алгебра / дополнительная лит-ра / Начала линейной алгебры

Метод Гаусса. Расширенная матрица системы (2) A B

элементарными преобразованиями строк всегда приводится к упрощенному виду: на месте клетки A появляется единичная матрица. Ясно, что эти преобразования равносильны умножению расширенной матрицы на обратную матрицу слева. Но тогда на месте клетки B в

результате преобразований появится матрица A 1 B. Таким образом, имеем соотношение

A		B	E	A 1 B E		X .	(19)

Видим, на месте клетки B в результате соответствующих элементарных преобразований получен вектор решения. Формула (19) отражает суть метода Гаусса. По-прежнему будем при этом применять правила Жордана.

Пример 17. Решить систему (18) методом Гаусса.

Решение. Применяя метод Жордана-Гаусса, имеем следующую цепочку эквивалентных матриц:

			3		2	4				3			1 2			3		0
A		B
				2 0		1				3					0
												1c 2c	2				1	3
				5	9	16			3					5	9	16		3

1		2	3				0				1 2				3		0						1		0 13		12
	0	4	5				3																	0	1 8		6
									2c 3 3c		0 1				8		6												3c:( 9)
	0	1	1			3							1		1		3							0	0 9		9
											0
								1		0	13	12		1			0		0				1
										1					0		1		0			2
								0			8	6													.
															0		0		1				1
									0	0	1		1

Согласно (19) получили: x1 1, x2 2, x3 1.

В отличие от метода Крамера и матричного метода, применяемых к определенным системам, метод Гаусса пригоден для любых систем (совместных, несовместных, определенных и неопределенных). Исключительно важная роль метода Гаусса состоит и в том, что этот метод устойчив к погрешностям вычислений. Далее рассмотрим примеры применения метода Гаусса в разных случаях.

30

	Пример 18. Исследовать систему
									3x1 2x2 4x3 3,
																3,
									2x1 x3
																5x3 2.
									5x1 2x2
	Решение. Применяя метод Жордана-Гаусса, имеем
				3 2					4					3			1					2 3					0
							2 0			1				3								0
	A	B														1c 2c	2							1			3
							5 2		5			2
																	5					2 5				2
									1 2							3
1 2		3				0															0	1 0					1 2		3 2
	0 4	5				3																	0 1				5 4		3 4
								2c:4	0 1							5 4	3 4
	0 8	10		2																			0 0		0				4
									0 8							10				2

rang A B 3.

Вто же время ранг самой матрицы A равен 2. По теореме Кронеке- ра-Капелли заключаем, что исследуемая система несовместна.

При исследовании неопределенных систем необходимо освоить методы решения однородных систем:

a11x1 a12 x2 ...			a1nxn 0,
	a22 x2		a2nxn	0,
a21x1
				(20)

...........................................

am1x1 am2 x2 ... amnxn 0.

Подчеркнем, число уравнений m может не совпадать с числом неизвестных n. Однородные системы (20) всегда совместны: легко проверить, что тривиальное решение x1 x2 ... xn 0 удовлетворяет

всем уравнениям системы.

Чтобы однородная система с квадратной матрицей была определенной (имела только тривиальное решение), необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был отличен от нуля. Чтобы такая система имела и нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы матрица системы была вырожденной.

31

k n r

В самом деле, если определитель системы det A 0, то ранг матрицы системы rangA n , где n - число неизвестных. По

теореме Кронекера-Капелли такая система определенная, т.е. имеет единственное тривиальное решение.

Поставим задачу найти все решения неопределенной системы (20), для которой k n r 1, где r rangA. Элементарными пре-

образованиями строк матрицу A системы (20) можно привести к упрощенному виду:

	1		0 ...	0			...
		0	1 ...	0			...
	.. .. ... ..				..	..	...	..
A		0	0 ...	1			...
									.
	0		0 ...	0	0	0	...	0
					..	..	...
	.. .. ... ..							..
		0	0 ...	0	0	0	...	0

Все строки полученной эквивалентной матрицы после r -й состоят из нулей. Базисный минор (левый верхний минор) имеет размерность r , поскольку ранг матрицы равен r . Символом « » отмечены элементы произвольных значений. Матрице в правой части отвечает равносильная (имеющая те же самые решения) система:

x1	...	a1,r 1xr 1	... a1nxn	0,
	x2 ...	a2,r 1xr 1	... a2nxn	0,
	............................................
	xr			0.
		ar,r 1xr 1	... arnxn

Здесь aij - значения коэффициентов системы, полученной элемен-

тарными преобразованиями. Объявим переменные x1, x2 , ..., xr

базисными, остальные - свободными. В качестве базисных неизвестных можно выбирать любые r переменных, лишь бы коэффициенты при этих переменных являлись элементами отличного от нуля минора r -го порядка. Перенесем члены, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений, получим выражения базисных неизвестных через свободные:

32

x1 a1,r 1xr 1 ...				a1nxn ,
	a2,r 1xr 1			a2nxn	,
x2
					(21)
........................................
x a		x	...	a x .
r	r,r 1	r 1		rn n

В равенствах (21) свободные переменные можно брать по своему усмотрению. Выбирая определенные значения свободных неизвестных, каждый раз будем получать какое-либо частное решение системы (20). Оказывается, можно указать конечный набор частных решений, посредством которого выражаются все остальные частные ре-

шения. Такой набор называется фундаментальной системой решений

(ФСР), и состоит он из k n r линейно независимых частных решений.

Определение. Векторы

	e11
e	e		,
	21
1	...
	en1

		e12
e		e
		22
	2	...

en2

e1k

	, … , e		e2k
		k	...

enk

называются линейно незави-

симыми, если их линейная комбинация C1e1 C2e2 ... Ckek обра-

щается в 0 только при нулевых коэффициентах Ci . Если линейная

комбинация обращается в 0 при ненулевых коэффициентах, один из векторов можно выразить через остальные. Это означает: векторы линейно зависимы.

Отметим, система уравнений для компонент векторов, вытекающая из условия C1e1 C2e2 ... Ckek 0, состоит из n уравне-

ний для k неизвестных	C1 , C2 , …, Ck :
e11C1 e12C2 ...		e1kCk 0,
	e22C2	e2kCk	0,
e21C1
			(22)

.............................................

en1C1 e2C2 ... enkCk 0.

Линейная независимость равносильна требованию определенности системы (22), что возможно, если ранг матрицы этой системы равен

33

k . ФСР будем строить, рассматривая следующие k вариантов значений свободных неизвестных:

1)	xr 1	1,	xr 2	0,	...,	xn	0 ,
2)	xr 1	0,	xr 2	1,	...,	xn	0 ,
k)	………………………………………………
	xr 1	0,	xr 2	0,	...,	xn	1.

Решив определенную неоднородную систему (21), получим следующие k частных решения (20):

		e11
		e
			21
		...
e		er1			,
1			1
		0
		...
			0

			e12
			e
				22
			...
e			er2			, …,
	2			0
				1
			...
				0

	e1k
	e
		2k
	...
ek	erk
		0	.
		0
	...
		1

Матрица однородной системы (22) в таком случае принимает вид:

e11		e12	...	e1k
e		e	...	e
	21	22		2k
... ... ... ...
		er2	...	erk
er1
	1	0	...	0
	0	1	...	0

..... ... ... ....
	0	0 ... 1

.

Здесь последние k строк – строки единичной матрицы k -го порядка. Следовательно, матрица системы (22) имеет ранг k . Таким образом, построенные частные решения линейно независимы.

34

Чтобы показать, что любое частное решение системы (20) e0 линейно выражается через e1 , e2 , …, ek , рассмотрим вектор вида

e e0 r 1e1 r 2e2 ... nek ,

где r 1 , r 2 , …, n - последние k компонент вектора e0 . Ясно,

что вектор e также является решением системы (20):

Ae A e0 r 1e1 r 2e2 ... nekAe0 r 1 Ae1 r 2 Ae2 ... n Aek 0,

так как Aei 0 ,i 1, 2, …, k . Выражение Aei следует понимать как умножение матрицы A на матрицу-столбец из компонент решения. Но поскольку по построению последние k компонент вектора e

равны нулю, а система (20) равносильна определенной системе (21), определяющей первые r компонент частного решения, то ясно, не только последние k компонент, но и остальные компоненты e рав-

ны нулю. Это означает, что e - нуль-вектор, т.е. e0 линейно выра-

жается через e1 , e2 , …, ek . Таким образом, e1 , e2 , …, ek - фунда-

ментальная система решений.

Итак, если известна ФСР однородной системы (20), то

любое частное решение этой системы определяется формулой
Xo.o C1e1 C2e2 ... Ckek .	(23)

Общее решение однородной системы – линейная комбинация векто-

ров, образующих ФСР. C1 , C2 , …, Ck - произвольные постоянные.

Задавая конкретные значения этих постоянных, получаем одно из частных решений системы (20). Напомним, число k определено числом неизвестных и рангом матрицы: k n rangA.

Пример 19. Найти общее решение системы

x1 x2 2x3 x4 0,

	2x1 3x2			x4 0,
		4x2	2x3	2x4 0,
3x1

5x1 7x2 2x3 3x4 0.

35

Решение. Используя метод Жордана-Гаусса, матрицу системы приводим к упрощенному виду:

	1		1	2	1		1		1	2	1		1 0 6			2
			3	0					1	4					4
A	2				1		0				1		0 1			1 .
		3	4	2	2			0	1	4	1		0	0 0		0
		5	7	2	3			0	2	8	2		0	0	0	0

Полученной эквивалентной матрице отвечает равносильная однородная система

x		6x		2x			0,
	1		3			4
		x2 4x3			x4 0.

Ранг матрицы rangA 2, число свободных неизвестных k n r 4 2 2.

Принимаем, x1 , x2 - базисные переменные (коэффициенты при этих неизвестных в полученной системе – элементы минора второго порядка, отличного от 0). Переменные x3 и x4 - свободные.

Систему перепишем в виде

		x 6x 2x ,
			1	3		4
		x2 4x3 x4.
Найдем фундаментальную систему решений:
А. Пусть	x3 1,	x4	0 ,	тогда из последней системы имеем
x1 6 , x2 4.	x3 0,	x4	1,	тогда находим x1				2 , x2	1. В ре-
Б. Пусть
зультате получена фундаментальная система решений:
		6				2
	e		4 ,	e			1 .
	1		1		2		0
			0				1
Общее решение исходной однородной системы имеет вид
				6			2
						4		1 .
	Xo.o. C1e1 C2e2 C1 1						C2 0
						0		1

36

Здесь C1 и C2 - произвольные постоянные. Выполнив действия с матрицами, решение можно записать и в компонентном виде:

xo.o.,1 6C1 2C2 ,

xo.o.,2 4C1 C2 ,

	x	C ,
	o.o.,3	1
	x	C	.
	o.o.,4	2

Перейдем к неоднородным неопределенным системам (2). Наряду с неоднородной системой A X B рассматриваем соответствующую однородную систему A X 0. Замечая, что разность двух решений неоднородной системы есть решение соответствующей однородной системы, можно получить формулу, выражающую структуру общего решения неоднородной системы:

Xo.í .	Xo.o.	X÷.í . C1e1 C2e2 ... Ckek X÷.í . .	(24)
Здесь e1 , e2 , …, ek		- ФСР соответствующей однородной системы, C1 ,
C2 , …, Ck -	произвольные постоянные, k n rangA,		X÷.í . - ка-

кое-либо частное решение неоднородной системы. Согласно (24) можно утверждать, что общее решение неоднородной системы складывается из общего решения соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения неоднородной.

Приведем пример исследования неоднородных систем. Пример 20. Найти общее решение СЛАУ:

x1 2x2 3x3 x4 0,

x1 x2 x3 2x4 4,x1 5x2 5x3 4x4 4,

x1 8x2 7x3 7x4 8.

Решение. Применяя метод Жордана-Гаусса, исследуем разрешимость системы. В случае, если система совместная, найдем все ее решения.

			1		2	3	1		0		1		2	3	1			0
												0	3	2	3			4
A		B	1		1 1		2		4
				1	5	5	4		4			0	3	2	3			4		2c: 3
				1	8	7	7		8			0	6	4	6			8

37

1		2	3	1		0		1		0	5 3	1			8 3
									0	1	2 3	1			4 3
0		1 2 3		1		4 3
	0	3	2	3		4			0	0	0	0			0
	0	6	4	6		8			0	0	0	0			0

rang A B rangA r 2 . По теореме Кронекера-Капелли заклю-

чаем, система совместная. А так как число свободных неизвестных k n r 4 2 2 1, то система неопределенная.

Чтобы найти все решения, запишем равносильную систему, отвечающую матрице справа:

	x		5	x	x			8		,
						4
	1		3	3			3				(25)
			2							4
		x2		x3	x4						.
			3							3

Находим сначала общее решение соответствующей однородной системы. Строим ФСР, принимая за базисные переменные x1 и x2 . Пе-

ременные x3 и x4 свободные. Тогда однородную систему, соответствующую последним уравнениям, можно переписать в виде:

x				5	x		x ,
	1			3		3	4
				2
x						x	x .
		2
				3		3	4

Полагая x3 1, x4								0 , получим частное решение однородной систе-
	5 3
		2 3
мы e						. Приняв			x 0,	x 1, получим другое частное ре-
1				1					3	4
				0
					1
						1
шение:	e						.
			2			0
						1

38

Векторы e1 и e2 образуют ФСР однородной системы, соответствую-

щей системе (25). Поэтому согласно (23) общее решение соответствующей однородной системы имеет вид

			5 3				1
				2 3				1
X		C				C			.
	o.o.	1		1			2	0
				0				1

Получим частное решение неоднородной системы, принав в

8

уравнениях (25) свободные неизвестные равными нулю: x ,

1 3

x2 4 . Такое частное решение неоднородной системы называется

3

базисным решением. Итак, частное решение системы (25) имеет вид

		8	3
		4	3
X				.
	÷.í .		0
			0

Окончательно, принимая во внимание формулу общего решения (24), получаем

			5 3				1			8 3
				2 3				1			4 3
X		C				C						,
	î .í .	1		1			2 0				0
				0				1			0

где C1 и C2 - произвольные постоянные. Общее решение можно переписать в компонентном виде:

x			5	Ñ Ñ				8			,
						2
	î .í .,1		3		1		3
			2						4
x					Ñ Ñ						,
						2
	î .í .,2		3		1		3

xî .í .,3 Ñ1,

x Ñ .

î .í .,4 2

39