Барменков Методика решения задач повышенной сложности по теории 2010

Итак,

3

2		i	2
w w e	3
1

						3							3
	2z	3		i	2		e i	2z	3		i	2
												.
	2z	3		i				2z	3		i

							3
Ответ. w	2z	3			i 2
						.
	2z	3			i
1.5. Показательная функция
Основные свойства функции w e z e x iy e x (cos y										i sin y) :
1) Функция		w e z					отображает		однолистно	прямую
{z : Im z		b} на луч {w : arg w							b} .

2)Функция w e z однолистна в любой области, не содержащей никакой пары точек z1 и z2 , связанных соотно-

шением z1	z2		2k i, k		Z .
3) Функция w	e z конформно отображает:
полосу {z : 0				Im z	2 } на плоскость с разре-
зом по положительному лучу,						т.е.	на область
{w : 0			arg w	2 } (рис.21).
полосу {z : 0				Im z	} на верхнюю полуплос-
кость {w : Im w				0} (рис.22).
левую			полуполосу		{z : 0 Im z	2	, Re z 0}
на единичный круг с разрезом по отрезку [0;1] :
{w :	w		1, 0	arg w	2 } (рис.23).

31

z	w
2πi	w = ez

Рис.21

z	z	w
	w = e

πi

		Рис.22
2πi		w
	z	w = ez

-1 1

Рис.23

32

левую полуполосу {z : 0 Im z , Re z 0} на единичный полукруг {w : w 1, Im w 0} , лежащий в верхней полуплоскости (рис.24).

	z	w
		w = ez

πi

-1 -1 -1

-1

-1

Рис.24

Рассмотрим еще одну задачу об отображении круговой луночки. При решении этой задачи оказывается полезной показательная функция w e z .

Задача 9. (№ 2.158 [1]) Отобразить круговую луночку, ограниченную окружностями z 2 , z 1 1 (рис.25) , на верхнюю по-

луплоскость.

Решение. Граница области G состоит из двух окружностей:

1	{z :	z	2} и	2	{z :	z 1	1} с общей точкой B , изобра-
жающей число z1				2 .

33

z

D O 1 B

2

G

Рис.25

В точках O ( z2

0 ) и D ( z3

2 ) контуры 1 и

2 перпенди-

кулярны вещественной оси. ДЛФ

w1

z

переводит z1 в

,

z

2

вещественную ось плоскости Сz

в вещественную ось плоскости

Сw1 , а окружности

1 и 2 соответственно в прямые l1 и l2 ,

пер-

пендикулярные

вещественной оси и

проходящие

через точки

w (0) 0 и

w (

2)

1

. Так как

w (

1)

1

, то G отображается

1

1

2

1

3

в полосу G1

(рис.26).

w1

G1

0

1/2

Рис.26

34

		w e			i
Функция w				2		поворачивает полосу G на угол							,
2		1								1		2
переводя ее в горизонтальную полосу ширины								1		(рис.27).
							2
										w2
							G2
	Рис.27

Отображение w3 2 w2 растягивает полосу G2 до полосы G3 ширины (рис.28).

w3

G3

Рис.28

Согласно свойствам экспоненты, w ew3 отобразит последнюю полосу на верхнюю полуплоскость (рис.29).

35

w

Рис.29

Таким образом,

i

z

2

iz

w exp 2 e 2

e z

2 .

z

2

2

iz

Ответ. w e z

2 .

1.6.Логарифмическая и тригонометрические функции

Вэтом разделе будут рассмотрены некоторые задачи, в которых

отображения областей осуществляются посредством функций

w	ln z , w		cos z , w		tg z .
	Под функцией w				ln z понимается, как обычно, главная ветвь
								i(arg z 2 k) , k Z ,
бесконечнозначной функции						Ln z : ln	z
				i arg z , z
т.е.	ln z :	ln	z			0 . Стандартным образом определя-

36

ются и используемые ниже тригонометрические функции. Напри-

мер, cos z :

eiz

e iz

sin z :

eiz e

iz

tg z :

sin z

,

,

.

2

2i

cos z

Задача 10. (№ 2.148 [1]) Выяснить, во что преобразуются при

отображении w

ln z :

z

R,

arg z

1)

полярная сетка

;

2)

логарифмические спирали r

Aek

( A

0 );

3)

угол 0

arg z

2

;

4)

сектор

z

1,

0

arg z

2 ;

5)

кольцо r1

z

r2

с разрезом по отрезку [r1 ; r2 ].

R

R

Решение. 1) При фиксированном

0 окружность

z

главной ветвью логарифма отображается на множество точек вида

w

ln z

ln R

i

,

(0;2

],

представляющее

собой

вертикальный

полуинтервал

{w u iv :

u ln R, 0

v

2

}. Таким образом, семейство ок-

ружностей

z

R переходит в семейство указанных полуинтерва-

лов, заполняющих полосу 0

Im w

2 .

Далее, всякий луч arg z

преобразуется при отображении

w

ln z в горизонтальную прямую

Im w

. Семейство лучей

arg z

( 0

2

)

переходит

в

семейство

горизонтальных

прямых, также заполняющих полосу 0

Im w

2 .

Значит, полярная сетка переводится рассматриваемым отобра-

жением

в

прямоугольную

сетку,

«накинутую»

на полосу

0

Im w

2

(рис.30) .

2) Если точка z

re i

лежит на логарифмической спирали

r

Aek

( A

0 ), то ее образ можно, очевидно,

записать в виде:

w

ln z

ln r

i

ln( Aek

) i

ln A k

i

.

Полагая те-

37

перь u ln A k	и v	, получаем, что образ указанной спира-
ли есть прямая u	ln A	kv (рис.31).

y

z

w = ln z

x

v w

2 i

u

Рис.30

38

y

z

w = ln z

A

x

v

w

i lnkA

Рис.31

Упражнение 8. Используя пункт 1), убедиться, что образом угла из пункта 3) задачи 10 является полоса 0 Im w , изо-

39

браженная на рис.32, а образом сектора из пункта 4) является

полуполоса 0 Im w	, Re w 0 (рис.33) .
y		v	w
z		i

x

u

Рис.32

			y	z				v	w
								i
				x
				1					u
				Рис.33
5)			Согласно	пункту 1) окружности {		z	r1} \ {r1}		и
{	z		r2 } \ {r2 }перейдут соответственно в вертикальные интервалы

{w : Re w ln r1 , 0 Im w 2 },{w : Re w ln r2 , 0 Im w 2 }.

Кроме того, верхний борт (ему соответствует 0 ) разреза

40