- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание.
- •Введение
- •Методика изучения математики в высшем учебном заведении студентами заочниками
- •Чтение учебника
- •Решение задач
- •Самопроверка
- •Консультации
- •Контрольные работы
- •Лекции и практические занятия
- •Зачет и экзамен
- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Программа по высшей математике
- •II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •III. Дифференциальное исчисление функции двух переменных
- •IV. Интегральное исчисление
- •V. Дифференциальные уравнения
- •VI. Числовые и степенные ряды
- •Литература
- •Методические указания к выполнению контрольных работ
- •Контрольная работа №2 Задачи 1-10
- •Задачи 11-20,21-30,31-40
- •Производные основных элементарных функций
- •Задачи 11-20
- •Задачи 21 -30
- •Задачи 31-40
- •Задачи 41-50
- •Задачи 51 – 60
- •Задачи 61-70
- •Задачи № 71-90
- •Задачи № 91-110; 111-130
- •Рассмотрим задачи:
- •Тренировочные задания
- •Правило выбора варианта
- •Задачи для контрольных работ
- •Контрольная работа № 2
- •Введение в анализ
- •Задачи 1-10
- •Дифференциальное исчисление Задачи 11-20
- •Задачи 21-30
- •Задачи 31-40
- •Задачи 41-50
- •Задачи 51-60.
- •Задачи 61-70
- •Задачи 71-80
- •Задачи 81-90
- •Задачи 91-110
- •Задачи 110-130.
VI. Числовые и степенные ряды
22. Числовые ряды: общий член ряда, частичная сумма, сумма ряда. Сходимость и расходимость ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.
23. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости: признак сравнения, признак Даламбера, интегральный признак Коши.
24. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
25. Функциональный ряд: радиус, интервал, область сходимости. Степенной ряд. Теорема Абеля.
26. Ряд Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
27. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям.
Литература
1. Высшая математика для экономистов. Под редакцией проф. Н. Ш. Крамера. – М.: Юнити, 2001
2. Баврин. И. И. Высшая математика. М.: Академия, 2002
3. Зайцев И. А. Высшая математика. Учебное пособие для неинженерных специальностей с.-х. Вузов. – М.: Высшая школа, 1991
4.Шипачев В. С. Высшая математика– М.: Высшая школа, 1996
5. Лихолетов И. И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. Минск. Высшая школа, 1976
6. Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. . Высшая математика для экономических ВУЗов – ч. 1 – М.: Высшая школа, 1982
7. Минорский В. П. сборник задач по высшей математике. –М.: Наука, 1987
8. Данко П. Е., Попов А. Г.- ч. 1,2 - М.: Высшая школа, 1974
Методические указания к выполнению контрольных работ
В предлагаемых методических указаниях решены задачи, аналогичные тем, которые даются студентам-заочникам в контрольных работах; обращено внимание на основные трудности и типичные ошибки, которые допускаются при выполнении контрольных работ.
Перед решением каждой задачи предлагаем ознакомиться с основными вопросами теории. Перечисленные ниже вопросы по каждой теме являются основными при защите контрольных работ.
Контрольная работа №2 Задачи 1-10
По теме «Введение в анализ» рассмотрите предварительно следующие вопросы о функциях и пределах:
1. Понятие функции, способы задания функции, область ее определения.
2. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
3. Понятие предела функции в точке.
4. Понятие бесконечно малой функции и ее свойства:
5. Понятие бесконечно большой функции :, ее свойства и связь с бесконечно малой функцией.
6. Теоремы о пределах: предел суммы, разности, произведения, частного функций.
7.Первый замечательный предел:
или
8. Второй замечательный предел:
или в другой форме:
где e- иррациональное число: .
9. Эквивалентные бесконечно малые функции.
10. Виды неопределенностей и способы их раскрытия:
11. Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке.
12. Теоремы о непрерывных функциях.
Задача. Найти пределы функций:
1. 2.
При
3.
4.
Решение. Прежде всего заметим, что во всех примерах следует найти предел частного. Как известно, предел частного существует и равен частному пределов, если существуют пределы числителя и знаменателя и предел знаменателя не равен нулю.
1.а)
Предел числителя и предел знаменателя дроби найдем, подставив в них предельное значение аргумента:
Здесь теорема о пределе частного применима.
б)
При подстановке в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их пределы равны нулю. Теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида «ноль на ноль»
Такая неопределенность раскрывается сокращением дроби на бесконечно малую функцию , в данном случае на, которая обращает числитель и знаменатель в нуль. Для этого нужно сначаларазложить на множители числитель и знаменатель дроби.
Напомним формулу разложения квадратного трехчлена на множители:, гдеи-корниквадратного трех-
члена, которые находим из уравнения .
Разложим на множители числитель данной дроби:
;
Следовательно:
Разложим на множители знаменатель дроби:
;
Следовательно: 4х2+15х-4=4(х+4)(х-1 /4)=(х+4)(4х-1).
Тогда в)
При числитель и знаменатель дроби также стремятся к бесконечности. В этом случае теорема о пределе частного неприменима. Говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность»
Чтобы ее раскрыть, каждый член числителя и знаменателя дроби разделим на в наивысшей для данного примера степени (то есть на), от чего величина дроби не изменится. Тогда получим:
так как
Замечание. Полезно заметить и запомнить, что предел отношения многочленов при равен отношению их коэффициентов при старших степенях.
2.
При подстановке предельного значения в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их пределы равны нулю. Таким образом, перед нами вновь неопределенность вида
которая раскрывается сокращением дроби на бесконечно малую функцию . Для этого предварительно умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному выражению в знаменателе, то есть на:
При умножении сопряженных выражений в знаменателе было использовано тождество
З.Для решения примеров под номером 3 используется первый замечательный предел, с помощью которого раскрываются некоторые неопределенности вида
Примеры этого пункта можно решать также с помощью эквивалентных бесконечно малых функций. Две бесконечно малые функции и называются эквивалентными в точке, если предел их отношения в этой точке равен 1:
значит ~при
Например, при :~; ~;
~; ~ .
При вычислении пределов бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные им.
4.Для раскрытия неопределенностей вида () применяется второй замечательный предел:
где e - иррациональное число, то есть бесконечная непериодическая десятичная дробь, ее приближенное значение: e ≈ 2,7
Найдем
Очевидно, что
Тогда