Механические колебания и волны

Колебанием называется движение или процесс, обладающий некоторой степенью повторяемости во времени. Время, в течение которого совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний, Т. Гармоническими называются колебания, при которых некоторая физическая величина (например, координата колеблющейся точки) изменяется во времени по синусоидальному или косинусоидальному закону:

,

где х(y) – это координата колеблющейся величины, А_х(А_y) – амплитуда колебаний (величина максимального отклонения от положения равновесия), величина (ωt+φ₀) – полная фаза колебания φ, ω – циклическая частота колебаний, φ₀– начальная фаза колебаний,t– время совершения колебаний. Период связан с циклической частотой соотношением:.

Число полных колебаний в единицу времени называют частотойколебаний ν:

.

Частота ν и циклическая частота ω связаны соотношением: или.

Единицы измерения:[A] = м, [Т] =c, [φ] = радиан (градус), [ω] = радиан/с, [ν] = Гц.

Период колебаний математического маятника: ,

где l– длина нити маятника,g– ускорение свободного падения.

Период колебаний пружинного маятника:

,

где m– масса груза,k- жесткость пружины.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания:

или.

Величина Аω = _maxназывается амплитудой скорости.

Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях:

или.

Величина Aω²=a_max– амплитуда ускорения.

Кинетическая энергия колеблющейся системы:

.

Потенциальная энергия (на примере пружинного маятника):

, (т.к.k=mω²).

Полная механическая энергия системы:

.

Волна – это процесс распространения колебаний в среде с некоторой скоростью . Уравнение гармонической волны имеет вид:

,

где ξ – это смещение колеблющихся точек в волне относительно положения равновесия. Уравнение волны можно записать в другом виде:

,

где - волновое число, а величина λ =Т – это длина волны (расстояние, на которое распространяется волна за один период).

Средняя плотность энергии в среде плотностью ρ:

.

Интенсивность волны (количество энергии, переносимой волной за 1 с через площадку в 1 м²) пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты:

и убывает по закону ,

где r- расстояние до источника,I₀– интенсивность приr=0,- коэффициент поглощения среды, в которой распространяется волна. Единицы измерения.

Громкость звуковой волны Lизмеряется в децибелах (дб) и определяется как:

, где.

Частота звука, воспринимаемая наблюдателем, согласно принципу Доплера, определяется по формуле:

,

где с – скорость распространения звука, - скорость движения наблюдателя,u– скорость источника звука,- частота звука, посылаемого источником. Верхние знаки берутся при сближении источника и наблюдателя, нижние – при их удалении.

Примеры решения задач по механике

Задача 1.

При равноускоренном движении из состояния покоя автомобиль проходит за пятую секунду своего движения 10 м. Чему равно ускорение автомобиля? Определить перемещение автомобиля за седьмую секунду и путь, который он прошел за 7 секунд?

а -? ΔS7- ? S7 - ?	СИ
ΔS5=10 м t5= 5 с t7= 7 с

Решение

Автомобиль начинает свое движение вдоль оси ОХ из точки с координатой Х₀. Поскольку движение является равноускоренным, то можно записать уравнение движения в векторной форме:

, (т.к.₀= 0). (1)

Перемещение автомобиля за пятую секунду будет равно разности его перемещений, пройденных за 5 секунд и за 4 секунды:. (2)

Согласно уравнению (1) значения S₅иS₄в проекции на ось ОХ равны:

, (3)

, (4)

где t₅=5c,t₄=4 с.

Подставляя соотношения (3) и (4) в уравнение (2), выразим ускорение:

, (5)

откуда . (6)

Проверим размерность: .

Вычислим значение: (м/с²).

Перемещение за седьмую секунду находится аналогично уравнению (5):

. (7)

Подставляя известное значение ускорения в уравнение (7), получим искомое перемещение за седьмую секунду: (м).

Весь путь за 7 секунд находится по формуле (1):

, (м).

Ответ:а = 2,22 м/с², ΔS₇= 14,43 м,S₇= 54,39 м.

Задача 2.

С воздушного шара, находящегося на высоте 900 м и опускающегося вертикально вниз со скоростью 10 м/с, был сброшен без начальной скорости относительно шара груз. Определить время падения груза.

tпад- ?	СИ
H = 900 м 0= 10 м/с g =9,81 м/с^2

Решение

Выберем в качестве начальной точки отсчета точку первоначального положения шара и направим ось OY вертикально вниз, по движению шара и груза. Перед сбрасыванием груз опускался вместе с шаром со скоростью ₀. Уравнение движения груза в векторной форме:

. (1)

Когда груз достигнет поверхности Земли, t = t_пад, Y = H, и уравнение (1) примет вид (в скалярной форме):.

Откуда . (2)

Решая полученное квадратное уравнение, находим искомое t_пад:

Проверим размерность:

.

Проведем расчет:

Отрицательные значения отбрасываем, так как время движения – величина положительная.

Ответ:груз падал в течение 12,56 секунд.

Задача 3.

Найти высоту и дальность полета сигнальной ракеты, выпущенной со скоростью 40 м/с под углом =60º к горизонту. Определить с какой скоростью движется ракета через 0,5 с после выстрела, и на какой высоте над начальным уровнем она находится.

H - ?S - ?  - ? h - ?	СИ
0= 40 м/с = 60 º t = 0,5 c g= 9,81 м/с^2

Решение

Движение ракеты происходит по криволинейной траектории, представленной на рисунке. Из рисунка видно, что ракета будет совершать движение вдоль двух координатных осей: Ох и Oy, связанных с поверхностью Земли. Вдоль оси Ох ракета не испытывает ускорения и, следовательно, движение вдоль этой оси будет являться равномерным. Дальность полета ракетыSза все время полета (в проекции на ось Ох) будет определяться выражением:

. (1)

Изменение скорости с течением времени происходит согласно уравнению:

(так как). (2)

Проекция начальной скорости ₀на ось Ох равна. (3)

Используя уравнения (2) и (3), получаем выражение (1) для Sв виде:

. (4)

Время полета можно определить из движения ракеты вдоль оси Оy. Так как вдоль этой оси на тело действует ускорение свободного падения в направлении противоположном начальной скорости, следовательно, движение будет являться равнопеременным, и изменение скорости_yпроисходит согласно уравнению:

. (5)

В верхней точке траектории в момент времени проекция скорости_y= 0 (см. рисунок). Проекция начальной скорости на ось Оyравна, и с учетом этого, время подъема согласно (5) равно:, а. (6)

Дальность полета с учетом (6) . (7)

Уравнение движения вдоль оси Оyбудет иметь вид:

. (8)

Максимальная высота полета ракеты y=Hбудет достигнута за времяt_{подъема}, следовательно, уравнение (8) в проекции на ось Оyможно записать в виде:

.

Подставляя найденные выше выражения для проекции _0yиt_{подъема}, получаем итоговое уравнение:

. (9)

Скорость ракеты через время tопределяется векторной суммой проекций на оси Ох и Оy:

. (10)

Высота ракеты в указанный момент времени определяется согласно уравнению (8):

. (11)

Подставляя известные параметры ₀,,gиtв уравнения (7), (9), (10) и (11) и проведя расчеты с размерностью величин, входящих в уравнения, находим соответствующиеS,H,иh.

.

.

.

.

Ответ:S= 141,25 (м),H=70,63 (м),=20,73 (м/с),h= 16,09 (м).

Задача 4.

Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило свою частоту вращения с 300 до 180 об/мин в течение одной минуты. С каким угловым ускорением двигалось колесо и сколько оборотов оно сделало за это время? Рассчитать линейную скорость точки на ободе колеса в начале и конце указанного времени. Радиус колеса 0,5 м.

 - ? N- ? а- ?b- ?	СИ
ν1=300 об/мин ν2= 180 об/мин t= 1 мин	5 об/с 3 об/с 60 с

Решение

Движение колеса в данной задаче можно рассматривать на примере движения точки на ободе колеса, совершающей криволинейное равнозамедленное движение. Угловое ускорение – это производная угловой скорости от времени . Так как движение равнозамедленное (ε =const), то можно записать. (1)

Угловая скорость ω связана с частотой вращения соотношением: . Подставляя его в (1), получаем итоговое выражение для нахождения углового ускорения:

. (2)

Расчет по формуле (2) с подстановкой размерностей величин дает значение .

Линейная скорость точки на ободе колеса связана с угловой скоростью и радиусом колеса выражением: . Используя связь частоты с угловой скоростью, получаем:

и. (3)

Проверим размерность: .

За время tточка проходит расстояниеS, которое, согласно уравнению равнопеременного движения, находится как:. (4)

Линейное и угловое ускорение связаны между собой через радиус колеса: . (5)

Используя выражения (3) и (5), запишем (4) в виде:

. (6)

За время, равное периоду обращения Т, точка проходит расстояние .

Число оборотов, сделанных за 1 минуту можно найти как

. (7)

Подставляя известные значения ν₁, ν₂иtв уравнения (2), (3) и (7), находим значения нужных величин ε,_аи_b,N.

.

.

.

.

Ответ:ε=-0,21 рад/с²,_а=15,7 м/с,_b= 9,42 м/с,N= 239 об.

Задача 5.

Паровоз на горизонтальном пути длиной S=600 м развивает постоянную силу тяги F = 14,7·10⁴ Н. Скорость поезда возрастает при этом с 36 км/ч до 54 км/ч. Найти коэффициент трения, считая силу трения постоянной. Масса поезда m=1000 т.

μ- ?	СИ
1=36 км/ч 2= 54 км/ч F= 14,7·10^4Н S= 600 м m= 1000 т	10 м/с 15 м/с 10^6кг

Решение

Данная задача решается с применением второго закона Ньютона: .

В нашем случае:

. (1)

Запишем это уравнение в проекциях на горизонтальное и вертикальное направление и учтем, что сила трения пропорциональна модулю силы реакции опоры.

OX:;

OY:;

.

Решая данную систему уравнений, получаем: . (2)

Ускорение найдем через соотношение скоростей и пройденного пути. . Подставляя это выражение в (2), найдем μ:. (3)

Проверим размерность: .

Проведем вычисления:

.

Ответ:коэффициент трения равен μ=4,4·10^-3

Задача 6.

Груз массой 5 кг, связанный нитью через неподвижный блок с другим грузом, массой 2 кг, движется вниз по наклонной плоскости. Найти силу натяжения нити и ускорения грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью 0,1, а угол наклона плоскости к горизонту  = 40º.

Т - ? a - ?	СИ
m1=5 кг m2= 2 кг μ= 0,1  = 40º g= 9,81 м/с

Решение

На первый груз действуют четыре силы: сила тяжести; натяжения нити; сила трения; сила нормальной реакции наклонной плоскости. На второй груз действует две силы: сила тяжестии сила натяжения нити. Модули сил натяжения нитей для первого и второго грузов считаем одинаковыми:

, (1)

так как не учитывается масса блока и нити считаются нерастяжимыми. Отсюда следует, что ускорения грузов одинаковы по модулю:. (2)

Запишем второй закон Ньютона для первого и второго груза с учетом действующих на них сил.

; (3)

. (4)

Определяем направление осей координат для каждого из грузов и записываем уравнения (3) и (4) в проекциях с учетом (1), (2).

OX₁:; (5)

OY₁:; (6)

OY₂:; (7)

. (8)

Решая данную систему уравнений, получаем: .

Проверка размерности: .

Расчет с подстановкой известных величин: .

Подставляя полученное значение ав уравнение (7) системы, находимF_н.

;.

Ответ:а=1,16 м/с²,F_н=21,94 Н.

Задача 7.

Самолет, летящий со скоростью 360 км/ч, описывает в вертикальной плоскости «мертвую петлю» радиусом 200 м. Чему равна сила, прижимающая летчика к сидению в высшей и низшей точках петли, если масса летчика 70 кг?

F1- ? F2- ?	СИ
 = 360 км/ч R= 200 м m= 70 кг	100м/с

Решение

Согласно третьему закону Ньютона, сила, прижимающая летчика к сидению равна по модулю силе, с которой сиденье действует на летчика, то есть, силе реакции сидения ,.

а) В верхней точке траектории на летчика действуют сила тяжести и сила реакции сидения, имеющее направление вниз. Тело, вращающее по окружности, имеет ускорение, направленное к центру траектории: . (1)

Второй закон Ньютона: . (2)

Выберем ось, направленную по ускорению вниз, и запишем уравнение (2) в проекциях на эту ось, с учетом (1): . Откуда. (3)

Проверим размерность: .

Проведем расчет: .

б) В нижней точке сила тяжести направлена вниз, тогда как сила реакции сиденья направлена вверх, также как и центростремительное ускорение. В данном случае ось направляем по ускорению вверх и второй закон Ньютона в проекции на эту ось примет вид: .

Откуда.

Проведя вычисление, получаем значение: .

Ответ:сила, действующая на летчика в верхней и нижней точках «мертвой» петли равна, соответственно:F₁= 2813,3 Н;F₂= 4186,7 Н.

Задача 8.

Пушка, стоящая на очень гладкой площадке, стреляет под углом  = 30º к горизонту. Масса снаряда m₁ = 20 кг, начальная скорость ₁ = 200 м/с. Какую скорость приобретает пушка при выстреле, если ее масса 500 кг?

2- ?	СИ
m1= 20 кг m2=500кг  = 30º 1= 200 м/с

Решение

Данная задача решается с применением закона сохранения импульса . Запишем его применительно к нашей системе «пушка-снаряд».

Согласно закону сохранения, сумма импульсов тел, составляющих систему, до выстрела равна сумме импульсов этих же тел после выстрела:

. (1)

Выберем координатную ось, направленную вдоль горизонтальной плоскости в сторону движения пушки. Запишем уравнение (1) в проекциях на эту ось. Учтем, что начальные скорости

₀₁=₀₂=0 и проекция импульса снаряда после выстрела на ось ОХ:

..

Откуда . (2)

Проверим размерность: .

Вычислим значение по формуле (2):

.

Ответ:₂= 6,93 м/с.

Задача 9.

С горы, высотой 2 м и основанием 5 м, съезжают санки, которые, пройдя 35 м по горизонтальной дороге, останавливаются. Определить коэффициент трения, считая его везде одинаковым.

μ- ?	СИ
h= 2 м L=5 м S2= 35 м

Решение

Решим задачу, применив закон сохранения энергии .

На вершине горы санки имели полную механическую энергию, равную потенциальной энергии тела на высоте h: . В конце пути, в момент остановки санок, их кинетическая и потенциальная энергии равны 0 (т.к.h=0 и=0), то есть, Е=0.

Изменение механической энергии ΔЕ равно работе сил трения, совершаемой на всем пути S:

или. (1)

Работа сил трения А₁на наклонном участке горы будет отличаться от работы сил трения А₂на горизонтальном участке.

; (2)

. (3)

 - это угол между вектором силы трения и направлением движения санок; согласно рисунку, =180º.S₁– длина горы.

Сила трения пропорциональна силе реакции поверхности . По рисунку находим, что:

, а, (4)

где - косинус угла наклона горы к горизонту.

Используя (2) и (3) с учетом уравнений (4), запишем (1) в виде: .

Проведя преобразования, получим μ: .

Проверим размерность: .

Вычислим μ: .

Ответ:коэффициент трения санок равен μ=0,05.

Задача 10.

Амплитуда колебаний точки струны 1 мм, частота 1 кГц. Какой путь пройдет точка за 0,2 с? Найти скорость и ускорение точки в этот момент времени.

S - ?  - ? а - ?	СИ
A =1 мм ν = 1 кГц t = 0,2 c φ0 = 0	10^-3м 10^3Гц

Решение

За время , равное периоду колебаний, точка проходит расстояниеS_T=4А.

Путь, пройденный точкой, можно найти из соотношения: , откуда.

Проверяем размерность: .

Проводим вычисление:

.

Найдем скорость и ускорение точки.

Запишем уравнение колебаний: ,

где х – смещение точки в момент времени t, А-амплитуда колебаний,-циклическая частота, φ₀– начальная фаза.

Скорость равна

.

Ускорение точки а:

.

Проверим размерности: ,

.

Проведем вычисления:

.

.

Ответ:S=0,8 м;= - 0,44 м/с; а=-2,75∙10³м/с².