Примеры законов распределения непрерывной случайной величины
Основными законами распределения непрерывной случайной величины являются: равномерное, экспоненциальное , нормальное и другие. Рассмотрим равномерное распределение.
Равномерное распределение
Равномерным считается распределение, при котором все значения случайной величины (в области ее существования, например, в интервале [a,b]) равновероятны. Функция распределения для такой случайной величины имеет вид:
Плотность распределения:
F(x) f(x)
1
0 a b x 0 a b x
Рис. Графики функции распределения (слева) и плотности распределения (справа).
Числовые характеристики случайных величин
Исчерпывающей характеристикой случайных величин является закон распределения. Как известно, закон распределения представляет собой некоторую функцию, указание которой полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. На практике бывает трудно построить закон распределения случайной величины (да и нет потребности в таком полном описании). Достаточно указать отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения, например, 1) среднее, вокруг которого разбросаны значения случайной величины; 2) число, характеризующее величину этого разброса и т.д.
Числа, в сжатой форме выражающие наиболее существенные черты распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.
Среди них рассмотрим прежде всего характеристики положения, фиксирующие положение случайной величины на числовой оси, т.е. некоторое среднее, ориентировочное значение случайной величины, около которого группируются её возможные значения. Из характеристик положения в теории вероятности наибольшую роль играет математическое ожидание, иногда его называют средним значением случайной величины.
Математическое ожидание
Определение 1: Математическим ожиданием или средним значением случайной величины X, заданной на вероятностном пространстве <W,F,P>, называется число
M[X]=
если. интеграл, стоящий в правой части, существует.
Мы знаем, что случайная величина Х(w) индуцирует меру Рх на прямой, задаваемую равенством: Px=P{X<x}=F(x), поэтому М[X] мы можем определить также как
,
(1)
где F(x) - функция распределения случайной величины Х.
Из определения следует, что M[X] существует, если M½[X]½<¥. Практически редко встречаются случаи, когда математическое ожидание не существует. Если F(x) ─ ступенчатая функция (рассматривается дискретная случайная величина), то интеграл Стилтьеса в формуле (1) превращается в сумму
,
Р(Х=хi)=рi
,
- математическое ожидание для дискретной случайной величины.
Если F(x) имеет плотность f(x), то
- математическое ожидание для непрерывной случайной величины.
Математическое ожидание M[X] можно рассматривать как координату «центра тяжести» распределения F единичной массы на прямой и это соответствует естественному пониманию среднего значения этого распределения.