Загребаев Методы обработки статистической информации в задачах контроля 2008

После редукции система уравнений принимает вид

d

(D(x)

d

ϕ(x,t)) +[(1−β)K (x,t) −1](Σ (x) +ξ(x,t))ϕ(x,t)

dx

∞

a

dx

+λC(x,t) −σXeXe(x,t)ϕ(x,t) −σSmSm(x,t)ϕ(x,t) −

−ΣP(x,t)ϕ(x,t) =0;

∂C

=βK Σ ϕ−λC;

∂t

∞

a

∂I =γ Σ ϕ−λ I;

∂t

I f

I

∂Xe(x,t)

=λII −λXeXe −σXeXeϕ;

∂t

∂Pm = γ

Σ

ϕ−λ

Pm

Pm;

Pm

f

∂t

∂Sm =λ

Pm −σ

Smϕ;

∂t

Pm

Sm

Ef Σf ϕ T

−T

∂T

т

=

−

т

тн

;

∂t

c

ρ

τ

1 1

1

∂T

γEf Σf

ϕ T

−T

г

=

−

г

тн

;

∂t

c

ρ

τ

4

4

4

′′

−x)

−1

ρ

(1

η=

1

+

ρ′

.

x

+

(4.4.14)

Последнее уравнение системы для определения паросодержания выводится, исходя из следующих соотношений:

				1		z
Tтн	(z) =Tвх +					∫ql (τ, x)dτ для z < zн;
		G(x)CP 0
	Tтн(z) = 284 °C						для z ≥ zн ;
q	= const;	z	н	(x) =	H		к(Tн −Tвх)G(x)CP	;	(4.4.15)
l							W (x)

Hк

W (x) = ∫ ql (τ, x)dτ;

0

311

D ( x ), Σ a ( x ), ν f Σ f

k эф

t = t +τ

Рис. 4.12. Схема проведения расчетов

312

Hк

T (z)dz

∫

T (x,t) =

0

тн

Hк

1

z

x(z) =

∫ ql (τ, x)dτ;

Gr

zн

Hк

∫ x(z)dz

x(x,t) =

0

;

(4.4.16)

Hк

ρ′′ (1

− x) −1

η = 1

+

.

ρ′

x

По существу, данная система уравнений описывает плоский одномерный реактор.

Для расчета реактор разбивается на пространственные зоны, в каждой из которых флюктуируют макросечения взаимодействия около своих математических ожиданий (либо независимо, либо в соответствии с задаваемой корреляционной функцией). Общая логика расчетов приведена на рис. 4.12.

Численная реализация математической модели для проведения статистических исследований

Так как статистические исследования подразумевают проведение многовариантных расчетов (причем при небольших возмущениях), то целесообразно выбрать или модифицировать такие методы расчета, которые с приемлемой точностью давали бы результат в ограниченное время. В качестве таких методов в данной работе рассматривались конечно-разностный метод и метод Галеркина.

Решение системы уравнений методом конечных разностей.

При решении системы уравнений методом конечных разностей был выбран шаблон, представленный на рис. 4.13.

Тогдааппроксимацияпроизводныхповремениипространствуесть:

		um+1	−um
	ut′ =	n	n	+ O(τ) ;	(4.4.17)
		τ

313

′′	=	unm++11	− 2unm+1	+ unm−+11	+ O(h	2	) ,	(4.4.18)
ux			h2

где τ – шаг по оси времени; h – шаг по оси координат.

Рис. 4.13. Применяемый шаблон

Таким образом, уравнение для плотности потока нейтронов в конечно разностной форме примет вид:

A ϕm+1	+ B ϕm+1	+C ϕm+1	= q (ϕm ) , n =1, ..., N −1 , (4.4.19)
n n−1	n n	n n+1	n n

а обыкновенные дифференциальные уравнения для обратных связей, соответственно, вид:

unm+1 = unm + τ qn (ϕmn ) .

(4.4.20)

На каждом временном шаге уравнение относительно плотности потока нейтронов решается методом прогонки. Для инициализации процесса расчета задаются начальные условия и нулевые граничные условия на экстраполированной границе реактора.

Начальное (невозмущенное) распределение плотности потока нейтронов для заданной загрузки реактора определяется при решении уравнения:

d

D(x)

d

(x)

(νf Σf )(x)

(x)ϕ

(x) −σ

Xe (x)ϕ

(x) −

ϕ

+

−1

Σ

dx

0

Kэф

a

0

Xe

0 0

dx

−σSmSm0(x)ϕ0(x) −Σp0ϕ0(x) =0;

(4.4.21)

ϕ0(0) =ϕ0(H) =0,

где Xe0 (x), Sm0 (x) – равновесные концентрации ксенона и самария соответственно; Kэф – эффективный коэффициент размножения.

314

Данная задача на собственные функции и собственные значения решается методом итерации источников. Для этого уравнение (4.4.21) записывается в виде:

					1
		Aϕ		=			F +U	ϕ ;
					K
		0				эф		0
A = −D	d 2		+ Σa (x) ;				F = (1 −β)(ν f Σ f )(x) ;
	dx2

U = −σXeXe0 (x) − σSmSm0 (x) .

Обозначим

	1
IST =			F +U	ϕ .
	K
		эф		0

Итерационный процесс выглядит следующим образом:

			1
	IST ( j) =				F +U	ϕ ( j−1)		;
		K ( j−1)
						0
			эф
	Aϕ		( j) = IST ( j) ;
		0
	S( j) = Fϕ( j−1) ;
				H
	K ( j)			∫ S( j) (x)dx
		=		0			.
				H
	эф
				∫ S( j−1) (x)dx
			0

(4.4.22)

(4.4.23)

(4.4.24)

Итерационный процесс сходится к решению, окончание итерационного процесса обычно задается условием:

	K ( j) − K ( j−1)
K ( j) =	эф	эф		< ε ,	(4.4.25)
		Kэф( j)

где ε – заданная величина (как правило, ε ≈10−5 ).

315

Решение системы уравнений методом Галеркина. При реше-

нии системы уравнений (4.4.14) методом Галеркина плотность потока нейтронов представляется в виде

	ϕ(x,t) = ϕ0	(x,t) + δϕ(x,t);	(4.4.26)
	ϕ0 (x,t) = A0 (t)ψ0 (x),

где ψ0 (x) – стационарное распределение плотности потока нейтронов в гомогенном реакторе; A0 (t) – поведение во времени инте-

гральной мощности реактора, посчитанное по точечной нелинейной модели с обратными связями; δϕ(x, t) – отклонения поля ней-

тронов от стационарного в переходном процессе. Предполагается, что δϕ(x, t) носят плавный характер и могут

быть представлены в виде суперпозиции по некоторому априорно выбранному набору пробных функций, т.е.

m
δϕ(x,t) = ∑ AK (t)ψK (x) ,	(4.4.27)

k=1

где ψK (x) – известные функции; AK (t) – неизвестные коэффици-

енты.

Функции обратных связей также представляются в виде отклонений:

ϕ(x,t) = ϕ0 (x) + δϕ(x,t); C(x,t) = C0 (x) + δC(x,t); Xe(x,t) = Xe0 (x) + δXe(x,t);

Sm(x,t) = Sm0 (x) + δSm(x,t); ΣP (x,t) = ΣP0 (x) + δΣP (x,t); Tт(x,t) =Tт0 (x) + δTт(x,t); Tтн(x,t) =Tтн0 (x) + δTтн(x,t);

	Tг(x,t) =Tг0	(x) + δTг(x,t);	(4.4.28)
	η(x,t) = η0 (x) + δη(x,t).

Тогда система уравнений в отклонениях в линейном приближении имеет вид

316

M 2 ∂	2	δϕ		(1−β)K∞0 (x) −1−	σXeXe0	+ σSmSm0 + ΣP0
			ϕ +					δϕ +
						Σa
∂x2

+Σλa δC + (1−β)(αтδTт + αтнδTтн + αгδTг + αηδη)ϕ0 −

−σXeδXe + σSmδSm + δΣP ϕ0 = 0;

Σa

∂δ∂tC =βK∞0Σaδϕ − λδC;

∂δT

E f Σ f δϕ

δT − δT

т =

−

т

тн ;

(4.4.29)

c

ρ

τ

∂t

1

1

1

∂δTтн

=

δTт − δTтн

+

δTг − δTтн

− v

δTтнW

;

∂t

τ23

τ43

HSρ′CP

∂δT

γE f Σ f δϕ

δT − δT

г

=

−

г

тн ;

∂t

c

ρ

4

τ

4

4

∂δI

= γIΣ f δϕ− λIδI;

∂δXe = λ

∂t

I

δI − λ

Xe

δXe − σ

Xe

Xe

δϕ − σ

Xe

δXeϕ

0

;

∂t

0

∂δPm = γPmΣ f δϕ− λPmδPm;

∂t

∂δSm = λ

Pm

δPm − σ

Sm

δϕ− σ

δSmϕ ;

∂t

Sm

0

Sm

0

δη =U (ϕ0 )δϕ;

−2

′′

1

U =

1+

ρ

−1 ×

ρ′

W

(T −T

)C

P

0

−

н

вх

Gr

r

317

							2
×	ρ	′′			1			1	(SHE f Σ f ).
			W0					Gr
	ρ′			−	(Tн −Tвх)CP
			Gr		r

Уравнение, описывающее динамику на нулевой моде, есть:

D

∂2

ϕ

0 + (1

−β)K

∞0

(x)Σ

ϕ − Σ

a

ϕ

0

+ λC

0

−

∂x2

a 0

− σXeXe0ϕ0 −σSmSm0ϕ0 −ΣP0ϕ0 = 0.

(4.4.30)

Отклонения параметров представляются в виде

m	m
δϕ(x,t) = ∑Ai (t)ψi (x);	δC(x,t) = ∑Bi (t)ψi (x);
i=1	i=1
m	m
δY (x,t) = ∑Yi (t)ψi (x);	δXe(x,t) = ∑Xei (t)ψi (x);
i=1	i=1
m
δPm(x,t) = ∑Pmi (t)ψi (x);
i=1
m
δSm(x,t) = ∑Smi (t)ψi (x);		(4.4.31)
i=1
m	m
δTт(x,t) = ∑Ei (t)ψi (x);	δTтн(x,t) = ∑Fi (t)ψi (x);
i=1	i=1
m	m
δTг(x,t) = ∑Li (t)ψi (x);	δη(x,t) = ∑Ni (t)ψi (x) .
i=1	i=1

В качестве известных координатных функций используются собственные функции «голого» гомогенного реактора

ψj = sin i π x .

H

После применения к каждому из уравнений процедуры Галеркина получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения амплитуд отклонений искомых функций.

318

Сравнение метода Галеркина и сеточного метода

Сравнение двух методов проводилось для однородного гомогенного реактора. При этом значение расхождения оценивалось по выражению:

H
∫ (ϕг − ϕс)2 dx
δ = 0	100 % ,	(4.4.32)

H

∫ ϕcdx

0

где ϕг – решение по методу Галеркина; ϕс – решение сеточным

методом.

На рис. 4.14 показано значение расхождения в зависимости от уровня шума при различном числе гармоник, использованном при расчете методом Галеркина. На рис. 4.15 показана зависимость погрешности решения методом Галеркина от числа гармоник.

			число нармоник 5
			число гармоник 7
	70
	60
	50
, %	40
погрешность
	30
	20
	10
	0
	-10
	0	1	2	3	4
			уровень шума, %

Рис. 4.14. Зависимость погрешности от уровня шума

319

				уровень шума 0.4%
				уровень шума 0.04%
	4.5
	4.0
	3.5
%	3.0
,
погрешность	2.5
	2.0
	1.5
	1.0
	0.5
	0.0
	3	4	5	6	7	8	9
				число гармоник

Рис. 4.15. Зависимость погрешности от числа гармоник

Из рисунков следует, что использование метода Галеркина целесообразно при шуме в макросечениях менее 1 %, при этом вполне достаточно использовать разложение по 5 – 9 гармоникам.

Исследования показали, что решение задачи с помощью метода конечных разностей требуют более чем на три порядка больше машинного времени и дискового пространства, поэтому для статистических исследований предпочтительно использовать гармоническую модель в случае небольшой дисперсии случайных возмущений.

4.4.3. Статистические исследования на математической модели ядерного реактора

Статистические исследования в отсутствии обратных свя-

зей. Статистические исследования в реакторе с однородной загрузкой и отсутствием обратных связей имеют целью проявить основные тенденции, появляющиеся при внесении возмущений различного уровня, при различных физических размерах активной зоны и

320