Загребаев Методы обработки статистической информации в задачах контроля 2008

Ниже приведены результаты статистических исследований для ячеек реактора типа РБМК. В табл. 4.2 – 4.3 показаны значения коэффициента размножения ( k∞ ), одногрупповых макросечений

( Σc , Σ f , Σa ), возраста (τ), длины миграции ( M 2 ) и длины диффу-

зии ( L2 ) для свежего топлива и для топлива большой глубины вы-

горания (20000	МВт×сут	). Значения технологических парамет-
	т

ров – температуры топлива, теплоносителя и плотности теплоносителя разыгрывались по нормальному закону с относительным среднеквадратическим отклонением 10 %.

Таблица 4.2

Результаты статистических расчетов ячейки реактора РБМК с урановым топливом на начальном изотопном составе (статистика – 1000 реализаций)

Свежее топливо (Pt = 0)

p	p(x)	р		р − p(x)	, %	p	p	pmax − pmin	, %
				р		max	min	р
K∞	1,35511	1,35397		-0,084		1,36698	1,32827	2,847
Σc	0,0015146	0,001514		-0,039		0,001593	0,00143	10,794
Σ f	0,00248519	0,002478		-0,614		0,002486	0,00241	2,713
Σa	0,00399979	0,003993		-0,245		0,004031	0,00388	3,684
Σs	0,423943	0,423989		0,010		0,434937	0,41524	4,644
τ	132,071	132,3393		-0,280		155,138	111,216	33,189
L2	194,741	195,1006		0,184		204,738	189,276	7,925
M 2	326,812	327,440		0,191		359,876	300,492	18,136

Номинальные значения были приняты следующими: температу-

ра топлива ТТ = 800 К,	температура	теплоносителя			ТВ = 543 К,
плотность теплоносителя	ρ = 0,78013 4		г	. Как видно из приве-
			см3
денных данных, расчет на средних константах P(x)					не совпадает

со средним значением P (оценкой математического ожидания). Хотя это отличие и невелико, но носит систематический характер,

301

причем расчет на средних константах занижает значения k∞ и макросечений. Более существенным является то обстоятельство, что диапазон разброса k∞ составляет величину, сравнимую с долей запаздывающих нейтронов ( β = 0,0065 ). Из таблиц также видно,

что относительный разброс в параметрах увеличивается с ростом глубины выгорания.

Таблица 4.3

Результаты статистических расчетов ячейки реактора РБМК с урановым

	топливом при глубине выгорания 20000							МВт×сут
								т
		(статистика – 1000 реализаций)
	Выгоревшее топливо (Pt = 20000 МВт сут/т урана)
p	p(x)	р		р − p(x)	, %	pmax		pmin	pmax − pmin			, %
				р						р
K∞	0,850652	0,85041		-0,028		0,870354	0,811896		6.847
Σc	0,00205094	0,002049		-0,534		0,002141	0,001963		8,687
Σ f	0,00112123	0,001121		-0,107		0,001163	0,001096		5,982
Σa	0,00317216	0,00317		-0,068		0,003304	0,003058		7,760
Σs	0,425873	0,425722		-0,035		0,437717	0,416829		4,906
τ	132,049	132,6896		0,005		153,663	110,649		32,4171
L2	244,918	245,2674		0,142		259,586	228,778		12,561
M 2	376,967	377,957		0,262		413,249	339,427		19,531

В табл. 4.4 приведены данные по разбросу k∞ для свежего топ-

лива, если случайным образом разыгрывались значения как сразу всех технологических параметров, так и по отдельности, как по нормальному закону, так и по закону равномерной плотности. Относительное среднеквадратическое отклонение параметров составляет 5 %.

Из табл. 4.4 видно, что даже при равномерном законе распределения диапазон изменения коэффициента размножения составляет около 0,5β.

302

							Таблица 4.4
		Разброс коэффициента размножения ячейки РБМК
	при различных законах распределения случайных флюктуаций
			технологических параметров
	Относительное средне-			Закон равномерной
	квадратическое откло-						Нормальный закон
					плотности
		нение, %
	ρ	ТВ	ТТ	k∞max − k∞min , %			k∞max − k∞min , %
					k∞		k∞
	5	0	0		0,073		0,120
	0	5	0		0,019		0,160
	0	0	5		0,283		0,476
	5	5	5		0,343		0,635
На рис. 4.9 показана величина разброса в зависимости от отно-
сительного среднеквадратического отклонения всех параметров,
распределенных по нормальному закону.
,β,	1,5
размножения	1,4
	1,3
	1,2
коэффициента	1,1
	1,0
	0,9
	0,8
Разброс
	0,7
	0,6
		5	6	7	8	9	10
Относительное среднее квадратическое отклонение параметров, %

Рис. 4.9. Зависимость максимального разброса коэффициента размножения от относительного среднеквадратического отклонения технологических параметров

303

Исследования показывают, что увеличение числа реализаций до 10000 и увеличение диапазона случайных воздействий не меняет качественно масштаба эффекта. Что касается законов распределения параметров ячейки, то оказывается, что проверка по критерию Пирсона при уровне значимости 0,005 не дает основания считать их нормальными. В качестве примера на рис. 4.10 и 4.11 приведены гистограммы распределения коэффициента размножения на свежем и выгоревшем топливе соответственно.

Относительная частота

0,30

0,28

0,26

0,24

0,22

0,20 0,18

0,16 0,14 0,12 0,10

0,08 0,06 0,04 0,02

0,00 1,330 1,335 1,340 1,345 1,350 1,355 1,360 1,365

Коэффициент размножения ячейки М[к]=1.354; D[к]=4.75Е-5

	0,12
частота	0,10
	0,08
Относительная
	0,06
	0,04
	0,02
	0,00
	0,82	0,83	0,84	0,85	0,86
		Коэффициентразмножения
		M[k]=0,85; D[k]=7,81794E-05

Рис. 4.10. Гистограмма распределения	Рис. 4.11. Гистограмма
коэффициента размножения	распределения коэффициента
для ячейки со свежим топливом	размножения для ячейки с глубиной
	выгорания 20000	МВт×сут
		т

Таким образом, проведенное исследование позволяет сделать следующие выводы:

1) случайные возмущения технологических параметров в их совокупности могут приводить к значительным (в несколько десятых долей β) выбросам коэффициента размножения;

2)наиболее чувствительным к возмущениям является макросечение захвата;

3)закон распределения рассчитываемых параметров ячейки отличается от нормального.

304

4.4.2. Математическая модель плотности потока нейтронов в реакторе с обратными связями и системой регулирования

Математическая модель для расчета и исследования статистических характеристик параметров реактора включает следующие компоненты.

1. Стохастическое уравнение для плотности потока нейтро-

нов – уравнение реактора в одногрупповом диффузионном приближении с флюктуирующим параметром, обратными связями и управлением (локальным и интегральным).

			1	∂ϕ = D(rG) ϕ(rG,t)) +		[	(1 −β)K		∞	(rG,t) −1 ×
			v ∂t							]
				×(Σa (r ) + ξ(rG,t))ϕ(rG,t) + λC(rG,t) −
	−σXeXe(r ,t)ϕ(rG,t) − σSmSm(rG,t)ϕ(rG,t) − ΣP (rG,t)ϕ(rG,t);
				ϕ|S (0) = 0,							(4.4.1)
где ϕ(rG,t)		– плотность потока нейтронов в точке с координатой r в
момент	времени t; D(r ) –				коэффициент					диффузии	нейтронов;
Σa (rG)	–	макроскопическое			сечение			поглощения			нейтронов;
G	– коэффициент размножения; β – доля запаздывающих ней-
k∞ (r, t)

тронов; λ – постоянная распада ядер предшественников запаздывающих нейтронов; C(r, t) – концентрация ядер предшественников

запаздывающих нейтронов; ΣP (r , t) – макроскопическое сечение поглощения органов регулирования; ξ(rG, t) – флюктуирующий па-

раметр, отражающий случайные изменения размножающих свойств среды; Xe(rG, t) , Sm(r , t) – концентрации ксенона и самария соот-

ветственно; S – экстраполированная граница реактора.

305

2. Уравнения обратных связей –

• уравнение для концентрации ядер предшественников запаздывающих нейтронов

	∂C(r ,t)			= βK∞ (rG,t)Σa (rG,t)ϕ(rG,t) − λC(rG,t) ;
		∂t
уравнения отравления ксеноном
			∂I(r ,t)		= γIΣ f (rG,t)ϕ(rG,t) − λII(rG,t) ,
∂Xe(rG,t)			∂t
				G	G	G	G
∂t		= λII(r ,t) − λXeXe(r ,t) − σXeXe(r ,t)ϕ(r ,t) ,

(4.4.2)

(4.4.3)

где I – концентрация ядер йода; Xe – концентрация ядер ксенона; λI – постоянная распада ядер йода; λXe – постоянная распада ядер

ксенона; σXe – микроскопическое сечение захвата ксенона; γI – выход йода;

• уравнения отравления самарием

∂Pm(r ,t)	= γPmΣ f (rG,t)ϕ(rG,t) − λPmPm(rG,t) ,
∂t
∂Sm(r ,t) = λ		Pm	Pm(rG,t) − σ	Sm(rG,t)ϕ(rG,t) ,	(4.4.4)
∂t			Sm

где Pm – концентрация ядер прометия; Sm – концентрация ядер

самария; λPm – постоянная распада ядер прометия; σSm								– микро-
скопическое сечение поглощения				нейтронов ядрами				самария;
γPm – выход прометия;
• уравнение для температуры топлива:
∂T (rG,t)		E f Σ f (r ,t)ϕ(rG,t)			T (rG,t) −T (rG,t)
т	=			−	т	тн	,	(4.4.5)
		cтρт1				τт
∂t
где Tт – температура топлива; Tтн			– температура теплоносителя;
E f – энергия на один акт деления;			cт		– удельная массовая тепло-
емкость топлива; ρт		– плотность топлива; τт				– постоянная време-
ни топлива;

306

• уравнение для температуры теплоносителя:
экономайзерный участок
∂Tтн(r ,t)	=	Tт(rG,t) −Tтн(rG,t)	−GcP Hk	∂Tтн(rG,t)	, (4.4.6)
∂t		τт		∂z

где G – расход теплоносителя; Hk – высота активной зоны; cP –

теплоемкость воды, испарительный участок

Tтн =Tн ,

где Tн – температура насыщения;

• уравнение для температуры замедлителя (для реактора типа

РБМК)		γE f Σ f (r ,t)ϕ(rG,t)		T (rG,t) −T (rG,t)
∂T (rG,t)
г	=		−	г	тн		, (4.4.7)
		cгρг			τг
∂t
где сг – удельная массовая теплоемкость графита; ρг						– плотность

графита; τг – постоянная время графита; γ – доля тепла, выделенного в графите;

	• уравнение образования пара (для реактора типа РБМК)
		∂x(r ,t)		=		q(rG,t)			;	(4.4.8)
		∂z				Gr			−1
			ρ′′ (1 − x)
	η = 1 +								,	(4.4.9)
			ρ′			x

где x – массовое паросодержание; η – объемное паросодержание; q – линейная нагрузка; r – удельная теплота парообразования; ρ′′ –

плотность пара; ρ′ – плотность воды на линии насыщения.

3. Связь коэффициента размножения с изменением теплофизических параметров (замыкание системы уравнений через ко-

эффициенты реактивности). Связь коэффициента размножения с изменением теплофизических параметров активной зоны описыва-

ется следующим образом:

K∞ (rG,t) = K∞0 (rG) + αтδTт + αтнδTтн + αгδTг + αηδη =

= νΣf Σ f G(r ) + αт(Tт(rG) −Tт0 (rG)) + αтн(Tтн(rG) −Tтн0 (rG)) + a (r )

307

		+ αг(Tг(r ) −Tг0 (rG)) + αη(η(rG) − η0 (rG)),		(4.4.10)
	где K∞0 =	ν f Σ f	– коэффициент размножения, обусловленный
		Σa

данной конфигурацией загрузки; αт, αтн, αг, αη – коэффициенты

реактивности по температуре топлива, температуре теплоносителя, температуре графита, паросодержанию соответственно; δTт, δTтн, δTг, δη – отклонения температуры топлива, температуры

теплоносителя, температуры графита и объемного паросодержания от стационарного состояния соответственно.

4. Математическая модель системы регулирования. Система регулирования моделируется изменением сечения поглощения. Регулятор имеет зону нечувствительности. Возможно регулирование интегральной мощности (поддержание критичности) и локальное изменение мощности.

В случае регулирования интегральной мощности изменение сечения поглощения происходит во всех точках активной зоны на одну и ту же величину, рассчитанную исходя из соотношений:

Σ

а доп

= 0 при

W (t) −W0

< y ;

(4.4.11)

W0

0

d Σа доп

W (t) −W

W (t) −W

+ Σ

а доп

= k

0

при

0

≥ y ,

dt

W0

W0

0

где Σа доп – дополнительное поглощение, вносимое при перемещении стержней регулирования; W0 – планируемое значение мощности реактора; W (t) – текущее значение мощности; k – коэффициент усиления; y0 – пороговое значение, при достижении которого

включается регулятор.

Локальная система регулирования отслеживает отклонения плотности потока нейтронов за пределы допустимых значений и вводит стержни, обеспечивающие дополнительное поглощение не во всю зону, а только в область, в которой произошло отклонение. Математические соотношения аналогичны (4.4.11):

308

Σа доп(r ) = 0

при

ϕ(t, rG) −Gϕ0 (rG)

< c0 ;

(4.4.12)

ϕ0 (r )

d Σа доп

+ ΣАдоп = k1

ϕ(t

, rG)

− ϕ

0

(rG)

при

ϕ(t, rG)

− ϕ

0

(rG)

≥ c0

,

G

G

dt

ϕ

ϕ

(r )

(r )

0

0

где Σа доп – дополнительное поглощение, вносимое при перемещении стержней регулирования в точку с координатой r ; ϕ0 (r ) – планируемое значение плотности потока нейтронов; ϕ(r,t) – текущее значение плотности потока нейтронов; k1 – коэффициент усиления; c0 – пороговое значение, при достижении которого

включается регулятор.

Для моделирования случайных величин с заданной корреляционной функцией использовался метод формирующего фильтра.

Таким образом, математическая модель для исследования статистических свойств параметров реактора (в первую очередь плотности потока нейтронов) содержит все основные уравнения, отражающие физические процессы, проходящие в активной зоне реактора, систему регулирования и генератор реакторного шума.

Уравнения, описывающие распределение плотности потока нейтронов и обратные связи, характерны для реакторов на тепловых нейтронах и пригодны для решения задач контроля и управления. Отметим, что флюктуирующий параметр в уравнении для плотности потока нейтронов включен в комбинацию с макроскопическим сечением поглощения. Это не является принципиальным моментом. Можно было бы переписать уравнение (4.4.1) в приближении

мгновенного скачка	1		∂ϕ	= 0	в другой форме, например так:
			∂t
v

	G		−β)K∞(rG,t)
	Δϕ(rG,t)) + ϕ(r,t)	(1
	M2
−	σXeXe(rG,t) −σSmSm(rG,t) −ΣP(rG,t)
	Σa

−1+ λC(rG,t) − Σa

+ξ(rG,t)ϕ(rG,t) =0;

309

					ϕ|S (0) =0,		(4.4.13)
где M 2 – квадрат длины миграции;
	В этом случае видно, что					ξ(r,t) есть случайные флюктуации
локального			материального			параметра,	определяемого как
2	=	K∞ (rG,t) −1			. Таким образом, в любом случае наличие в урав-
æ
		M 2

нении члена ξ(r, t) отражает факт возмущения в размножающих

свойствах среды.

Уравнения для описания регуляторов отражают реальный факт наличия системы автоматического регулирования мощности и системы локального регулирования распределения энерговыделения. Что касается генератора случайного реакторного шума, то используется известный подход генерации случайной величины с заданной корреляционной функцией – формирующий фильтр.

Редукция математической модели к одномерному случаю. Методы численной реализации модели

Для проведения численных исследований система уравнений (4.4.1) – (4.4.12) редуцировалась к одномерному случаю. Обусловлено это обстоятельство несколькими причинами.

1.Одномерное приближение позволяет получить результаты принципиального характера, поскольку отражает все существенные стороны физических процессов, протекающих в активной зоне ядерного реактора (в прикладном плане результаты, полученные на одномерной модели, описывают реальные статистические свойства высотного распределения поля нейтронов в реакторе).

2.Поскольку статистические исследования предполагают проведение массовых вариантных расчетов, то целесообразно ограничиться математической моделью, при численной реализации которой время счета минимально. (Практика расчетов показывает, что увеличение пространственной размерности реакторной задачи на одно измерение увеличивает время счета на порядок.)

3.Получаемые на одномерной задаче результаты обладают большей наглядностью и обозримостью, что немаловажно при их физической интерпретации.

310