Динамика. Основные законы и уравнения динамики

Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение. Основными законами динамики являются законы Ньютона. При решении задач по динамике следует уделить особое внимание силам, вызывающим равнопеременное движение, и ускорению, которое всегда направлено в сторону действия результирующей силы. В случае равномерного движения тела по окружности нужно принять во внимание, что скорость тела направлена по касательной к окружности, а результирующая сила и ускорение всегда направлены вдоль радиуса к центру окружности.

Основное уравнение динамики – второй закон Ньютона:

,

где m– масса тела,– векторная сумма всех действующих на тело сил.

Второй закон Ньютона в импульсной форме:

,

где – импульс тела.

Закон всемирного тяготения: ,

где mиM– массы взаимодействующих тел,r– расстояние между ними,G= 6,67∙10^-11(Н∙м²/кг²) - гравитационная постоянная. Принявr, равное радиусу Земли, М – массе Земли, получим:

Это сила, с которой Земля притягивает находящееся на ее поверхности тело массой m.g– ускорение свободного падения,g= 9,81 м/с².

При деформации тел возникает сила упругости, имеющая направление, противоположное направлению деформации

,

где k- жесткость деформируемого тела, Δx– изменение линейных размеров тела при деформации.

При движении тела по поверхности между ним и этой поверхностью возникает взаимодействие, которое обусловливает появление силы трения: ,

где μ – коэффициент трения, N- сила нормального давления.

На тело, погруженное в жидкость (газ), действует выталкивающая сила, численно равная весу жидкости (газа) в объеме погруженной части тела

.

Основной закон динамики вращательного движения:

,

где М - момент силы, I – момент инерции тела. М =F∙l, гдеl – плечо силы. Момент инерцииI зависит от формы тела:Iполого цилиндра =mR²;Iсплошного цилиндра = ½mR²;

I стержня = 1/12 mR²; I шара = 2/5 mR². Ось вращения в этих случаях проходит через центр тела.

Закон динамики вращательного движения может быть еще записан в виде:

,

где L– момент импульса,.

Законы сохранения

Системы отсчета, в которых отсутствуют внешние воздействия и тела системы взаимодействуют только друг с другом, называют замкнутыми или изолированными. В таких системах выполняются следующие законы.

Закон сохранения импульса: в отсутствие внешних сил в изолированной системе полный вектор импульса внутри системы с течением времени не изменяется

,

где m_i,υ_i– масса и скорость отдельного тела системы.

Закон сохранения энергии: механическая энергия изолированной системы не изменяется, если работа внешних сил, действующих на тела, входящих в систему, равна нулю и отсутствуют силы трения .

Для поступательного движения ,

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения

,

где – скорость центра масс,I_c– момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

Потенциальная энергия тела, поднятого над землей на высоту h:.

Потенциальная энергия деформированного тела (пружины): .

Работа А – это мера изменения механической энергии системы под влиянием приложенных к ней внешних сил: .

ΔЕ – изменение полной механической энергии изолированной системы, Е и Е₀- конечная и начальная энергия системы.

Механическая работа также равна скалярному произведению действующей на тело силы Fи перемещенияS:,

где - угол между направлением силы и перемещения.

Быстрота совершения работы силой Fописывается мощностью Р:

,

где υ – модуль средней скорости движения.

Отношение энергии, затраченной на выполнение полезной работы, к полной использованной энергии, называется коэффициентом полезного действия КПД: .

КПД можно также выразить через полезную и затраченную работу и мощность:

.