Для студентов / Методички / (3)Методичка - ЕСС / (3)Ємності конденсаторів

в) Розглянемо тепер більш повно зміну потенціалу другої сфери під впливом електричного поля, утвореного першою сферою. На першому кроці, як ми вже бачили (див.(32) і (33)), потенціал незарядженої другої сфери дорівнює: .

Вихідне електричне поле першої сфери індукує на другій сфері два заряди-зображення: один з яких, , є розташованим в центрі сфери, , а другий, , в точці . Згідно (46), ці індуковані заряди поляризують першу сферу подібно полю диполя . Це поле призводить до виникнення на першій сфері дипольного моменту , який дорівнює:

.

Тут ми скористались значенням поляризуємості провідної сфери (див.(21)) і напруженістю електричного поля диполя, потенціал якого задається формулою (46).

Поле диполя, індукованого на першій сфері, змінюватиме потенціал другої сфери на величину (див.(47)):

.

Оскільки, згідно (46), , то

.

Таким чином, з урахуванням поправок, перехресні потенціальних коефіцієнтів дорівнюють:

. (51)

Порівнюючи (50) і (51), ми бачимо, що поправки до перехресних потенціальних коефіцієнтів є більш високого порядку, чим до і .

Фактично, оцінка (51) отримана в дипольному наближенні, оскільки на кожному зробленому кроці приймалось, що індуковані на першій і другій сферах заряди утворюють диполі. Ця обставина не є точною.

Переконаємось в цьому прямим розрахунком. Дійсно, згідно (45), в околі другої сфери потенціал поля дорівнює сумі потенціалів вихідного електричного поля першої сфери і поля, утвореного двома індукованими зарядами другої сфери: , де .

Один з цих зарядів, , буде поляризувати першу сферу і утворювати навколо неї поле:

,

де

, .

Другий з них, який знаходиться в точці , утворює поле з потенціалом:

,

де

, .

Ми бачимо, що додаткове електричне поле першої сфери формується трьома зарядами , і +, які розташовані в трьох різних точках: , і відповідно. Це поле зводилось би до поля диполя тільки у випадку, коли . Але оскільки , крім дипольних внесків виникають також додаткові внески більш високого порядку. Легко впевнитись, що в околі другої сфери, коли , сума потенціалів з точністю до дорівнює нулю:

.

Таким чином, якщо обидві сфери заряджуються одночасно, їх потенціали приймають вигляд:

Як наслідок, матриці потенціальних і ємнісних коефіцієнтів апроксимуються наступними виразами:

+, (52)

+. (53)