Корсун Гидродинамика ЯЕУ Сборник задач и упражнений 2008
.pdfФедеральное агентство по образованию Российской Федерации
МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
А.С. Корсун Ю.А. Маслов О.В. Митрофанова
Гидродинамика ЯЭУ
Сборник задач и упражнений
РекомендованоУМО«Ядерныефизикаитехнологии» вкачествеучебногопособия
длястудентоввысшихучебныхзаведений
Москва 2008
УДК 532.5(075) + 621039(075) ББК 22.253.3я7 К-69
Корсун А.С., Маслов Ю.А., Митрофанова О.В. Гидродинамика ЯЭУ: Сборник задач и упражнений. – М.: МИФИ, 2008. – 124 с.
Данное пособие предназначено для проведения семинарских, лабораторных занятий и самостоятельной работы студентов факультета «Ф», обучающихся по специальности «Ядерные реакторы и энергетические установки». Пособие может применяться для обслуживания курсов, посвященных вопросам гидродинамических расчетов элементов и узлов энергетических установок («Гидродинамика ЯЭУ», «Гидродинамические расчеты ФЭУ»), а также курсов, для которых полное знание о закономерностях движения жидкости и газа является необходимым условием для развития собственных теоретических построений («Теплообмен и гидродинамика», «Теория теплообмена», «Основы тепломассопереноса»).
Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы.
Рецензент доц., канд. физ.-мат. наук Г. А. Сулаберидзе
ISBN 978-5-7262-0960-9
© Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2008
Редактор Е. Н. Кочубей
Подписано в печать |
26.09.2008. |
Формат 60×84 1/16. |
Уч.-изд. л. 7,75. |
Печ. л. 7,75. |
Тираж 150 экз. |
Изд. № 4/134. |
Заказ № |
|
Московский инженерно-физический институт (государственный университет). 115409, Москва, Каширское шоссе, 31
Типография издательства «Тровант». г. Троицк Московской области
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ ...................................................................................... |
4 |
1. ДВИЖЕНИЕ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ |
|
Основные положения .................................................................... |
5 |
Контрольные вопросы.................................................................... |
8 |
Задачи и упражнения .................................................................... |
8 |
2. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ И КАНАЛАХ |
|
Основные положения .................................................................... |
12 |
Контрольные вопросы ................................................................... |
19 |
Задачи и упражнения ..................................................................... |
20 |
3. МЕТОДЫ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ |
|
Основные положения..................................................................... |
26 |
Контрольные вопросы ................................................................... |
50 |
Задачи и упражнения .................................................................... |
51 |
4. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ ЯЭУ |
|
Основные положения .................................................................... |
41 |
Контрольные вопросы .................................................................. |
59 |
Задачи и упражнения .................................................................... |
51 |
5. ГИДРОДИНАМИКА ПОРИСТЫХ СТРУКТУР ЯЭУ |
|
Основные положения .................................................................... |
56 |
Контрольные вопросы ................................................................... |
63 |
Задачи и упражнения .................................................................... |
63 |
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ |
|
Движение невязкой жидкости ...................................................... |
67 |
Ламинарное течение жидкости в трубах и каналах .................. |
81 |
Методы размерностей и подобия ................................................. |
100 |
Турбулентное течение жидкости в каналах ЯЭУ ....................... |
108 |
Гидродинамика пористых структур ЯЭУ ................................... |
112 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................... |
124 |
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое издание является учебным пособием для проведения семинарских, лабораторных занятий и самостоятельной работы студентов факультета «Ф», обучающихся по специальности «Ядерные реакторы и энергетические установки». Пособие предназначено для обслуживания курсов, посвященных вопросам гидродинамических расчетов элементов и узлов энергетических установок («Гидродинамика ЯЭУ», «Гидродинамические расчеты ФЭУ»), а также курсов, для которых полное знание о закономерностях движения жидкости и газа является необходимым условием для развития собственных теоретических построений («Теплообмен и гидродинамика», «Теория теплообмена», «Основы тепломассопереноса»).
Пособие включает краткие теоретические положения, основные расчетные соотношения и наборы задач, сгруппированные по разделам: «Движение невязкой жидкости», «Ламинарное течение жидкости в трубах
иканалах», «Методы размерностей и подобия», «Турбулентное течение жидкости в каналах ЯЭУ», «Гидродинамика пористых структур ЯЭУ».
При подготовке материалов относительно традиционных разделов «Движение невязкой жидкости», «Ламинарное течение жидкости в трубах
иканалах» внимание обращалось на строгость математической постановки и решения задач с целью развития у студентов навыков исследовательской работы.
Во вводной части раздела «Методы размерностей и подобия» на примерах подробно описаны процедуры приведения уравнений к безразмерному виду и определения критериев подобия соответствующей задачи. Подобный материал подробного освещения в учебной литературе не нашел.
Абсолютно новым для литературы подобного типа является раздел, посвященный использованию модели пористого тела применительно к расчету гидродинамики структур типа пучков стержней или труб, засыпок шаровых элементов. В пособии приводятся основные теоретические положения новой методики, примеры практического использования модели, учебные задачи. В отдельном разделе приводятся примеры решения задач
иответы ко всем задачам.
Пособие аналогов не имеет.
Вподготовке пособия принимали участие А.С. Корсун (разделы 1–3, 5
и6), О.В. Митрофанова (разделы 4 и 6), Ю.А.Маслов (раздел 6 и общее оформление).
4
1. ДВИЖЕНИЕ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Уравнения движения
Простейшей моделью жидкости является модель невязкой жидкости. В потоке невязкой жидкости существуют только нормальные напряжения сжатия, равные по величине давлению в жидкости. Касательные напряжения отсутствуют.
Уравнения движения невязкой жидкости включают: - уравнение сохранения вещества (неразрывности)
|
|
|
∂ρ |
|
r |
|
|
|
|
|
|
∂τ |
+ divρu |
= 0 , |
(1.1) |
||
- |
уравнение сохранения импульса |
|
|
|
||||
|
|
∂u |
r |
r |
r |
|
|
|
|
ρ |
|
+ ρ(u )u |
= ρPV |
− grad p , |
(1.2) |
||
|
∂τ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
уравнение состояния |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ρ = ρ( p,T ) . |
(1.3) |
||||
В случае движения сжимаемого газа в качестве уравнения со-
стояния часто используется уравнение совершенного газа |
|
p = ρRT . |
(1.3a) |
У капельных жидкостей плотность слабо зависит от давления и определяется в основном температурой. В этом случае уравнение состояния имеет вид ρ = ρ(T ) , или в линейном приближении
ρ = ρж (1−β(T −Tж )) . |
(1.3б) |
Простейшая форма уравнения состояния |
|
ρ= const . |
(1.3в) |
Последнее соотношение, замыкающее систему уравнений, описывающих движение невязкой жидкости – уравнение энергии (процесса). При описании процессов переноса энергии (и примеси) в невязкой жидкости могут быть использованы различные приближения. Однако наиболее логично полагать, что в невязкой жидко-
5
сти наряду с отсутствием диффузионного переноса импульса не переносится диффузионно и тепло, и примесь, т.е. она обладает нулевыми теплопроводностью и коэффициентом диффузии, поскольку все эти процессы (трение, теплопроводность, диффузия) обусловлены одной причиной – молекулярным движением. В жидкости с нулевыми вязкостью, теплопроводностью, диффузией при отсутствии других источников тепловыделения (ядерные, химические реакции или т.п.) энтропия не растет и уравнением процесса будет
s = const . (1.4)
Применительно к движению совершенного газа уравнение (1.4) можно записать в виде
pρ−γ = const . |
(1.4а) |
Интеграл Бернулли |
|
Если объемные силы потенциальны, т.е. |
|
PV = −grad ПV |
(1.5) |
и жидкость баротропна ( ρ = ρ( p) и эта зависимость известна),
уравнение (1.2) можно переписать в форме уравнения Громеки |
|
|||||||||||
|
r |
r |
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
(1.6) |
|
|
∂u |
−(u |
×ω) = −grad u |
|
|
+ П + Φ( p) , |
|
|||||
|
∂τ |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
r |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ω ≡ rot u , Ф(р) – функция давления, равная |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ( p) = ∫ |
|
|
. |
|
|
(1.7) |
|
|
|
|
|
|
|
ρ( p) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
∂ur |
|
|
Уравнение (1.6) при стационарном течении жидкости ( |
= 0 ) |
|||||||||||
имеет решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u2 |
+ П + Φ( p) = const |
вдоль l , |
|
(1.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
которое называется интегралом Бернулли и представляет содержа-
ние одноименной теоремы: в стационарном потоке баротропной жидкости сумма кинетической энергии единицы объема, потен-
6
циала объемных сил и функции давления остается постоянной
вдоль линии тока.
r
В безвихревом потоке жидкости ( ω ≡ rot u =0) константа в (1.8)
одинакова для всех линий тока, т.е. сумма (1.8) одинакова в любой точке объема жидкости.
Потенциальное течение
Если поток безвихревой ( ω ≡ rot u = 0 во всем объеме жидкости), то можно ввести скалярный потенциал скорости ϕ(x, y, z, τ) ,
такой что |
|
|
u = grad ϕ. |
(1.9) |
|
|
|
|
|||
При этом решением уравнения (1.6) будет |
|
||||
∂ϕ |
+ |
u2 |
+ ПV + Φ( p) = F (τ) |
(1.10) |
|
∂τ |
2 |
||||
|
|
|
|||
во всем объеме. |
|
|
|
|
|
Стационарное потенциальное течение несжимаемой (ρ = const) жидкости в поле сил тяжести ( ПV = gz ) описывается системой уравнений
2ϕ = 0, |
|
|
||
ur = grad ϕ, |
(1.11) |
|||
u2 |
+ gz + |
p |
= const. |
|
2 |
ρ |
|||
|
|
|||
Плоское течение. Функция тока
Для плоского течения несжимаемой жидкости (их(х,у), (иу(х,у)) можно ввести функцию тока Ψ(x, y) , такую, что кривые Ψ(x, y) =
= const совпадают с линиями тока. Компоненты скорости движения жидкости связаны с функцией тока соотношениями
ux = |
∂Ψ |
, |
uy = − |
∂Ψ |
. |
(1.12) |
∂y |
|
|||||
|
|
|
∂x |
|
||
При этом автоматически выполняется уравнение неразрывности
7
∂u |
x |
+ |
∂uy |
= 0 . |
(1.13) |
|
|
∂y |
|||
∂x |
|
|
|||
В безвихревом плоском потоке функция тока Ψ(x, y) , как и потенциал скорости ϕ(x, y, z, τ) , является гармонической функцией, т.е. удовлетворяет уравнению
∂2Ψ |
+ |
∂2Ψ |
= 0 . |
(1.14) |
|
∂x2 |
∂y2 |
||||
|
|
|
Функция тока и потенциал скорости являются сопряженными гармоническими функциями, т.е. семейства кривых равного потенциала ϕ(x,y) = const и линий тока Ψ(x, y) = const взаимно пер-
пендикулярны. При этом комплексный потенциал Φ = ϕ(x, y) + + iΨ(x, y) является функцией комплексной координаты z = x +iy и
для решения задач плоского обтекания тел безвихревым потоком можно использовать аппарат теории функций комплексного переменного.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Что такое невязкая жидкость? Какое практическое использование находит такая модель жидкости?
2.Какими уравнениями описывается движение невязкой жидкости?
3.Запишите уравнение Бернулли.
4.Как ставиться задача для безвихревых стационарных потоков невязкой несжимаемой жидкости?
5.Что такое потенциальное течение? Когда оно имеет место?
6.Как функция тока связана с компонентами скорости движения жидкости?
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Определить распределение давлений по высоте в покоящейся атмосфере, полагая плотность воздуха постоянной ρ = ρ0. Давление вблизи поверхности земли p0.
8
1.2.Определить распределение давлений и плотностей воздуха
впокоящейся изотермической атмосфере. Воздух рассматривать
как совершенный газ. У поверхности земли давление p0 и плотность воздуха ρ0.
1.3.Определить давление торможения потока несжимаемой
жидкости, скорость которой вдали от препятствия u0, давление p0, плотность ρ0.
1.4.Определить параметры торможения потока совершенного
газа, который вдали от препятствия имеет скорость u0, давление p0, плотность ρ0, температуру T0. Поток считать изоэнтропным.
1.5.Получить расчетное соотношение для определения скорости потока несжимаемой жидкости с помощью трубки Пито, схема которой показана на рис. 1.1.
P
U 
Рис. 1.1
1.6. Получить расчетную формулу для определения скорости потока несжимаемой жидкости с помощью трубки Вентури, схема которой показана на рис. 1.2.
P
U 
Рис. 1.2
1.7. Получить расчетное соотношение для определения скорости потока несжимаемой жидкости с помощью трубки Пито расположенной в трубке Вентури.
9
1.8.Определить результирующие объемных и поверхностных сил, а также суммарную силу, действующую на тело, расположенное в сосуде с жидкостью на глубине h от поверхности. Тело имеет
форму куба со стороной l. Плотность материала тела ρт, жидкости ρж. Плотность объемных сил g.
1.9.Решить задачу 1.8 для тела произвольной формы объемом
V.
1.10.Определить силу, действующую на шар радиуса r0, закрепленный на горизонтальной оси в круглом отверстии в стенке плоского сосуда, заполненного жидкостью (рис. 1.3.). Расстояние от оси шара до поверх-
hности жидкости в сосуде h, внешнее давление p0. Плотность жидкости ρж, масса шара mт. Плотность объемных сил g. Трения нет. Будет ли шар вращаться вокруг оси? [1]
Рис. 1.3
1.11.Для задачи 1.10 определить условия, при выполнении которых в случае потери закрепления шар будет вытолкнут жидкостью в горизонтальном направлении.
1.12.В неограниченном объеме несжимаемой невязкой жидко-
сти по известному закону R(τ) расширяется сфера. Определить
поле скоростей и давлений в жидкости, обусловленное расширением сферы. Определить давление на поверхности сферы. На бесконечности давление p0 и жидкость неподвижна.
1.13. В неограниченном объеме жидкости с давлением p0 образовалась газовая полость радиусом r0 с начальным давлением pн, причем pн > p0. Исследовать поведение газовой сферы и окружающей жидкости, предполагая, что изменение давления газа в полости происходит по адиабатическому закону [1].
1.14. Определить распределение скоростей и давлений при поперечном обтекании безвихревым потоком невязкой несжимаемой жидкости неограниченного цилиндра. Вдали от цилиндра скорость
10