Барменков Методика решения задач повышенной сложности по теории 2010

3)	полоса 0			x		;
4)	полоса	0		x			;
						4
5)	полоса				x				.
			4					4

Решение.

1) Найдем образ вертикальной линии x

C при ото-

бражении w

tg z :

w tg z

tg(C iy)

sin 2C

i

sh 2 y

: u

iv .

cos 2C

ch 2 y

cos 2C

ch 2 y

Выведем зависимость u от v . При

C

k ,

k

Z , будет

2

sin 2C

0 ,

и можно провести следующие преобразования:

v

sh 2 y

,

sh 2 y

v

sin 2C,

sh 2 2 y

v 2

sin 2 2C ,

u 2

u

sin 2C

u

ch 2 2 y 1

v 2

sin 2

2C .

(

)

u 2

С другой стороны,

u

sin 2C

,

ch 2 y

sin 2C

cos 2C ,

cos 2C

ch 2 y

u

ch 2 2 y

sin 2 2C

2

sin 2C cos 2C

cos2 2C .

(

)

u 2

u

Из соотношений (

) и (

) получаем

1

v 2

sin 2

2C

sin 2 2C

2

sin 2C cos 2C

cos2 2C ,

u 2

u 2

u

1

cos2 2C

v2

sin 2 2C

sin 2 2C

2

sin 2C cos 2C ,

u 2

u 2

u

u 2 sin 2 2C

v 2 sin 2 2C

sin 2 2C

2u sin 2C cos 2C ,

51

			u 2	v2	1	2u ctg 2C ,
u 2	2u ctg 2 C				ctg 2 2C		v2	1 ctg 2 2C ,
		(u	ctg 2 C)2			v2	1	ctg 2 2C .
Поскольку знак u совпадает со знаком sin 2C , то образ пря-
мой x C , C		k ,	k	Z ,	лежит на соответствующей дуге ок-
	2

ружности (докажите, что совпадает с этой дугой), соединяющей

точки

i

и

i .

Центр

этой

окружности

находится

в

точке

1

w

ctg 2 C , а радиус равен R

1

ctg 2 2C

.

0

sin 2C

Отдельно рассмотрим случай sin 2C

0 ,

т.е. C

k ,

k Z .

2

Если k

2n ,

n

Z ,

то

w

tg(

n

iy) tg iy i th y .

Множество значений функции th y есть интервал (

1;1)

(проверь-

те!). Итак,

прямые

x

n ,

n

Z ,

отображаются в интервал

мнимой оси (

i ; i) .

Если k

2n

1,

n

Z , то

w

tg

n

iy

ctg iy

i cth y .

2

Значит, образом любой прямой

x

n ,

n Z , является мно-

2

жество (

;

i) (i;

) .

52

y

z

x

	v
i	v
	w
	u
-i
Рис.42

Найдем образ горизонтальной линии y C при отображении w tg z :

w tg z tg( x iC ) 53

sin 2x

i

sh 2 C

: u iv.

cos 2x

ch 2 C

cos 2 x

ch 2 C

При C 0 преобразования, аналогичные тем,

что были прове-

дены выше, дают соотношение

(v

cth 2C)2

u 2 cth 2 2C

1.

Следовательно, семейство прямых y

C , C

0 ,

отображается в

семейство окружностей с центрами w0

cth 2 C и радиусами

1

R

ct h2 2C 1

. Эти окружности пересекаются с ок-

sh 2C

ружностью {w : w 1} под прямым углом (окружности Аполлония относительно точек w i ) (рис.43).

	В случае С	0	функция w			tg z отображает (не инъективно)
вещественную ось на вещественную ось.
	Ответ. Образом прямоугольной сетки							при	отображении
w	tg z является семейство,				состоящее из вещественной и мни-
мой осей, дуг окружностей					(u	ctg 2 C)2	v2	1	ctg 2 2C , со-
единяющих точки			i и i	(центру, лежащему слева от мнимой оси,
соответствует		правая дуга,			и	наоборот), а также окружностей
Аполлония (v		cth 2C)2		u 2		cth 2 2C 1	относительно точек
w	i .

54

y

z

x

v

w

u

Рис.43

55

Упражнение 8. Опираясь на результат пункта 1) задачи 12, до-

кажите, что:
- образом полуполосы 0 x	, y 0 при отображении

w tg z является верхняя полуплоскость с вертикальным разрезом, соединяющим точки 0 и i (рис.44);

y	z

x

0

v

w

i

u

Рис.44

- образом полосы 0 x при отображении w tg z явля-

ется вся плоскость с прямолинейным разрезом, соединяющим точки i и i (рис.45);

56

y

0

Рис.45

z

x

v

w

u

- образом полосы 0			x		при отображении w tg z явля-
			4
ется полукруг {w :	w		1, Re w		0} (рис.46);

57

y

z

x

0

v

w

i

u

-i

Рис.46

	- образом полосы					x		при отображении w tg z	яв-
				4			4
	ляется круг {w :	w		1} (рис.47).

58

y

z

x

v

w

u

-1

1

Рис.47

59

2.Вычисление контурных интегралов

Вдополнение к рассмотренным в работе [2] контурным интегралам ниже будут разобраны примеры повышенной сложности.

Опуская строгие определения, напомним, что если функция f(z)

непрерывна в области D вплоть до контура , ограничивающего эту область, и аналитическая внутри него, за исключением конеч-

ного числа особых точек zk , то

f (z)dz 2 i Res f (z) .		(2.1)
k	zk
При этом надо учитывать, что многосвязность области D приво-
дит к интегрированию по составному контуру		. Кроме стандарт-

ного применения соотношения (2.1) для сравнительно небольшого числа изолированных особых точек, попавших внутрь контура , часто используют теорему о сумме вычетов аналитической функции во всей расширенной комплексной плоскости:

	Res f (z)		Res f (z)		0 .
k	zk
Задача 13. Вычислить		z3		dz , где	{z :		z		2} – ок-
		z4	1

ружность радиуса 2 с центром в начале координат, ориентированная против хода часовой стрелки (далее такую ориентацию контуров считаем положительной).

Решение.				Внутрь			контура			попадают четыре точки вида
					( 2 k )i
zk	4	1		e	4		, k 0,3 ,			которые являются простыми полю-

сами функции f (z)		z3			, причем других особых точек в С эта
		z4	1
функция не имеет. По указанным выше соображениям
		z3		dz		2 i Res f (z) .
		z4	1
						60