Розв’язок:

Ця задача є повністю подібною до попередньої задачі. У згоді з цим, інтенсивність випромінювання визначається формулою (6.8), в якій напрямок диполя визначатиметься не ортом , а іншим ортом :

.

В лабораторній системі координат орти і мають вигляд:

,

тому

.

Остаточно, при довільних виборах орієнтації дипольного моменту осцилятора Герца і точки спостереження інтенсивність випромінювання в лабораторній системі координат дорівнює:

. (6.12)

Напруженості електричного і магнітного полів у хвильовій зоні осцилятора Герца визначаються формулою, подібною до (6.9):

(6.13)

Задача 3. Заряд обертається за колом з кутовою частотою . Радіус кола дорівнює . Визначити інтенсивність та поляризацію випромінювання.

Розв’язок:

a) Розглянемо спочатку найпростіший випадок, коли коло, за яким рухається заряд, є розташованим у площині , а його центр співпадає з початком координат. В цьому випадку радіус-вектор заряду змінюється за законом:

.

Проте орти ЛСК краще вибрати так, щоб орт був направлений вздовж прямої перетину площини і площини, утвореної віссю і радіус-вектором , а орт був перпендикулярним до останньої площини. Тоді,

,

де азимутальний кут, який задає положення радіус-вектору точки спостереження. Неважко бачити, що

і ,

тобто,

, і (6.14)

утворюють нову сукупність взаємно перпендикулярних ортів, які утворюють більш доцільну систему координат у порівнянні з лабораторною СК.

З означення дипольного моменту випливає, що

.

Початок відліку часу можна вибрати у такий спосіб, щоб . Тоді

. (6.15)

Оскільки радіус-вектор точки спостереження представляється у вигляді:

,

то

(6.16)

і

.

Інтенсивність випромінювання згідно (6.3), таким чином, дорівнює:

. (6.17)

Представимо тепер (6.17) у векторній формі, яка буде придатною для будь-якої просторової орієнтації кола, за яким рухається заряд. Очевидно, що

,

тобто

.

б) Якщо просторова орієнтація кола задається ортом , перпендикулярним до площини кола, то інтенсивність випромінювання описується виразом:

, (6.18)

в якому новий початок відліку часу відповідає моменту проходження зарядом точки перетину кола з площиною, утвореною ортами і .

в) Розглянемо тепер характер поляризації електромагнітного випромінювання у власній системі координат, яка задається ортами:

, і ,

і довільній лабораторній системі координат з ортами .

Напруженості електричного і магнітного полів у власній системі координат визначаються формулами (6.2):

. (6.19)

де, згідно (6.15),

.

Орти , і є пов’язаними з ортами , і ССК, для якої полярна вісь є направленою вздовж , а азимутальний кут відраховується від вісі , направленої вздовж , співвідношеннями:

(6.20)

Оскільки, , то

і

Вираз для напруженості електричного поля можна представити у вигляді:

.

Звідси випливає, що електромагнітна хвиля, яка генерується рівномірним рухом заряду вздовж кола, є циркулярно поляризованою. Відношення амплітуд дорівнює:

або , (6.21)

тобто, кінець вектора напруженості електричного поля, як функція часу, описує еліпс, витягнутий вздовж паралелі. В полярній області, коли еліпс вироджується у коло, а в екваторіальній площині, коли , еліптично поляризована хвиля переходить у лінійно поляризовану – вздовж паралелі.

г) Зрозуміло, що зроблений нами висновок про характер поляризації хвилі, яка розповсюджується вздовж напрямку , не може залежати від вибору ЛСК. Значення , одначе, обчислюється за формулою:

, (6.22)

яка безпосередньо випливає зі скалярного добутку ортів і в довільній ЛСК:

і .

д) Повна інтенсивність випромінювання визначається з (6.17) інтегруванням за кутами:

. (6.23)

Усереднення за періодом обертання приводить до остаточної формули:

. (6.24)

Як і повинно бути, інтенсивність випромінювання співпадає зі значенням, яке визначається за формулою:

, (6.25)

де .