Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

	L′f′−1				L′f′+1
					F
Lf −1	f	−1	L′		f
			f	−1
				λL′f −1	L′f′

F

Lsl′′+2

f −1

f

L′

f

−1

λL′

f

L′f′

Рис. 2.26. Схема соединения ступеней в каскаде в точке подачи питания:

(а) – (Lf −1 + F ) > Lf , (б) – (Lf −1 + F ) < Lf

Если для каждой секции ПСК обеспечить постоянство коэффициента деления потока, то значения λ должны быть выбраны:

для отборной части каскада

λ = 1 − Lsl +1 + P ,

Lsl + P

при этом

θ		=	1 1		+	P		;
						L
	s		2
						sl

для отвальной части каскада

271

λ = 1 −

Lsl +1 +W

,

L

+W

sl

при этом

1 1

θ

=

−

W

;

s

2

L

в точке подачи питания

sl

1

W

θ

f

−1

=

1

−

,

2

Lf −1

1

P

θ

f

=

1 +

,

2

Lf

при этом вариант (а) (рис. 2.26)

Lf

+ P

λ =1−

,

Lf −1 + P

вариант (б) (рис. 2.26)

L f −1 +W

λ = 1 −

.

Lf

+W

(2.312)

(2.313)

(2.314)

(2.315)

(2.316)

2.4.2.Обзор численных методов решения системы уравнений переноса в каскадах заданного профиля

Для расчета каскадов заданного профиля, как правило, ПК и ПСК, используют различные итерационные методы с уточнением ориентировочно принятых приближений, либо квазилинеаризацию уравнений каскада и совместное их решение с уравнениями покомпонентного баланса. Очевидно, что эффективность метода определяется его устойчивостью к заданию начальных приближений для концевых концентраций и сходимостью итерационного процесса.

Обзор методов расчета можно свести к следующим основным случаям.

272

2.4.2.1. «Классический» итерационный метод [35, 36]

Рассмотрим применение метода на примере прямоугольного каскада, расчет которого производится от отвального конца к отборному. Алгоритм расчета имеет следующий вид.

1. Задают θ1	(например θ1	=	1		−	W
			2	1		) по формулам (1.262)
						L

или (1.263) находят распределение θs по длине каскада.

2.По соотношениям (2.300) определяют T3 и T3′.

3.Задают начальные приближения ci′′(1) , например, ci′′(1) = ciF .

4.Последовательно с использованием рекуррентной формулы (2.301) определяют ci′′(s) на всех ступенях, включая последнюю

(s = N ) .

5.По соотношению (2.296 б) или (2.297 б) находят все ci′(N) .

6.Проверяют выполнены ли условия материального баланса

Pci′(N) +Wci′′(1) − FciF , i =		.	(2.317)
	1, m

7. Если условия баланса (2.296) на ν -ом шаге итерации не

выполнены,		то начальные приближения для следующего (ν +1) -
ого шага задают в виде
′′	ν +1			FciF	′	ν
				(ci′(N))ν		(1)) , i =1, 2,..., m. (2.318)
(ci (1))		=ω			+(1−ω)(ci
			P	(ci′(1))ν

где ω – коэффициент, находящийся в пределах от 0 до 1.

8. Шаги (2.286) – (2.289)÷(2.286) – (2.292) повторяют до тех пор, пока (2.317) не будут выполнены с заданными точностями.

«Классический» метод весьма чувствителен к выбору начальных приближений, что приводит либо к необходимости разработки сложных и громоздких алгоритмов для их определения, либо к значительным затратам машинного времени.

2.4.2.2. «Матричный» метод [37,38]

В работе [37] система (2.291), (2.294) представлена в виде

273

L1ci (1) −(1−θ2 )L2ci′′(2) −[W −(1−θ1)L1 ]ciW = 0,							(2.319)
i =1, 2,..., m,
Lsci (s) −θs−1Ls−1ci′(s −1) −(1−θs+1 )Ls+1ci′′(s +1) −δsk FciW						= 0,	(2.320)
s = 2, 3,..., N −1, i =1,	2,..., m,
LN ci (N ) −θN −1LN −1ci′(N −1) −[P −θN LN ]ciP				= 0,	i =1, 2,..., m, (2.321)
где	δsk	= 0,	s ≠ k,				(2.322)
c′(s) =		1,	s = k
		f (c (s), θ		, L ),
	i	i	s	s
	′′	[ci (s)		′	/1−θs .		(2.323)
ci (s) =			−θsci (s)]

Конкретный вид функциональной зависимости в системе (2.323) определяется используемым методом разделения и режимом работы каждой ступени (см. формулы (2.296) – (2.297)). Для замыкания системы (2.319) – (2.321) из mxN уравнений, как и ранее, из числа неизвестных с помощью (2.298) исключаем коэффициенты деления потока на ступенях (один из коэффициентов θs является свободным параметром).

Для решения системы (2.319) – (2.321) в работе [37] применен демпфированный метод Ньютона [39], в котором используется итеративный процесс в виде

F′(xν ) xν = −ωF(xν ) ,

(2.324)

где F(xν ) – значения левых частей системы (2.319) – (2.321) в

точке с неизвестными координатами xν ;			F′(xν )	– матрица Якоби
системы в этой	же точке; xν	= xν +1 −xν ; ω		– коэффициент
демпфирования.	При такой	записи	определение нового

приближения xν +1 сводится к решению системы нелинейных уравнений вида A x = b . Для определения x согласно [6] целесообразно использовать алгоритм Гауссова исключения с компактным хранением матрицы A в оперативной памяти. Компактная организация хранения матрицы A возможна, поскольку, как видно из уравнений системы (2.319) – (2.321),

матрица Якоби F′(xν ) принадлежит к системе ленточных матриц с

274

шириной ленты 2(2m −1) +1 , причем в процессе итерации (2.324) ленточная структура матрицы сохраняется [40]. Алгоритм должен быть составлен так, чтобы элементы Якобиана F′(x) , не входящие

в ленту указанной ширины, в вычислениях не участвовали. Это позволяет в несколько раз сократить время вычислений. Элементы якобиана предпочтительно вычислять аналитически, поскольку при этом скорость сходимости итеративного процесса (2.324) квадратична. Если вид функциональной зависимости для ci′(s) в

системе (2.323) не позволяет получить аналитическое выражение дл производных, то в алгоритме элементы якобиана следует вычислять численно по двухточечной схеме.

Схема расчета каскада заданного профиля по матричному

методу включает в себя:				m, N, f , F, P,
1.	Задание	исходных	данных

f (ci (s), θs , Ls ), Ls , θ1 .

2.Определение коэффициентов деления потоков на ступенях

θs (s = 2,3,..., N) .

3.Решение системы уравнений (2.319) – (2.321).

Согласно [38] расчет каскада с двумя потоками питания различного состава и тремя потоками отбора, состоящего из 50-ти ступеней, при разделении пятикомпонентной модельной смеси заключается в решении системы (2.319) – (2.321) из 250 уравнений. Решение осуществляется за несколько итераций и требует около 30 секунд машинного времени для персональных компьютеров типа РС/АТ386. В качестве начальных приближений для неизвестных концентраций на каждой ступени были взяты концентрации компонентов в одном из потоков питания. Расчеты прямоугольносекционированных каскадов, предназначенных для разделения различных многокомпонентных смесей показали, что при указанном выборе начальных приближений расчет неизвестных концентраций с точностью не ниже 0,1% требует не более 10 итераций.

275

2.4.2.3.Метод, основанный на решении системы уравнений переходного (нестационарного) процесса в каскаде [36]

Суть метода: для нахождения концевых концентраций ciP , ciW

противоточного симметричного каскада заданного профиля решают систему уравнений переходного (нестационарного) процесса применительно к случаю немалых обогащений на ступенях. [41]. Считаем, что с момента запуска каскада включены расчетные значения внешних потоков P, W и F. Считая попрежнему, что время установления гидравлических характеристик много меньше времени достижения стационарного накопления компонентов на ступенях и задержки ступеней не зависят от времени, систему уравнений каскада, описывающих переходной (нестационарный) процесс можно записать в виде

θs Lsci′(s,t) −(1−θs+1 )Ls+1ci′′(s +1,t) = Js,i (t) ,							(2.325)
где Js,i (t) –	перенос i-го компонента через мысленную линию
раздела	между		s-й		и	s + 1-й	ступенями;
i =1, 2,..., m;	s =1,	2,..., N −1
			ci (s,t) =θsci′(s,t) +(1−θs )ci′′(s,t),				(2.326)
			i =1, 2,..., m;		s =1,	2,..., N.
	Hs		∂ci (s,t)	= Js−1,i − Js,i		+δ (s, f ) FciF	(2.327)
			t
			i =1, 2,..., m;		s =1,	2,..., N

Граничные условия в рассматриваемом случае могут быть

записаны в следующем виде
JN ,i = Pc 'i (N,t), J0,i = −Wc"i (1,t),	(2.328)
i =1, 2,..., m.

Подстановка (2.325), (2.326) и (2.328) в (2.327) дает

Hs ∂ci∂(s,t) =[1−δ(s,1)]{θs−1Ls−1ci′(s −1,t) −(1−θs )Lsci′′(s,t)}− t

−[1−δ(s, N)]{θs Lsci′(s,t) −(1−θs+1 )Ls+1ci′′(s +1,t)}+δ(s, f )FciF − −δ(s, N )PciP′ (N,t);

276

	i =1,	2,..., m; s =1, 2,..., N,	(2.329)
где	0,	j ≠ s	(2.330)
	δ(s, j) =	j = s.
	1

Подставляя (2.296а) в (2.326), получим

ci′(s,t)

ci (s,t) =θsci′(s,t) +(1−θs )

,

m

∑qijc′j (s,t)

j=1

i =1, 2,..., m;

s =1,

2,..., N .

Дифференцирование уравнения (2.331) по t дает:

∂c (s,t)

m

∂c (s,t)

∂c′j (s,t)

i∂t

= ∑

i

;

∂c′

(s,t)

∂t

j=1

j

i =1, 2,..., m;

s =1,

2,..., N ,

m

∑ qil cl′(s, t) −ci′(s, t)

θ

s

+ (1−θ

s

)

l =1

2

∂c (s,t)

m

где

= a(i, j) =

∑ qil cl′(s,t)

i

l =1

∂c′j (s,t)

qil ci′(s, t)

(i ≠

−(1−θs )

2

,

m

∑ qil cl′(s,t)

j =l

i =1, 2,..., m;

j =1,

2,..., m;

s =1,

2,..., N

(2.331)

(2.332)

, (i = j)

j)

(2.333)

Подставляя соотношения (2.296а) и (2.333) в (2.329), получаем

m

∂ci′(s,t)

ci′(s,t)

H

s ∑

a(i, j)

(s,1)

L c′(s

)L

= 1

−δ

θ

s−1

−1) −(1

−θ

−

∂t

[

]

s−1 i

s

s m

j=l

∑qjlcl′(s,t)

j=l

ci′(s +1,t)

]

1

−δ(s, N)

θ L c′(s,t) −(1

−θ

s+1

)L

+δ(s, f )Fc

−

[

s s i

s+1 m

iF

∑qjl cl′(s +1,t)

j=l

δ(s,1)Wci′′(1,t) −δ(s, N)Pci′(N,t);

277

i =1, 2,..., m; j =1, 2,..., m; s =1, 2,..., N

(2.334)

Приближенное решение системы (2.334) основано на использовании явного метода Эйлера, согласно которому производные в (2.334) заменяют простейшими конечноразностными формулами

∂c′(s,t)			=	[c′(s,t)]ν +1 −[c′(s,t)]ν			(2.335)
i	∂t			i	i	,
					t
		i =1,		2,..., m;	s =1,	2,..., N ,

где [ci′(s,t)]ν – значение соответствующей концентрации i-го

компонента

в

потоке

Ls на ν-м

«временнóм»

шаге. С

учетом

(2.335) уравнения (2.334) преобразуются к виду

H s ∑ [a(i, j)]ν

ν +1

ν

[ci′(s, t)]

−[ci′(s, t)]

= [1 −δ (s,1)]

m

j =l

t

ν

θs −1 Ls −1 [ci′(s −1, t)]ν − (1

−θs

)Ls

[ci′(s, t)]

−[1 −

δ (s, N )]

(2.336)

m

∑ q jl [ci′(s, t)]ν

j =l

ν

ν

[ci′(s +1, t)]

θs Ls

[ci′(s, t)]

− (1

−θs +1 )Ls +1

+

m

∑ q jl

[ci′(s +1, t)]ν

j =l

+δ (s, f )FciF −δ (s, N )P [ci′(N , t)]ν ;

Таким образом,

H s ∑[a(i, j)]ν [ci′(s

, t)]ν +

H s ∑[a(i, j)]ν [ci′(s, t)]ν +1 =

m

m

t

j=l

t

j=l

ν

′

ν

[ci′(s,t)]

(2.337)

+ 1

−δ (s,1)

]

θ

L

c

(s −1, t)

]

−

(1−θ

s

)L

−

[

s−1

s−1

[ i

s m

∑ q jl [ci′(s, t)]ν

j=l

ν

ν

[ci′(s +1, t)]

− 1

−δ (s, n)

]

θ

L

c

′

(s, t)

]

− (1−θ

s +1

)L

+

[

s s [

i

s +1 m

∑ q jl [ci′(s +1,t)]ν

j =l

+δ (s, f )FciF −δ (s, N )P [ci′(N , t)]ν ;

278

	i =1, 2,..., m;	s =1, 2,..., N .
Начальные приближения для		«нулевого» временного шага
(ν = 0)	можно задать, например,	следующим образом: [ci′]0 = ciF ,
где ciF	– концентрация компонентов смеси в потоке питания.

При выбранном временном шаге t последовательно используя уравнения (2.337), находят стационарные значения концентраций по длине каскада. В качестве практического критерия достижения стационарных значений концентраций может быть использовано одно из 2-х условий:

1) концевые концентрации каждого из компонентов смеси (с

заданной точностью) на ν* -м временном шаге удовлетворяют уравнениям покомпонентного баланса

FciF	− P[ci′(N,t)]ν* −W [ci′′(1,t)]ν* = 0,	(2.338)

i=1, 2,..., m,

2)при переходе от ν* -го к ν* +1-му временному шагу величина

δ =	[ci (N,t)]ν* +1 −[ci (N,t)]ν*	достигает заданного
	[ci (N,t)]ν* +1

значения.

Рассмотренный метод имеет первый порядок точности относительно шага t . Уменьшение шага t увеличивает точность расчета. Сверху «временнóй» шаг ограничен величиной [41]:

	H	s
t < min				(2.339)
	L
	s

Распределение θs в (2.337) задается соотношением (2.298) и произвольным значением коэффициента деления потока на одной

из

ступеней

каскада,

например,

θ

=

1

−

W

или

2

1

L

1

1

θn =

1

+

P

1

.

2

LN

279

В работе [36] приведен пример реализации метода при расчете прямоугольного каскада, предназначенного для разделения четырехкомпонентной смеси изотопов хрома:50Cr, 52Cr, 53Cr, 54Cr

( c1F =0,0431, c2F = 0,8376, c3F =0,0955, c4F = 0,0238). Исходные данные: FP = 0,2; FL = 0,2; q0 = 1,12; N =15, f = 12, HL =0,03 час.

Условием достижения концевыми концентрациями стационарных

	значений		являлось			FciF		− Pci′(N,t) −Wci′′(1,t) <
	<10−6 (i =1,		2, 3, 4) .	При	использовании					персонального
	компьютера		с процессором на 66 МГц и «временнóго» шага
	t = 0,02	ч	для достижения заданной точности потребовалось
	примерно 1000 шагов и 20 с машинного времени.
	Замена	в	(2.329)	производной		∂c′		на	∂c	приводит к
						∂t			∂t

сокращению времени счета до 12 с при сохранении заданной точности.

Рис. 2.27. Расчетные зависимости концентрации изотопа 50Cr на различных ступенях прямоугольного каскада от времени

	(	P	= 0,2;	F	= 0,2; q0 = 1,12;
		F		L

N=15, f = 12, HL = 0,03 ч) [36]

На рис. 2.27 представлено изменение

концентрации изотопа 50Cr на различных

ступенях прямоугольного каскада со временем. Как видно из приведенных зависимостей, скорости изменения

концентраций максимальны в начальные моменты времени после запуска каскада. Поведение концентрации 50Cr на «отрицательном» конце каскада (s=1) объясняются причинами, которые изложены в разделе 2.3.5.2.

280