Задача 3.1.
Задана структурная схема для расчёта надёжности системы, по известным интенсивностям отказов её элементов (таблица 1) предполагая, что отказы элементов распределены по экспоненциальному закону. Определить:
вероятность безотказной работы системы;
интенсивность отказа узла системы;
среднее время наработки до первого отказа узла системы.
Таблица 1-Интенсивности отказов элементов
номер варианта |
интенсивность отказа элементов | ||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 | |
24 |
3,19 |
5,25 |
4,61 |
1,88 |
1,88 |
0,78 |
1,87 |
6,52 |
0,98 |
0,85 |
4,35 |
4,35 |
1,89 |
1,89 |
- |
t=2 года=17520ч
Узлы в системе можно представить, с точки зрения надежности, как последовательно так и параллельно соединенные элементы.
Так, например вероятность безотказной работы последовательно соединенных элементов можно определить как произведение вероятностей безотказной работы каждого элемента:
Pc(t)=P1(t)*P2(t) а вероятность отказа qc(t)=1-Pc(t) = 1- P1(t)*P2(t)
А вероятность безотказной работы параллельно соединенных элементов можно найти так:
qc(t)= q1(t)*q2(t); Pc(t)=1- qc(t); Pc(t)=1- (1- P1(t))(1- P2(t))
Вероятность безотказной работы i элемента можно найти по формуле:
Если воспользоваться вышеуказанными правилами вычисления вероятностей безотказной работы для последовательно и параллельно соединенных элементов, то вероятность безотказной работы узла системы (обведенного пунктиром) можно найти по формуле:
,где - вероятности безотказной работы 10-14 элементов соответственно.
Для верхней ветви системы:
В узле «с» кратность общего резервирования замещением m=1, тогда используем следующую формулу:
, где - интенсивность отказов основной системы;-интенсивность отказов резервной системы.
В данном случае:
Вероятность безотказной работы системы:
Среднее время работы до первого отказа узла системы:
(если время возникновения отказов подчиненного экспоненциальному закону).
Упростим выражение:
Упростим следующее выражение:
Интеграл принимает вид:
Продолжим преобразование подынтегрального выражения:
Интеграл вида имеет первообразную:
Учитывая полученный результат определим :
Определим интенсивность отказов узла I:
Частота отказов узла системы может быть найдена по формуле:
Задача №3.2.
Система содержит n групп элементов, каждая j – группа, в свою очередь, содержит Nj элементов, причем λj – интенсивность отказов элементов j – группы. Вероятность безотказной работы системы за время t равна Рк(t). Требуется определить число элементов ЗИПа. Исходные данные приведены в таблице.
№ Вар |
Рк(t) |
t,ч |
n |
Реле |
Резисторы |
Конденсаторы |
Диоды |
Транзисторы | |||||
N1 |
λ1*10-5 |
N2 |
λ2*10-5 |
N3 |
λ3*10-6 |
N4 |
λ4*10-6 |
N5 |
λ5*10-6 | ||||
22 |
0,92 |
17000 |
5 |
20 |
1,4 |
36 |
0,2 |
36 |
1,6 |
28 |
2,5 |
40 |
0,95 |
Определим интенсивности отказов групп элементов:
Определим вероятность безотказной работы групп элементов:
Определим вероятность безотказной работы системы при последовательном соединении без ЗИПа:
Определим коэффициент ЗИПа:
Для холодного ЗИПа справедливо выражение:
Число запасных элементов m определяется подбором, при условии
Определим число элементов ЗИПа для реле:
Подбором установлено m≥8
Определим число элементов ЗИПа для резисторов:
Подбором установлено m≥3
Определим число элементов ЗИПа для конденсаторов:
Подбором установлено m≥2
Определим число элементов ЗИПа для диодов:
Подбором установлено m≥3
Определим число элементов ЗИПа для транзисторов:
Подбором установлено m≥2