Барменков Методика решения задач повышенной сложности по теории 2010

;

5

[1;

] .

Итак, образом области

D при отображении

4

функцией Жуковского является:

при

c

1

–

вся

комплексная

плоскость с разрезом по отрезку

2

[ 1;1] 1;

5

1;

5

;

4

4

при c

1

– вся комплексная плоскость с разрезом по лучам

2

;

5

и [

1;

]

[

1;1] [1;

] . При этом в обоих случаях

4

отображение является конформным.

Задача 7. Отобразить

конформно на всю плоскость с разрезом

по лучу [0;

] область D

1] [1;2]} .

{z :

z

1, z

[ 2;

Решение. Функция Жуковского

w

1

z

1

конформно ото-

1

2

z

бражает по свойству 4) внешность {z :

z

1} замкнутого единич-

ного круга на всю плоскость Сw с разрезом по отрезку [ 1;1] .

1

Как и в задаче 1, получаем, что отрезок [

2;

1] при этом ото-

бражается

на отрезок

5

; 1 ,

а

образом

отрезка [1;2] будет

4

1;

5

. Поэтому функция

w

отобразит область

D на область G

4

1

1

– всю плоскость

С

с разрезом по отрезку

5

;

5

(рис.8).

w

4

4

1

21

z

-2

-1

1

w1

w1

2	-5/4	5/4

Рис.8

Подберем ДЛФ w , переводящую G1 на всю плоскость Сw с разрезом по лучу [0; ] (рис.9).

w

w1	w

-5/4 5/4

Рис.9

22

Применяя свойства ДЛФ, легко проверить, что в качестве такой

		5		w1
						5	4w1
функции подойдет, например, w		4						. Искомую
		5		w1	5		4w1
		4

функцию составляет суперпозиция двух указанных выше отобра-

	5 4				1		z		1
												2z 2	5z 2
жений w и w					2				z
	: w														.
1					1				1			2z 2	5z	2
	5			4			z
					2				z
Ответ. w		2z 2		5z	2		.
		2z 2		5z	2
Упражнение 6. Найти какие-либо функции w														w(z) , осущест-

вляющие конформные отображения следующих областей (рис.10 – рис.12) на плоскость с разрезом по лучу [0; ] .

a)

б)

1

-1

1

-1

Рис.10	Рис.11

23

в)

-2 -1

Рис.12

Ответ. а) w	z 2	1	; б) w	(z 1)	2	; в) w	2z 2	5z 2	.
	(z	1)2		2z			(z	1)2

1.4. Степенная функция w z		z		ei arg z , 0 arg z 2 ,

0 (в общем случае это многозначная функция, однако, нам вполне достаточно указанного определения степенной функции).

Например, при

1

рассматривается только одна ветвь двузнач-

2

1

1

arg z .

ной функции w

z

, действующая по правилу z

z

e

2

2

Перечислим некоторые свойства этой функции.

1) Функция

w

z

является однолистной в угле

z : 0 arg z

2

.

24

2) Функция w z отображает луч {z : arg z } ,

0

2

, на луч {w : arg w

} .

3) Степенная функция конформно отображает:

сектор {z :

z

r, 0

arg z

}, 0

2

, на

сектор {w :

w

r , 0

arg w

}

(рис.13).

z	w

w = zα

αβ

β

		r									rα
						Рис.13
	угол	{z : 0			arg z		} ,	0	2	, на угол
	{w : 0 arg w					} (рис.14).
Упражнение 7. Проверить, что:
а) степенная функция w				z 2 отображает конформно первый
квадрант	z : 0	arg z				на	верхнюю		полуплоскость
		2
{w : 0 arg w	}	(рис.15),				а также		верхнюю полуплоскость
					25

{z : 0 arg z } на плоскость с разрезом по положительному

лучу, т.е. на область {w : 0				arg w	2 } (рис.16).
б)	функция w	z отображает плоскость с разрезом по лучу
[0;	] , т.е. область {z : 0			arg z	2 }, на верхнюю полуплос-

кость.

z	w
	w = zα
	αβ

β

Рис.14

w

z

w = z2

Рис.15

26

z

w

w = z2

Рис.16

Рассмотрим вопрос об отображении круговой луночки на примере типичной задачи. Метод решения подобных задач состоит в том, чтобы с помощью ДЛО «распрямить» границы области, отправив одну общую граничную точку в 0, а другую в . При этом круговая луночка отображается на некоторый угол с вершиной в начале координат. С помощью степенной функции полученный угол раз-

ворачивают до угла раствора

, который уже не сложно отобра-

зить на верхнюю полуплоскость.

1,

Задача 8. (№ 2.91(1) [1]) Отобразить круговую луночку

z

z

i

1 (рис.17) на верхнюю полуплоскость.

Решение. Граница области G (круговой луночки) состоит из

дуг

1

AOB и

2

ACB

двух окружностей, изображенных на

рис. 17.

Так как OC

CB

OB

1, то, очевидно, точка A изо-

бражает комплексное число

z

3

1

i , а точка B – число

1

2

2

z2

3

1

i .

2

2

27

z

Рис.17

«Распрямляем» границы 1 и 2 , отображая z1 в , z2 в 0 с помощью ДЛФ

				3							1		i			z
																						2z						3		i
w1				2						2																						.
				3								1			i		z					2z						3		i
				2						2
Поскольку w (i)	2i			3									i				i		3									1					3		i , то
1	2i			3									i				i		3									2				2
реводится отображением w1										в луч,									выходящий из точки w1
проходящий через точку				w (i)												1							3				i .
				1												2			2

28

2 пе-

0 и

Аналогичным образом устанавливаем, что							1	переходит в луч,
выходящий		из точки w1 0 и проходящий через точку
w (0)	1			3		i .
1	2	2

При этом образом исходной круговой луночки в плоскости Cw
				1
будет угол	G	раствора	2	, сторонами которого являются ука-
	1	3

занные лучи (рис.18). (Проверьте!)

w1

Рис.18

Повернем	G	на угол	2	по часовой стрелке, чтобы получить об-
	1	3

ласть, изображенную на рис.19. Для этого воспользуемся отображением

2 i

w2 w1 e 3 .

29

w2

Рис.19

Отображение

3

w w22

развернет угол G2 до угла раствора , совпадающего с верхней полуплоскостью (рис.20).

w

Рис.20

30