алгебра / дополнительная лит-ра / Начала линейной алгебры

2x1 x2 1,

Пример 6. Решить систему

3x1 2x2 12.

						Решение.								Используем				формулы					Крамера				(6). Здесь
			2				1			2 2 3 1 7,									1			1	1			1 2 12 1 14,
			3				2															12	2
3					2		1				21.
					3		12
Следовательно,												x			14	2 , x			21	3.
												1		7			2		7
						Если рассмотреть систему													третьего					порядка			с матрицей
		a11						a12				a13
A		a				21	a					a		, то для нее также можно получить формулы,
										22		23
		a					a					a
				31						32		33

аналогичные (4), с одинаковыми знаменателями. Эти знаменатели - число, которое определено всеми элементами матрицы A, взятыми по одному разу. Подробно: это число есть алгебраическая сумма шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов матрицы, выбранных из разных строк и разных столбцов:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

(7)

a31 a32 a33

a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a31a22a13 a32a23a11 a12a21a33.

Отметим, произведение трех элементов берем со своим знаком (перед слагаемым знак «+»), если у сомножителей, записанных в порядке возрастания столбцов, номера строк образуют четную пере-

становку [4]: (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2). Таких слагаемых будет 3.

Еще три слагаемых берут со знаком «-» (произведение сомножителей меняет знак на противоположный). В таких слагаемых у сомножителей, упорядоченных по возрастанию столбцов, номера строк образуют нечетную перестановку [4]: (1, 3, 2) или (3, 2, 1), или

(2, 1, 3).

10

Замечание. Определитель можно раскрывать по правилу Саррюса [2]: таблицу определителя дополним его первым и вторым столбцами:

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

Как нетрудно заметить из правой части (7), для вычисления определителя необходимо сложить произведение элементов главной диагонали и тройки сомножителей, расположенных на прямых, параллельных главной диагонали. Затем вычесть произведение элементов побочной диагонали и произведения трех элементов, расположенных на прямых, параллельных побочной диагонали. Определитель также раскрывают, применяя известное правило «звездочки» [1, 2, 5].

Пример 7. Вычислить определитель третьего порядка

3 2 4

A 1 6 7 .

0 5 8

Решение. Применяя правило Саррюса, имеем:

3 2 4 3 2

1 6 7 1 6

0 5 8 0 5

A 3 6 8 2 7 0 4 1 5 4 6 0 3 7 5 2 1 8 43.

Приведем другое, индуктивное, определение определителя. Определитель третьего порядка вычисляется через определители второго порядка.

Определение. Определителем третьего порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения:

a11	a12	a13
a21	a22	a23	a11 A11 a12 A12 a13 A13 .	(8)
a31	a32	a33

11

Здесь обозначено Aij - алгебраическое дополнение элемента aij .

Алгебраическое дополнение определено равенством:

Aij 1 i j Mij ,

где Mij - минор элемента aij - определитель меньшего порядка, ко-

торый остается после вычеркивания в определителе i -й строки и j- го столбца. Ясно, если сумма номеров строки и столбца элемента

– четное число, алгебраическое дополнение совпадает с минором.

Если i j							нечетное число, то алгебраическое дополнение – величи-
на, противоположная минору. В частности,
					A						a22			a23				,		A											a21		a23		,			A		a21	a22		.
11											a			a					12												a		a					13		a	a
											32			33																		31	33							31	32
					Пример 8. Вычислить определитель третьего порядка
																				A							3					2	4
																											1					1	2				.
																											0					5	4
					Решение. Раскрывая по элементам первой строки, имеем
	A		3		1		2		2				1	2		4						1			1				3 4 10 2 4 0 4 5 0 70 .
					5		4						0	4								0			5
					Определение.														Квадратная матрица A называется невырож-
денной, если ее														определитель отличен от																								нуля:		det A 0. Если
det A 0, матрица A называется вырожденной.
					Рассмотрим систему																				линейных алгебраических																уравнений
(СЛАУ) третьего порядка:																									A X B ,
					a11						a12			a13													x1										b1
где A a							21				a			a					, X						x							,	B b					.
										22				23													2										2
					a						a			a													x										b
						31				32				33													3										3

Примем det A 0. Тогда решение системы может быть найдено с помощью формул Крамера:

12

x		1	,	x		2	,	x		3	.	(9)
1				2				3

Здесь det A, а величины в числителях формул – определители, полученные заменой в определителе системы соответственно первого, второго, третьего столбца столбцом правых частей системы.

Пример 9. Найти решение СЛАУ

										x x			x				6,
										1		2				3
							2x1 x2 3x3 9,
										3x					x		0.
										1						3
методом Крамера.
Решение. Запишем систему в матричном виде
											A X B ,
1 1					1						x1								6
где A	2	1			3	,			X x							,	B			9	.
											2
	3 0				1						x									0
											3
Используем формулы (9). Здесь
		1			1	1					1	3					2			3			2			1
		2 1 3					1								1						1
											0	1					3			1			3			0
		3			0	1																					.
					1 2 9 0 3 15.
Аналогично вычислим три других определителя:
				6	1		1												1		6	1
	1			9	1 3				15,							2			2		9 3				30 ,
				0	0		1												3		0	1
										1			1			6

3 2 1 9 45.

3 0 0

	Таким образом,
	x		15	1,	x		30	2,	x		45	3.
			15				15				15
	1				2				3

13

4. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Формула (8) показывает, что число слагаемых при вычислении определителя третьего порядка равно 2 3 3!. Здесь введено понятие факториала по определению

n! 1 2 ... n 1 n.

Методом математической индукции с помощью реккурентного соотношения, аналогичного равенству (8), можно показать, что число слагаемых при вычислении определителя n-го порядка с помощью формулы, подобной (7), равно n!. Ясно, непосредственное применение формул, определяющих det A, при больших nпрактически невозможно. Для достижения результата необходимо использовать свойства определителя.

Определение. Линейная операция, обозначаемая символом « », состоящая в замене строки матрицы на столбец с тем же номе-

ром, называется транспонированием:

a		a		a				a	a	21	a
11		12		13				11			31	.
a	21	a	22	a	23			a	a	22	a
								12			32
a		a		a				a	a	23	a
	31		32		33			13			33

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Свойство 2. При перестановке местами любых двух строк (любых двух столбцов) определитель изменит значение на противоположное.

Для определителей второго и третьего порядка свойства 1 и 2 легко проверить с помощью определяющих соотношений. Доказательство в общем случае можно найти, например, в учебниках

[1, 2, 4].

Свойство 3. Определитель равен нулю, если у него имеются две одинаковые строки (два одинаковых столбца).

Перестановка одинаковых строк, с одной стороны, в таком определителе не меняет определитель. С другой стороны, по свойству 2 определитель должен изменить знак. Это возможно лишь в случае, если определитель равен нулю.

14

Свойство 4. Если все элементы строки (столбца) умножить на число k , то определитель изменится в k раз. Например,

	a11		a12	a13			a11		a12		a13
ka		21	ka	ka		k	a	21	a	22	a	23	.
			22	23
	a		a	a			a		a		a
		31	32	33				31		32		33

Это свойство легко понять, если вспомнить, что все слагаемые определителя содержат элемент каждой строки (столбца), причем один раз.

Свойство 5. Если строка (столбец) состоит из нулей, то такой определитель равен нулю. Свойство 5 – частный случай предыдущего свойства при k 0 .

Свойство 6. Если определитель содержит две пропорциональные строки (столбца), то такой определитель равен нулю. Свойство 6 – следствие свойств 4 и 3.

Свойство 7. Если элементы k -го столбца определителя состоят из двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых в k -м столбце содержит первые слагаемые, а другой - вторые. Например,

a11

a13

a11

a13

a11

a13

a12

a12

a12

a12

a21

a23

a21

a23

a21

a23

.

a22

a22

a22

a22

a33

a33

a31

a32

a32

a31

a32

a33

a31

a32

Аналогичное равенство справедливо и для строк:

a11

a12

a13

a11

a12

a13

a11

a12

a13

.

a21 a21

a22

a22

a23

a23

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a

a

a

a

a

a

a

a

a

31

32

33

31

32

33

31

32

33

Свойство 8. Если к элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на любое число k , то величина определителя не изменится.

Данное свойство есть следствие свойств 7, 6 и 3.

Свойство 9. Определитель можно раскрывать по элементам

любой строки и любого столбца.

Свойство 10. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей [1]:

det A B det A det B .

15

Пример 10. Вычислить определитель

3 2 4

1 1 2 .

6 4 5

Решение.

Применим свойства определителя для упрощения расчетов:

	3	2			4					1		1	2
	1	1			2	1c		2c		3	2		4	2k 1k
	6	4			5					6	4 5			3k 2 1k
				1	0			0				5	10
				3	5		10		1					65.
												10	7
				6	10		7
Здесь приняты обозначения:								1c	2c		- первая и вторая строки меня-

ются местами; 2k 1k - к элементам второго столбца (колонки) при-

3k 2 1k

бавляем соответствующие элементы первого столбца, от элементов третьего столбца отнимаем соответствующие элементы первого столбца, предварительно умноженные на 2. В результате получен определитель, у которого два нулевых элемента в первой строке. Естественно раскрыть определитель по элементам этой строки.

5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ

Определение. К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие операции:

1.Перестановка местами строк (столбцов).

2.Умножение всех элементов строки (столбца) на одно и то же число, отличное от нуля.

3.Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же любое число.

4.Транспонирование матрицы.

В дальнейшем будем использовать элементарные преобразования строк первых трех типов. Заметим, если A - матрица коэффи-

16

циентов системы СЛАУ (2), то элементарные преобразования первого типа означают перемену местами уравнений системы. Преобразование второго типа означает умножение левой и правой части како- го-то уравнения на число, не равное нулю. Наконец, элементарное преобразование матрицы третьего типа означает, что к одному из уравнений системы добавлено другое уравнение, предварительно умноженное на число. Подобные приемы составляют основу решения СЛАУ методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Отметим, при всех этих преобразованиях получаются равносильные системы (у равносильных систем решения совпадают). Отсюда понятно следующее определение.

Определение. Матрица A, получаемая из матрицы A конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалент-

ной матрицей.

Обозначают A A.

На практике элементарные преобразования строк удобно проводить по правилам Жордана:

Правило 1. Ведущая строка сохраняется.

Поясним, ведущей называют ту строку матрицы, при помощи которой будут изменены элементы других строк этой матрицы. Ведущая строка содержит ведущий (разрешающий) элемент, с его помощью остальные элементы ведущего столбца преобразуются в нуль. Ведущие элементы будем отмечать в рамках.

Правило 2. Ведущий столбец обнуляется (все элементы ведущего столбца за исключением разрешающего элемента заменяются нулем).

Правило 3. Остальные элементы матрицы изменяем по «правилу прямоугольника»:

Â	Ä
				È	Â È Ï	Ä			.		(10)
Ï	È			Â
В этой схеме обозначено: Â			- ведущий элемент;			È		- изменяемый
элемент; È - измененное значение этого элемента;							Ï		,	Ä	- эле-
менты побочной диагонали прямоугольника Â -						Ä	-		È	-	Ï . На

17

главной диагонали всегда элементы Â и È . Элементы Ï , Ä на-

ходятся на одном уровне (по вертикали и горизонтали) с ведущим и изменяемым элементами.

Применение правил Жордана существенно упрощает расчеты, так как снимает вопрос подбора множителя k при использовании преобразований третьего типа.

Замечание 1. Формулой (10) особенно удобно пользоваться, если ведущий элемент равен единице. Если ниже ведущей строки имеются другие ненулевые строки, то при помощи элементарных преобразований первого и второго типа часто можно получить в качестве разрешающего элемента число 1.

Замечание 2. Квадратная матрица, получаемая из единичной матрицы элементарными преобразованиями, называется элементарной матрицей. Например, нижеприведенные матрицы G1, G2 и G3

- элементарные матрицы третьего порядка соответственно первого, второго и третьего типа:

	0		1	0				1		0	0				1 0			0
G		1	0	0		,	G		0	k	0		,	G		0	1	0	.
1							2							3
		0	0	1					0	0	1					0	k	1

Оказывается, элементарное преобразование строк первого типа можно представить как результат умножения рассматриваемой матрицы на матрицу G1 слева. Например,

0 1

0 a11

a12

a21

a22

G1 A

1 0

0

a21

a22

a11

a12

A .

0 0

1

a

a

a

a

31

32

31

32

отличается от исходной переставленными первой

Видим, матрица A

и второй строками.

A. Далее

A

1 0

0 a11

a12

a11

a12

0 k

0

G2 A

a21

a22

ka21

ka22

A .

0 0

1

a

a

a

a

31

32

31

32

получена умножением элементов второй

A

A, где матрица A

строки A на число k . И, наконец,

18

	1		0	0			a11	a12			a11			a12
G3 A		0	1	0										a22
							a21	a22			a21							A .
		0	k	1			a	a			ka	21	a	ka	22	a
							31	32					31			32

Эквивалентная матрица A получена прибавлением к элементам третьей строки соответствующих элементов второй строки, умноженных на число k .

Справедливо утверждение: любое элементарное преобразование строк означает умножение матрицы на произведение некоторых элементарных матриц.

Ясно также (так как каждая элементарная матрица невырожденная), что произведение элементарных матриц – невырожденная матрица.

Замечание 3. Элементарными преобразованиями строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса). Матрица имеет ступенчатый вид, если строки начинаются с нулей и единицы. За единицей в строке расположены элементы с произвольными значениями. Первая строка ступенчатой матрицы может начинаться и с единицы. Каждая нижеследующая строка вначале имеет бóльшее количество нулей.

Элементарные преобразования, проводимые по правилам Жордана, приводят матрицу к упрощенному виду, который отличается от ступенчатого нулевыми элементами над единицами. Это означает, что в таком случае проводился и обратный ход метода Гаусса.

	3		5	2	4	3
Пример 11. Матрицу A		2	3	4	5	1		привести к уп-
		5	9	2	2	9

рощенному виду.

Решение. Чтобы первая строка начиналась с «1», вначале из элементов первой строки вычтем соответствующие элементы второй строки. Затем выполним ход метода Жордана-Гаусса:

	3 5		2	4	3			1		2	2	1	2
A		2 3	4 5 1								4
							1c 2c	2 3				5 1
		5 9	2	2	9				5	9 2		2 9

19