0. Использование производной в задачах прикладного характера.

Задача 1. Найти такой цилиндр, который имел бы наибольший объём при данной полной поверхности S.

Решение: Пусть радиус основания цилиндра равен x, а высота равна y.

Тогда

Следовательно, объём цилиндра выразится так:

Задача сводится к исследованию функции V(x) на максимум приx> 0.

Н

_{и приравняем её к нулю, откуда}

айдём производную

Найдём

П

_{выполняется условие}

_{,то объём имеет,}

ри

_{наибольшее значение причем}

_{т.е осевое сечение цилиндра должно быть квадратом.}

Ответ: Цилиндр с квадратным сечением имеет наибольший объём при данной полной поверхности S.

План действий при решении задач прикладного характера.

1. Обозначить некоторую неизвестную величину прикладной задачи переменной x.

2. Записать ту величину, которая должна быть по условию наименьшей ( наибольшей ) как функцию переменной x.

3. Исследовать полученную функцию на экстремум, используя производные 1-го порядка и второго порядка, найти значение x, соответствующее точке экстремума исследуемой функции.

4. Записать ответ, вернувшись к прикладному значению x.

0. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Задача.Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

на сегменте -2; 2

Решение: Найдём критические точки и исследуем их на экстремум.

В точке x=0 функция имеет максимум, равный f(0)=3.

В каждой из точек x=-1 и x=1 функция имеет минимум, равный f (-1)=f (1)=2

Найдём значения функции на концах сегмента :

Итак , наибольшее значение равно 11, а наименьшее 2.

Задача . Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой в точке А (0; 1).

Решение: Радиус кривизны вычисляется по фор­муле:

Дважды дифференцируя данную функцию, находим

Вычислим значения производных у' и у" в заданной точке А (0; 1), т.е. при x = 0; имеем y¢(0) = 2; y¢¢ (0) = - 4.

Тогда радиус кривизны:

Для нахождения координат центра кривизны С(x_с; y_с] воспользуемся формулами:

Подставив в эти формулы координаты точки А и найден­ные значения производных, получим:

Итак, точка С (5/2; -1/4) — центр кривизны.

Кривая , точка А (0; 1), центр кривизны С (5/2; -1/4) и радиус кривизны R»2,8 .

Задача. Найти радиус кривизны кривой r = a sin3 j (трех лепестковая роза) в точке A (p/6; а).

Решение. Если кривая задана в полярной системе координат уравнением r=f (j), то ра­диус кривизны вычисляется по фор­муле:

Дважды дифференцируя данную функ­цию r= a sin 3j , найдем

Вычислим значения производных r¢ и r¢¢ в точке A (p/6;a), т.е при j=p/6 и r =a.

Имеем: r¢ (p/6)=0 и r¢¢ (p/6)=-9a. Подставив в формулу r =a, r¢=0 и r¢¢=9a, получим