алгебра / дополнительная лит-ра / Начала линейной алгебры

x x 0;

11.ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Вматематике часто встречаются объекты разной природы, которые можно складывать и умножать на число. Для изучения этих объектов с единой алгебраической точки зрения введено понятие линейного пространства.

Определение. Множество R элементов x , y , z , … называ-

ется линейным (векторным) пространством, если:
1) в	R определена операция сложения, т.е. для любых ( )
элементов	x , y R существует	( )	элемент		R , обозначаемый
символом (x y) и называемый суммой. Причем					введенная опера-
ция сложения подчинена следующим требованиям:
А1.	x y y x для x ,	y R . (Коммутативный закон).
А2.	(x y) z x (y z)	для	x ,	y ,	z R . (Ассоциа-
тивный закон).
А3.	нейтральный элемент		0 R :	x 0 x для
x R .	для x R элемент x , называемый противопо-
А4.

ложным:

2) для любого элемента x R и любого числа существует элемент x R , называемый произведением элемента x на число . Т.е. в R определена операция умножения на число, для которой выполняются законы:

А5.	1x x для x R .
А6.	x x x для x R и любых чисел ,	.
А7.	x x для x R и любых чисел , .
А8.	(x y) x y для x , y R и любого числа .

Элементы линейного пространства R называют векторами. Если векторы можно умножать только на действительные числа, то R называют вещественным линейным пространством. Условия А1 – А8 называются аксиомами линейного пространства. Знак «=» означает, что и в левой, и в правой части равенства присутствует один и тот же вектор пространства R .

40

Определение. Линейное пространство R называется n- мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, но любые (n 1) векторов являются линейно зависимыми.

Определение. Размерностью линейного пространства R на-

зывается максимально возможное в нем количество линейно независимых векторов.

Далее рассматриваются пространства, имеющие конечную размерность (конечномерные линейные пространства). Размерность пространства R обозначают символом dim(R).

Определение. Базисом в n-мерном пространстве R называется любая совокупность n линейно независимых векторов.

Важность понятия базиса показана в следующих двух теоре-

мах.

Теорема 1. Любой вектор x R можно представить, и притом единственным образом, линейной комбинацией векторов базиса e1 , e2 , …, en :

x x1e1 x2e2 ... xnen

(26)

Доказательство. Выберем базис e1 , e2 , …, en . Так как в R ,

имеющем размерность n, любые n 1 векторов линейно зависимы, то линейная комбинация векторов e1 , e2 , …, en , x обращается в нуль при ненулевых коэффициентах:

C1e1 C2e2 ... Cnen Cn 1x 0 ,

Cn 1 0.

Отсюда находим

C1

C2

Cn

n

Ci

n

x

e1

e2

...

en

ei

xiei .

Cn 1

Cn 1

Cn 1

i 1

Cn 1

i 1

Здесь и далее для сокращения записи используется знак суммирова-

		n
ния. Покажем единственность разложения		(26). Пустьx yiei -
другое представление вектора x . Один и		i 1
		тот же вектор задается
n	n	n

двумя разложениями: yiei xiei . Следовательно, (yi xi)ei 0.

i 1

i 1

i 1

Так как векторы e1 , e2 , …, en линейно независимы (базис!), все ко-

эффициенты обращаются в нуль: yi xi =0, i=1, 2, …, n. Эти ра-

41

венства выражают единственность коэффициентов разложения вектора x в заданном базисе.

Можно доказать обратное утверждение.

Теорема 2. Если n векторов e1 , e2 , …, en линейно незави-

симы и всякий вектор x R линейно выражается через эти векторы, т.е. имеет место представление (26), то R имеет размерность n, а

набор e1 , e2 , …, en - базис.

Замечание. Соотношение (26) называется разложением вектора x по базису e1 , e2 , …, en . Числовые коэффициенты при базис-

ных векторах называются координатами вектора в рассматриваемом базисе.

Приведем примеры линейных пространств.

1. Пусть в R элементами являются наборы из n чиселx1,x2 ,...,xn . Если ввести операции сложения и умножения на число

по правилам действий с матрицами, множество R становится линейным пространством. Можно проверить, аксиомы А1 – А8 выполнены,

нейтральный элемент – вектор 0 0,0,...,0 . Размерность этого

пространства	dim(R) n,	поскольку наборы e1 1,0,...,0 ,
e2 0,1,...,0 ,	en 0,0,...,1	образуют базис: линейная независи-

мость векторов e1 , e2 , …, en следует из определенности однородной системы для неизвестных C1, C2 , …, Cn , отвечающей условию

C1e1 C2e2 ... Cnen 0.

2. Обозначим R – множество решений однородной системы

(20).Элементами множества R являются матрицы-столбцы

x1
x
X 2	. Принимая во внимание свойства операций над матрица-

...

xn

ми, легко проверить, что сумма двух решений системы (20), произведение решения на любое число также являются решениями (20): ес-

ли X1 и X2 - решения, т.е. A X1 0, A X2 0 ( A- матрица системы (20)), то

A X1 kX2 A X1 A kX2 A X1 kA X2 0 .

42

Аксиомы А1–А8 выполняются, поэтому множество R – линейное пространство. Из формулы (23) общего решения следует, что базис в этом линейном пространстве образует фундаментальную систему решений. Размерность линейного пространства решений однородной системы dim(R) k n r . Напомним, n – число неизвестных, r –

ранг матрицы системы.

12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПРИ ЗАМЕНЕ БАЗИСА

Рассмотрим в R два базиса: «старый» e1 , e2 , …, en и «но-

вый» e1 , e2 , …, en . Как и всякий вектор, каждый элемент нового базиса можно записать в виде разложения по старому базису:

		n
	e1 i1ei;
		i 1
		n
		i2ei	;
	e2
		i 1	(27)

...................

n

en inei.

i 1

Коэффициенты разложений (27) заполняют матрицу n-го порядка

11	12	...	1n
21	22	...	2n .	(28)
...	...	...	...

n1 n2 ... nn

Данная матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому. Элементы j-го столбца матрицы перехода – коэффициен-

ты в разложении нового базисного вектора ej по старому базису.

43

Отметим, матрица перехода		невырожденная. Покажем
это. Из линейной независимости векторов		e1 , e2 , …,	en нового ба-
зиса следует, что условие для линейной комбинации
C1e1 C2e2	... Cnen 0		(29)
равносильно требованиям
C1 C2 ...	Cn 0.		(30)

Если подставить разложения (27) в (29), то, перегруппировав слагаемые, получим

11C1 12C2 ...	1nCn e1
21C1 22C2 ...	2nCn e2
		.
.................................................
n1C1 n2C2 ... nnCn en		0.

Но так как векторы e1 , e2 , …, en линейно независимы (как векторы

базиса), то каждая из скобок обращается в нуль. То есть получаем однородную систему

11C1 12C2 ...			1nCn 0;
	22C2		2nCn	0;
21C1
				.

..............................................

n1C1 n2C2 ... nnCn 0.

Условия (30) только нулевых значений коэффициентов Ci выполня-

ются, если данная однородная система определенная, т.е. det 0. Далее установим формулы координат вектора при переходе к

другому базису. Справедливы представления

				n			n
			x xiei			и	x xjej .
				i 1			j 1
	n
Так как ej	ijei		, то
	i 1
n		n		n		n		n	n
xiei		xjej		xjj		ijei			ij xj ei .
i 1		j 1		j 1	i 1			i 1 j 1

44

Отсюда имеем равенства:
x1 11x1 12 x2 ...	1nxn,
x2 21x1 22 x2 ...	2nxn,
.............................................
xn n1x1 n2 x2 ...	nnxn.
Или в матричном виде:
X X .	(31)

Здесь X и X - матрицы-столбцы координат вектора x в старом и новом базисах соответственно.

13.ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Вn-мерном линейном пространстве R можно рассматривать

различные функции. Например, такие, когда векторы отображаются в числа. Но в большинстве важных случаев рассматриваются функции, которые векторы переводят снова в векторы.

Определение. Линейным преобразованием (линейным опера-

тором) векторного пространства R называется функция A:R R ,

которая каждому вектору	x R ставит в соответствие вектор y
того же пространства:
A x y , где x ,		y R .
Причем должны выполняться условия:
10 . A x1 x2 A x1 A x2		для x , y R (условие
аддитивности).
20 . A kx kA x	для x R и любого числа k (усло-

вие однородности).

Поскольку любой вектор можно выразить, если известны векторы базиса, то ясно, линейное преобразование будет задано, если указано, как линейный оператор изменяет каждый из базисных век-

торов. Пусть e1 , e2 , …, en -	один из базисов в R . Согласно (26)
справедливы разложения:
n		n
x xjej	,	y yiei .
j 1		i 1

45

И пусть известны разложения по базису образов базисных векторов:

A(e1) a11e1

a21e2

... an1en,

a22e2

... an2en,

A(e2 ) a12e1

(32)

.................................................

A(e

n

) a

e

a

2n

e

2

... a

nn

e

n

.

1n

1

Соотношения

(32)

можно

выразить

формулой

n

A(ej ) aijei . Принимая во внимание, что y -

образ вектора x , и

i 1

учитывая эти разложения, получим

n

n

n

n

n

n

n

y yiei

A

xjej

xjA ej xj aijei

aijxj ei .

i 1

j 1

j 1

j 1

i 1

i 1 j 1

Отсюда следуют равенства

n

yi aij xj ,

i 1, 2, …, n.

j 1

Подробно координаты образа имеют вид:

y1 a11x1

a12 x2

... a1nxn,

y2

a21x1

a22 x2

... a2nxn,

(33)

............................................

yn an1x1 an2x2 ... annxn.

Формулы (33) показывают, координаты вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты образа y и элементы

матрицы n-го порядка A:

		a11	a12	...	a1n
	A a21		a22	...	a2n .	(34)
		...	...	...	...
			an2	...
		an1			ann
	y1
Матрица-столбец	Y y2	получена умножением матрицы-столбца
	...
	yn

46

x1
x		A слева:
X 2	на матрицу
...
xn
	y1			a11	a12	...	a1n
	y			a	a	...	a	2n
	2			21	22
	...			... ... ... ...
					an2	...	ann
	yn			an1

x1x2 .

...xn

Видим, в выбранном базисе оператору A поставлена в соответствие матрица A. Подчеркнем, j-й столбец этой матрицы запол-

нен коэффициентами разложения по базису образа j-го базисного вектора A ej . Строка матрицы (34) образована коэффициентами в представлении координаты вектора y через координаты вектора x .

Верно обратное утверждение: всякая матрица n-го порядка A может рассматриваться как матрица некоторого линейного оператора A .

Таким образом, если в R выбран базис, то каждому линейному оператору отвечает определенная матрица n-го порядка, назы-

ваемая матрицей линейного преобразования. В дальнейшем, подра-

зумевая базис выбранным, действие линейного оператора A будем обозначать матрицей A:

	Y A X .	(35)
Ясно, любой линейный оператор переводит нуль-вектор в
нуль-вектор. Если A x 0	только в случае x 0,	то линейный

оператор A называется невырожденным, если A x 0 и x 0, то

линейное преобразование называется вырожденным. Приведем примеры линейных преобразований.

1. Линейное пространство R - множество геометрических векторов на плоскости (рис.1). Оператор A - поворот всех векторов на один и тот же угол против хода часовой стрелки. Для задания матрицы А линейного преобразования необходимо выяснить, как преобразуются базисные векторы. Возьмем ортонормированный ба-

47

зис e1 ,	e2 : e1 e2 ,	e1		e2 1	.	f1 A e1 - образ орта e1 ,
f2 A e2	- образ e2 . Учитывая геометрический смысл координат
вектора, можно записать:

f1 f1 cos e1 f1 cos(90 )e2 cos e1 sin e2 ; f2 f2 cos(90 )e1 f2 cos e2 sin e1 cos e2 .

x2

x2

f2 e2

Рис.1

f1

x1

Координаты вектора f1 - элементы первого столбца матрицы оператора, координаты f2 - элементы второго столбца. То есть мат-

рица рассматриваемого линейного преобразования поворота имеет вид

	cos		sin
	A			.
	sin		cos
Поскольку detA cos2	+sin2 =1 0 , оператор поворота A - невы-
рожденный.	0		R	e1	x1
2. Линейное пространство				- множество геометрических
векторов трехмерного пространства. Линейный оператор A - опера-
тор проектирования	всех векторов			на координатную плоскость

48

Ox1x2 . Линейность оператора A обусловлена свойствами линейности операции проектирования. Имеем:

A e1 e1 1 e1 0 e2 0 e3 , A e2 e2 0 e1 1 e2 0 e3 , A e3 0 0 e1 0 e2 0 e3 .

Отсюда находим матрицу оператора проектирования

	1		0	0
A		0	1	0
					.
		0	0	0

Так как det A 0, оператор A - вырожденный.

Выясним, как меняется матрица оператора при переходе к другому базису. Пусть даны два базиса e1 , e2 , …, en - «старый» и e1 , e2 , …, en - «новый». Обозначим S матрицу перехода к новому базису. Напомним, элементы столбцов матрицы S - это коэффициенты в представлениях новых базисных векторов через векторы старого базиса. То есть формулы (27) определяют некоторое линейное пре-

образование

S, которое в старом

базисе задается матрицей S .

Оператор S невырожденный, поэтому соотношение (31) можно обра-

тить: Y S 1

Y . Здесь Y и Y

- матрицы-столбцы координат ВЕК-

ТОРА y в старом и новом базисах соответственно.

Пусть

y - образ вектора

x

при действии линейного опера-

тора

A :

y A(x) . Или в координатах Y A X , Y

, где

A X

A и

- матрицы оператора A соответственно в старом и новом

A

базисах. Учитывая равенства X S X и Y S 1 Y , получим

Y S 1 Y S 1 A X S 1 A S X S 1 A S X .

С другой стороны, Y

. Сравнивая правые части вы-

A X

ражений Y , имеем формулу, устанавливающую связь между матрицами линейного преобразования в разных базисах:

	S	1	A S	.	(36)
A

Соотношение (36) называется также условием подобия мат-

риц.

49