пособие по физике формат pdf / Глава 1. Механика

механического воздействия на тело со стороны других тел, в результате которого тело получает ускорение или деформируется. Сила будет полностью определена, если заданы её модуль, направление и точка приложения. В СИ сила измеряется в

	ньютонах ( 1Н 1	кг м		).
		с	2

Второй закон Ньютона устанавливает связь между силой, массой и ускорением:

Ускорение, полученное телом, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально его массе,

т.е.
				F			dV		d (mV )
		a	m		или F	ma m				.	(1.6)
							dt		dt
Одновременное действие на материальную точку нескольких
сил F1	, F2	, … Fn		эквивалентно действию одной силы F ,							называемой

равнодействующей (или

геометрической сумме:	F

результирующей)

F	F	… F
1	2	n

силой и равной их

Fi .

i1

В частных случаях, когда силы направлены в одну сторону, модуль результирующей силы равен сумме модулей слагаемых сил

n
F F .
i	i
	1

Если слагаемые силы противоположно направлены, то их

модули будут иметь в этой сумме противоположные знаки.

Если на тело действует несколько сил, не нарушающих его равновесия (состояние покоя или равномерного прямолинейного движения), то будут выполнены следующие два условия:

а) сумма всех действующих на тело сил равна нулю; б) сумма моментов (см. раздел 1.14) всех действующих на тело

сил равна нулю.

Третий закон Ньютона говорит о том, что в природе нет и не может быть одностороннего действия одного тела на другое, а существуют лишь взаимодействия. Его формулировка:

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга,

направлены по одной прямой, равны по модулю, но противоположны
				сила, действующая на тело 2
по направлению: F	F		, где F
12		21	12
со стороны тела 1;	F21	сила, действующая на тело 1 со стороны

тела 2.

20

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое масса тела?

2.Дайте определение силы.

3.Сформулируйте второй закон Ньютона.

4.Сформулируйте третий закон Ньютона.

5.На тело действует одна единственная сила. Может ли ускорение тела равняться нулю? Может ли тело иметь скорость, равную нулю?

6.Если ускорение тела равно нулю, то значит ли это, что на него не действует ни одна сила?

7.Чему равна результирующая сила в случае, когда на материальную точку действует несколько сил?

§1.8. Силы упругости. Силы трения

Силы упругости возникают при деформации тел. Упругость – свойство тела восстанавливать свою форму после прекращения воздействия. Сила упругости, возникающая при упругой деформации (рис. 1.5), по закону Гука пропорциональна деформации тела х: F kx, где k коэффициент пропорциональности, определяющий

свойство упругости тела ( k 0 ).

Знак минус в законе Гука означает, что сила направлена в сторону уменьшения деформации. Закон Гука справедлив при малых деформациях.

F

х

Рис. 1.5

Сила трения возникает при непосредственном соприкосновении тел и всегда направлена вдоль поверхности

21

соприкосновения в сторону, противоположную движению. При отсутствии взаимного перемещения взаимодействие между соприкасающимися телами называется силой трения покоя.

		N
Fтр			F

mg

Рис. 1.6

Эта сила направлена

	N
Fтр		V

mg
Рис. 1.7
против внешней силы
	F ,

приложенной к телу (рис. 1.6) и равна ей по модулю до тех пор, пока внешняя сила не превышает максимального значения силы трения покоя (т.е. до начала скольжения). Сила трения скольжения – сила,

возникающая при		относительном движении		соприкасающихся тел.
Она пропорциональна силе реакции опоры N :
Fтр	N ,	где	коэффициент	трения скольжения

(безразмерная величина, обычно меньшая единицы). Сила трения скольжения направлена противоположно скорости (рис. 1.7).

Трение между двумя соприкасающимися твёрдыми телами называют сухим. Коэффициент трения можно существенно снизить благодаря смазке. При этом сухое трение между телами заменяется значительно меньшим жидким трением между слоями масла.

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое упругость тела?

2.Дайте определение силам трения покоя и скольжения.

3.Сформулируйте закон Гука.

22

§1.9. Закон всемирного тяготения. Земное притяжение и вес

В результате наблюдений Ньютон пришёл к выводу, что между всеми телами действуют силы взаимного притяжения (гравитационные силы) и открыл закон всемирного тяготения, который может иметь следующую формулировку: любые две

материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

где

		F
	11	Нм		2
G 6,67 10
		кг	2

G

	m m
	1	2	,
	R	2

гравитационная

(1.7)

постоянная. Саму

природу и механизм, объясняющий суть взаимного притяжения тел Ньютон не объяснил, ограничившись лишь признанием самого факта существования этого явления природы. Вальтер Ритц в своей баллистической теории даёт весьма простое объяснение этому феномену [3].

Сила тяжести – это сила, с которой тело притягивается к Земле. Согласно закону всемирного тяготения (1.7) эта сила равна:

F G

Мm

mg,

(1.8)

Т R2

где

M

5,976 10	24	кг

масса

Земли,

m

масса

тела,

R

расстояние тела до центра масс Земли. Вблизи земной поверхности это расстояние можно считать равным среднему радиусу Земли

Rз 6371,2км 6,3712 106 м. В этом случае из (1.8) следует, что ускорение свободного падения

g G	М		6,67 10 11	Нм2		5,976 1024	кг	9,81	м	. (1.9)
	Rз	2		кг 2		6,3712 106	м 2		с2

Весом тела называется сила Р , с которой тело, вследствие его притяжения к Земле, действует на опору или подвес (рис. 1.8).

23

В том случае, если тело покоится или движется без

ускорения относительно Земли, вес тела численно равен силе
тяжести Р mg.
		N
			N
		mg

Р

Рис.1.8

mg	a

Рис. 1.9

	mg приложены к различным телам.
Вес Р и сила тяжести F
Т

Тело, находящееся на опоре (рис. 1.8), деформирует опору. Вес тела
	FТ	mg к центру масс тела. В
Р приложен к опоре, а сила тяжести

соответствии с третьим законом Ньютона
действует на тело с силой реакции опоры	N

все три силы по модулю равны.

.

деформированная опора В состоянии равновесия

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое гравитация?

2.Дайте определение закону всемирного тяготения.

3.Что такое вес тела?

4.Какую природу имеет сила тяжести – гравитационную, трения или упругости?

5.Какую природу имеет сила реакции опоры – гравитационную, трения или упругости?

§1.10. Невесомость. Первая космическая скорость

Если тело движется с ускорением, направление которого совпадает с направлением ускорения свободного падения, то его вес будет меньше веса покоящегося тела. Объяснить это можно следующими рассуждениями.

24

Пусть тело движется с ускорением				(рис. 1.9) в направлении
			a
ускорения свободного падения		Тогда по второму закону Ньютона
	g.

	результирующая сила N			а её модуль, с учетом того, что
		mg	ma,
	все силы направлены по вертикали,			будет равен	N mg ma,
	откуда N m(g a). По третьему
				закону Ньютона вес тела Р
	численно равен силе реакции опоры N (по модулю). Следовательно,
		Р m(g a) mg.
	В частном случае, когда		a g, вес тела становится равным

нулю

Р 0,

т.е. тело пребывает в состоянии невесомости. В этом

случае результирующей силой является сила тяжести, и никакие другие силы на тело не действуют. Поэтому любое тело, на которое действует только сила тяжести без какого-либо противодействия, находится в состоянии невесомости.

Если ускорение тела направлено противоположно ускорению свободного падения, вес тела увеличивается:

Р m(g a) mg,

при этом говорят, что тело испытывает перегрузку.

Тело, имеющее горизонтальную составляющую скорости, будет падать по параболе. Чем больше эта горизонтальная скорость, тем больше траектория падения будет вытянута по горизонтали. Если телу сообщить достаточно большую скорость в горизонтальном направлении, то оно может вообще не упасть на Землю. Оно будет

вращаться по круговой Rз радиус Земли, h

околоземной орбите с радиусом	R h,	где
	з

высота над поверхностью Земли. Удерживать

тело на этой орбите будет центростремительная сила с ускорением

согласно выражению (1.4)

			V		2
a						,
				1
	n		R		h
				з

а противоположная ей

центробежная сила с тем же по модулю ускорением, противоположным по направлению уравновесит силу тяжести

но mg,

т.е.	man m	V	2	Rз h )
		1	mg, откуда (с учётом того, что

Rз h

определяется первая космическая скорость, необходимая для вывода тела на околоземную орбиту,

	V			9,81		м	6,3712 106 м 7,9		км	.
		gR	з								(1.10)
	1					с2			с
							25

Вопросы для самоконтроля

1.Тело падает вертикально вниз с ускорением 0,4g. Чему равен его вес, если в состоянии покоя он равнялся 1000 Н?

2.Тело движется вертикально вверх с ускорением 3g. Чему равен его вес, если в состоянии покоя он равнялся 1000 Н?

3.Верно ли, что первая космическая скорость пропорциональна корню квадратному от радиуса орбиты?

§1.11. Закон сохранения импульса. Реактивное движение

Импульсом материальной точки называется векторная

физическая величина, равная произведению её массы на скорость:
mV .	Согласно одному из выражений второго закона Ньютона (1.6)
	(mV )	или
F	t
		F t (mV ).		(1.11)
	В левой части последнего равенства стоит произведение силы на
малый интервал времени, в			течение которого	сила считается
постоянной. Это произведение			F t называется импульсом силы. А в

правой части этого равенства стоит изменение импульса тела за временной интервал t. Таким образом, из второго закона Ньютона следует, что изменение импульса тела равно импульсу силы.

Совокупность тел, взаимодействующих только между собой, но не взаимодействующих с другими телами, называют замкнутой системой тел. Именно для таких систем справедлив закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы является

величиной постоянной:

n			const.
m V
i	i	i
	1

(1.12)

Например, для замкнутой системы, состоящей из двух тел,

выполняется соотношение:
		m V m V								,
						m v		m v	2
		1	1	2	2	1	1	2
		скорости тел после их взаимодействия.
где v1	, v2

Важным применением закона сохранения импульса является реактивное движение. Так называют движение, возникающее при отделении от тела частиц с высокой скоростью заданного направления, суммарный импульс которых обеспечивает движение тела в направлении, противоположном направлению суммарного

26

импульса частиц. В частности, движение ракет является одним из таких примеров.

Упрощенно ракету можно представить как замкнутую систему

из двух тел – боеголовки с массой

mб

и топлива массой

mТ .

До

взаимодействия этих тел (до запуска ракетного двигателя) суммарный импульс системы равнялся нулю, т.к. и скорость ракеты, и скорость вылетающих частиц газа из сопла ракетного двигателя равнялись нулю. Поэтому на основании закона сохранения импульса можно написать соотношение:

Скорости

		m 0 m			0
			б	Т
			ракеты
	v	, v
	б	Т

0		m
	m v		v .
	б б	Т	Т
и	частиц	продуктов сгорания,

вылетающих из сопла, противоположно направлены.

последнего соотношения следует, что	0 m v
	б б

		m
v	v	T	.
б	Т
		m
		б

Поэтому из

m v	или
Т Т

Из последнего соотношения следует, что реактивные двигатели позволяют развивать воистину космические скорости. Идея использования ракет для космического полёта была предложена в начале ХХ века русским учёным К.Э. Циолковским. Им была получена более точная формула для определения скорости ракеты, предложена многоступенчатая конструкция ракетоносителей.

Вопросы для самоконтроля

1.Сформулируйте второй закон Ньютона на языке импульса силы и импульса тела.

2.Сформулируйте закон сохранения импульса.

3.Пушка массой 800 кг выстреливает ядро массой 10 кг с

начальной скоростью 200 м/с параллельно горизонту. Какова скорость отката пушки?

4. Бильярдный шар со скоростью V ударяет в лоб по неподвижному такому же шару. Каковы будут последствия?

§1.12. Механическая работа. Мощность. Энергия

Работа силы – это физическая величина, равная скалярному произведению векторов силы и перемещения, вызванного действием этой силы:

A FS cos ,	(1.13)
27

где угол между векторами F	и S

				F
			Fs		S

Рис. 1.10

(рис. 1.10).

Fs

dA

A

S1

dS

S2

S

Рис.1.11

Если на тело действует несколько сил, то общая работа равна алгебраической сумме работ каждой из сил в отдельности. Работа силы положительна, если угол острый (рис. 1.10), отрицательна,

если

тупой, и равна нулю, если 2 .

В СИ работа измеряется в джоулях: 1Дж = 1Нм.

Элементарная работа при перемещении тела на бесконечно

малую	величину	dS	равна				dA F cos dS.				Полная работа,
затраченная на перемещение тела из положения S1											в положение S2 ,
вычисляется через определённый интеграл
			A	S	2	F cos dS		S	2
										F dS,
										S
				S	1			S	1
где Fs	F cos проекция силы на направление перемещения (рис.

1.10). Геометрическая интерпретация работы выражена площадью

криволинейной	трапеции под графиком			силы			F f (S) ,
								s
ограниченной	вертикальными	прямыми	S S		1	, S S	2	и осью
абсцисс (рис.1.11).
Мощность – это работа,		совершённая		за		единицу времени:

N

A t

,

откуда с учётом (1.13)

	N	FS cos	FV cos .
		t

(1.14)

В СИ мощность измеряется в ваттах: 1Вт = 1Дж/с =1Нм/с. Механической энергией называется способность тела

совершать работу. Энергия измеряется в тех же единицах, что и

28

работа. Конкретная формула для расчёта энергии зависит от типа сил, совершающих работу.

Для простоты рассмотрим одинаково направленные силы и перемещения. Тогда работа будет равна A FS. Используя формулу (1.3а) и второй закон Ньютона F ma, получим

	mV	2		mV	2
A maS	2			1		.
	2			2

(1.15)

Следовательно, тело производит работу за счёт уменьшения своей скорости или, наоборот, тело увеличивает свою скорость за счёт совершённой над ним работы. Энергию движущегося тела называют кинетической. Кинетическая энергия движущегося тела определяет работу, которую оно может совершить до полной своей остановки:

				mV	2
	E				.
		K		2

(1.16)

Потенциальной энергией называется энергия, определяемая расположением тел или частей тела и их взаимодействием друг с другом. Поднятое тело обладает энергией, потому что оно взаимодействует с Землёй, находясь в поле земного притяжения. Рассмотрим работу силы тяжести mg в случае, когда направление

движения тела совпадает с направлением силы тяжести, т.е. когда

тело падает вниз с высоты h		до высоты h		. Эта работа будет равна
	1		2
A1,2	mg(h1 h2 ) (mgh2	mgh1 ).	Работа по переводу тела из

одного состояния в другое равна разности потенциальных энергий в этих состояниях:

где

		A
		1,2
E	П 2	mgh E		,
		2	0

(mgh			mgh
		2	1
E	П 1	mgh
			1

) (E			П 2	E	П 1	),
E	,	E константа, имеющая
0		0

размерность энергии. Величина этой константы, а, следовательно, и нулевой уровень потенциальной энергии, могут быть выбраны

произвольно. При этом работа A1,2 не меняется.

Если выбрать за нулевой уровень потенциальную энергию на

высоте

где h

h	,
1

h2

то энергия на высоте h2 будет равна
EП mgh,	(1.17)
h1 ).

Выражение для работы силы тяжести, не зависит от того, по какой траектории перемещается тело – вертикальной, наклонной или по параболе.

29