2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет вычислить вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли заключено между m1 и m2 (при )
,
где ,.
Неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Для его вычисления используются таблицы функций Лапласа
.
Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле
Приближенными формулами Лапласа пользуются в случае, если . Если жеnpq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.
Задание 3. Пусть вероятность появления события A при одном испытании равна p = 0,37. Найти вероятность того, что при n = 100 испытаниях событие A появится от m1 = 30 до m2 = 45 раз.
Решение.
a. Сначала выполните задание, используя таблицу функции Лапласа.
1.
2.
Значения функций Лапласа выбираются из таблицы ЭУМК, контент, тема 12, приложение 2.
Введите исходные данные задания n = 100 , p = 0,37, q, m1 = 30, m2 = 45 и выполните вычисления ,как показано на рис. 19.
Рис. 19. Исходные данные с вычисленными значениями x2 и x1
По вычисленным значениям x2 и x1 найдите в таблице – контент, тема 12, приложение 2 значения функций Лапласа и. Внесите их в ячейки F55 и G55 как показано на рис. 20. В ячейке F57 вычислите вероятность
Рис. 20. В ячейке F57 показан результат вычисления вероятности, полученный с использованием таблиц функции Лапласа
b. Вычисление вероятности вExcel выполняется с использованием функции НОРМРАСП, что позволяет обойтись без таблиц функции Лапласа.
Функции Лапласа связана с функцией НОРМРАСП следующим соотношением
Поместите в ячейку F59 формулу , где, вычисленная ранееи находящаяся в ячейкеF53, как показано на рис. 21.
В ячейку G59 поместите формулу , в ячейкеG53 находится
В ячейку F60 поместите конечную формулу вычисления вероятности
Рис. 21. В ячейке F60 показан результат вычисления вероятности, полученный с использованием функцией НОРМРАСП
с. Этот же результат можно получить, используя функцию БИНОМРАСП, как показано на рис. 22.
Рис. 22. В ячейке F62 показан результат вычисления вероятности , полученный с использованием функции
БИНОМРАСП(x2; n; p;1) – БИНОМРАСП(x1; n; p;1)
Сравните все полученные результаты и сделайте выводы.