основному уравнению гидростатики, для каждой точки покоящейся жидкости сумма геометрического и пьезометрического напоров есть величина постоянная.

С энергетической точки зрения геометрический напор представляет удельную потенциальную энергию положения данной точки над выбранной плоскостью сравнения, а пьезометрический напор – удельную потенциальную энергию давления в этой точке. Сумма указанных напоров равна общей удельной потенциальной энергии или гидростатическому напору жидкости.

Основное уравнение гидростатики представляет собой частный случай закона сохранения энергии: удельная потенциальная энергия во всех точках покоящейся жидкости есть величина постоянная:

_{Последнее уравнение можно записать в виде}

_или

обозначив через , получим:

,

где – глубина погружения рассматриваемой точки жидкости.

Последнее уравнение является выражением закона Паскаля (еще одна запись основного уравнения гидростатики в интегральной форме), согласно которому давление, создаваемое на поверхности жидкости передается во все точки жидкости одинаково [1-5].