Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

ˆ

Определение 14.3. Разрешающим ядром оператора k называет-

∞

ся ядро Γμ (t, τ) = ∑μn−1kn (t, τ).

n=1

Из полученных выше оценок следует, что (τ, t [a; b] : τ < t )

		∞					(t −τ)	n−1
Γμ (t, τ)		≤ ∑Ln		μ		n−1
		n=1					(n −1)!

и, следовательно, это ядро является непрерывной функцией во всех точках (t, τ): a ≤ τ < t < b . Функция Γμ (t, τ) по параметру μ C – аналитическая во всей плоскости C (т.е. целая) функция.

Если ядро Γμ (t, τ) подсчитано, то решение уравнения

ˆ

y (t ) = μky(t) + f (t )

определяется формулой

t

ˆ

(t )+μ ∫ Γμ (t, τ) f (τ)dτ .

y (t ) = (Rμ (k ) f )(t ) = f

a

ˆ

. Вновь обозначая его ядро

2. Теперь рассмотрим оператор K

K (t, τ) = K1 (t, τ),

получим,

что оператору

ˆ n

отвечает

ядро

K

Kn (t, τ) ,

где

Kn (t, τ) = ∫ K1 (t, s)Kn−1 (s, τ)dτ

– свертка

ядер

G

операторов

ˆ

и

ˆ n−1

Если

положить

L = sup

K1 (t, τ)

,

K

K .

t,τ G

μ(G)< +∞ – мера области G, то sup

Kn (t, τ)

≤ Ln (μ(G))n−1 .

t,τ G

ˆ

Тогда для (μ:

μ

Lμ(G)) <1 определена резольвента Rμ (K )

и при этом

∞

ˆ

n−1

∑

μ

(Rμ (K )y)(t ) = y (t )+μ

Kn (t, τ) y (τ)dτ =

G∫

n=1

= y (t )+μ ∫Γμ (t, τ) y (τ)dτ.

G

91

При этих значениях μ решение уравнения

ˆ

y =μKy + f

дается формулой:

ˆ

)(t ) = f (t )+μ ∫ Γμ (t, τ) f (τ)dτ.

y (t ) = (Rμ (k ) f

G

§ 15. Линейные операторы в евклидовых пространствах

Далее рассматриваем линейный,

ˆ

в

ограниченный оператор A

евклидовом пространстве E со скалярным произведением ( ; ).

15.1. Теорема Рисса о представлении линейного

функционала в евклидовом пространстве

Теорема 15.1. Пусть

f :

E → C

(или R) – линейный, ограни-

ченный функционал в евклидовом пространстве E.

Тогда

существует

и

притом

единственный

элемент

y f E : x R f (x) = (x, y f ). При этом

y f

=

f

.

Доказательство.

Пусть

X ={x E : f (x)

= 0}

– нуль-простран-

ство функционала f.

Если X = E , то y f

= θ. Если же

X ≠ E ,

то

(y0 E, y0 ≠ 0): y0 Χ, т.е. x X (x, y0 )= 0 .

Положим

y0

y f =

f (y0 )

2

y

0

и покажем, что y f – искомый элемент. Имеем:

1) (y f ; y f )=

f

(y0

)

2

= f (y f );

2

y

0

′

′

)=

′

2) x

X (x , y f

0 = f (x ).

92

								f (x)
Но тогда,	так как x E					x =	x − f (y f ) y f
′		f (x)
	= x − f (y f ) y f
значение x					X , то
	(x, y f )=				f (x)	(y f , y f )= f (x).
				f (y f )

			f (x)
		+ f (y f ) y f , и

Таким образом, выполнение нужного равенства установлено. Далее:

def

y

f

f

= sup

f (x)

≥

f

=

y f

,

x

≤1

y

f (x)

(x, y f )

f

f

=

f

= sup

= sup

≤

y f

, т.е.

.

y f

x

≤1

x

≤1

Наконец, единственность	y f очевидно следует из того, что если
(x, y f )= 0 для x E , то,	взяв x = y f , получим y f =θ.

Замечание. Доказанная теорема означает, что евклидово про-

странство E изометрично своему сопряженному,			f ↔ y f	– изо-
метрический изоморфизм. Поэтому евклидово пространство E
отождествляют со своим сопряженным.
15.2. Сопряженный оператор
ˆ	→ E	– линейный, ограниченный
Определение 15.1. Пусть A: E
ˆ	ˆ*	E → E называется		сопря-
оператор (D (A)= E). Оператор	A :
ˆ		ˆ	ˆ*
женным к оператору A , если x, y E		(Ax, y)= (x, A y).

Теорема 15.2. Для любого линейного ограниченного оператора

ˆ	справедливы утверждения:
A: E → E		ˆ
1) существует и притом единственный оператор			*	;
		A

93

	2)			ˆ*				– также	линейный, ограниченный оператор, причем
			A
ˆ		=		ˆ*				;
A				A
	3)		(A* )* = A .
	Доказательство.								1. Фиксируем	ˆ
										y E . Тогда h(x) =(Ax, y) –

линейный ограниченный функционал на E. По теореме Рисса существует и притом единственный элемент h E , такой, что

	ˆ							ˆ	*
x E (Ax, y)= (x, h) . Определим оператор								A	, положив:
	y E		ˆ*			ˆ	ˆ*
			A y		= h (Ax, y)		=(x, A y).
	ˆ	*
Тогда оператор A		определен однозначно.
2.		ˆ	*	– линейный оператор. Для y1, y2 E ,
	Проверим, что A
				ˆ*	(α1y1 +α2 y2 ))		ˆ
	α1, α2 C (x, A						=(Ax, α1y1 + α2 y2 )=
	ˆ				ˆ		ˆ*		ˆ*
	= α1 (Ax, y1 )+ α2				(Ax, y2 )= (x, α1A y1			+ α2 A y2 ),
для	всех x E .	Но тогда, взяв				ˆ	*		ˆ	*	−
						x = A (α1y1 + α2 y2 )− α1A y1

−α

ˆ*

, получим:

2 A y2

ˆ*

(α1y1

ˆ*

ˆ*

0 = (x, A

+ α2 y2 )−α1A y1 −α2 A y2 )=

=

ˆ*

α1y1 + α2 y2 )

ˆ*

ˆ*

2

.

A (

−α1A y1

−α2 A y2

Следовательно,

ˆ*

ˆ*

+ α

ˆ *

A

(α1y1 + α2 y2 )= α1A y1

2 A y2 , т.е.

ˆ* – ли-

A

нейный оператор.

ˆ

ˆ

ˆ

Далее:

x, y E

*

=

≤

x

y

,

откуда,

(x, A y)

(Ax, y)

A

ˆ*

ˆ*

2

≤

ˆ

ˆ*

y

для y E ,

взяв x = A y , получаем:

A y

A

A y

ˆ*

ˆ*

A y

ˆ

ˆ

*

ˆ*

ˆ

A

= sup

y

≤

A

, т.е.

A

– ограниченный и

A

≤

A

.

y≠θ

Так как

ˆ

=

ˆ*

≤

x

y

ˆ*

, то, взяв

y =

ˆ

(Ax, y)

(x, A y)

A

Ax , по-

лучим аналогично, что

ˆ

≤

ˆ*

. Таким образом,

ˆ

≤

ˆ*

.

A

A

A

A

94

3. Так как

ˆ*

– линейный и ограниченный оператор в E, то су-

A

ществует(

ˆ

*

)

*

и

ˆ*

ˆ*

*

ˆ

тогда:

A

x, y E (A x, y)= (x,(A )

y)= (x, Ay),

(A )

*

= A .

ˆ*

ˆ

15.3. Самосопряженные операторы

Определение 15.2.

Линейный,

ограниченный

оператор

ˆ

→ E

называется

самосопряженным,

если

A: E

x, y E (

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ*

Ax, y)= (x, Ay), т.е.

A

= A .

ˆ

– самосопряженный оператор в E, то его

Теорема 15.3. Если A

норму можно подсчитать по формуле:

ˆ

= sup

ˆ

.

A

(Ax, x)

x

=1

Доказательство.

Положим

μ = sup

ˆ

.

Тогда

μ ≤

(Ax, x)

ˆ

x

2

ˆ

x

=1

ˆ

≤ sup

=

. Теперь покажем, что μ ≥

.

A

A

A

x

=1

ˆ

ˆ

− y), x − y)

= 4 Re (

ˆ

Имеем: (A

(x + y), x + y)−(A(x

Ax, y), отсю-

да:

ˆ

≤ μ(

x + y

2

+

x − y

2

)= 2μ(

x

2

+

y

2

).

4 Re (Ax, y)

ˆ

Пусть теперь: x E :

x

Ax

y

=1,

y =

.

Тогда

=1

и для

ˆ

Ax

x E получаем

ˆ

= 4

ˆ

≤ 2μ(1

+1) = 4μ .

4 Re (Ax, y)

Ax

Откуда

A

def

ˆ

≤ μ . И получим, что

=

sup

Ax

x

=1

ˆ

= μ = sup

ˆ

.

A

(Ax, x)

x

=1

Упражнение. Показать, что:

1) собственные значения, если они есть, самосопряженного опе-

ˆ

ратора A действительны;

2) собственные векторы, отвечающие различным собственным

ˆ

значениям оператора A , ортогональны.

95

15.4. Вполне непрерывные самосопряженные операторы в E

Напомним, что оператор	ˆ	называется вполне непре-
	A: E → E

рывным, если он переводит любое ограниченное в E множество в множество, относительно компактное E.

Рассмотрим дополнительные свойства таких операторов.

Определение 15.3. Последовательность {xn}∞n=1 E				называется
слабосходящейся к x E , если h E (h, xn )	→		(h, x) .
	n→∞
Записываем это так: x = w − lim xn .
n→∞
Упражнение. Доказать, что слабый предел {x		n	}∞	– единст-
			n=1

венный.

Лемма 15.1. Всякий вполне непрерывный оператор в E переводит любую слабо сходящуюся, ограниченную последовательность в последовательность, сходящуюся по норме.

Доказательство. Пусть

{x

}∞

E :

n

x

n

≤1

и

w − lim xn = θ. Тогда

n

n=1

n→∞

(xn,

ˆ

ˆ*

ˆ*

h E (Axn, h)=

A h)→(θ, A h)= (θ, h),

ˆ

= θ . Покажем, что

ˆ

→0

. Допустим против-

т.е. и w − lim Axn

Axn

n→∞

N nk > N :

ˆ

ное, т.е. ε0 > 0 :

≥ ε0 .

Axn

k

Оператор A – вполне непрерывный в E. Следовательно, так как

последовательность {xn}∞n=1 ограничена, то существует последова-

	ˆ		∞
тельность Axn			фундаментальная в E. Тогда имеем оценку:
		k p p=1

ε

2

≤

ˆ

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

≤

0

Axn

k p

= Axn

k p

, Axn

− Axn

+ Axn

, Axn

k p

kz

k p

kr

≤

ˆ

ˆ

−

ˆ

+

ˆ

ˆ

.

A

Axn

Axn

Axn

, Axn

k p

kr

k p

k r

96

ˆ

ˆ

1

2

Получаем N : nk p , nkr

> N

Axnk p

−

Axnkr

<

2

ε

0 .

Фиксируем

nk

.

Тогда

ˆ

ˆ

ˆ

при

Axn

, Axn

→

Axn

, θ = 0

p

k p

kr

k p

nk

→ ∞ . Следовательно, при достаточно больших nk

r

получаем:

r

2

ˆ

2

1

2

1

2

ε0

≤

Axnk p

<

ε0

+

ε0 .

2

4

ˆ

ˆ

Пришли к противоречию. Это и означает, что

→ 0 .

Axn

− Aθ

Лемма 15.2. Если A – вполне непрерывный оператор в E, а по-

следовательность {x

n

}∞

E ограничена и w − lim x

n

= x , то

n=1

n→∞

(

ˆ

ˆ

Axn, xn )→(Ax, x).

Доказательство.

(

ˆ

ˆ

=

ˆ

ˆ

ˆ

(Axn, xn )−(Ax, x)

Axn, xn )−(

Ax, xn )+(Ax, xn )−

ˆ

≤

ˆ

ˆ

xn

+

(

ˆ

− x)

→ 0 ,

−(Ax, x)

Axn − AX

Ax, xn

n→∞

так как

ˆ

ˆ

→0

по лемме 15.1,

а

ˆ

− x)→ 0 в силу

Axn − Ax

(Ax, xn

слабой сходимости xn

к элементу x.

Лемма 15.3. Из всякого бесконечного ограниченного множества

в E можно выбрать слабосходящуюся последовательность.

Упражнения.

1. Доказать лемму 15.3.

2. Доказать, если {x

n

}∞

E слабо сходится, то она ограничена.

n=1

3. ОНС {e

}∞

E слабо сходится к нулевому элементу θ.

n

n=1

ˆ

ˆ *

то

ˆ

4. Если A =

A ,

x E (Ax, x) R .

Теорема 15.4. У всякого линейного, вполне непрерывного, са-

мосопряженного оператора

ˆ

в E существует хотя бы одно собст-

ˆ

A

венное значение λ:

λ

=

.

Среди всех собственных значений

A

97

оператора

ˆ

это собственное значение является наибольшим по

A

модулю.

Доказательство. Обозначим: M = sup (

ˆ

ˆ

Ax, x), m = inf

(Ax, x).

M

m

M

m

x

=1

x

=1

Пусть

≥

(случай

<

сводится к рассматриваемому

ˆ

ˆ

. Тогда M > 0. Покажем, что λ = M – собственное

заменой A → −A)

значение оператора

ˆ

(по теореме 15.3 M =

ˆ

).

A

A

Так

как

ˆ

то

существует

последовательность

M = sup (Ax, x),

∞

x

=1

ˆ

E :

=1

{xn}n=1

xn

и (Axn, xn )→ M . По лемме 15.3 следует су-

ществование {xn

}∞

{xn}∞n=1 : w− lim xn

= x0 , а по лемме 15.2

k

k =1

K→∞

K

ˆ

, xn )→(

ˆ

ˆ

имеем: (Axn

Ax0, x0 ), следовательно,

(Ax0, x0 )= M .

k

k

Покажем, что

x0

=1:

(x0 − xnk , x0 )

(xnk , x0 )

x0

2 =

(x

0, x0 )≤

+

≤

≤

(x0 − xnk , x0 )

+

x0

.

Так

как

(x0 − xnk , x0 )→ 0

при

nk → ∞ ,

то

получаем, что

x

0

2

≤

x

, т.е.

x

≤1.

0

0

Предположим,

что

x

<1

. Тогда положим y

=

x0

и полу-

1

0

0

x0

ˆ

ˆ

чим (

Ay0, y0 )=

2

(Ax0, x0 )> M , что невозможно. Следователь-

x

0

ˆ

ˆ

но,

=1.

x0

Получили: x0 E :

x0

=1 и sup (Ax, x)=(Ax0, x0 )=

= M =

ˆ

(см. теорему 15.3).

x

=1

A

98

Докажем, что

x0

– собственный вектор оператора

ˆ

, отвечаю-

A

щий собственному значению λ =

ˆ

. Имеем:

A

ˆ

2

ˆ

ˆ

−λx0 )=

ˆ

2

−

Ax0 −λx0

= (Ax0 − λx0, Ax0

Ax0

ˆ

ˆ

2

(x0, x0 )=

ˆ

2

−λ

2

≤ 0.

−λ(x0, Ax0 )−λ(Ax0, x0 )+ λ

Ax0

Но тогда

ˆ

2

= 0

ˆ

λ =

ˆ

.

Ax0 −λx0

Ax0 = λx0, где

A

Далее, если λ1 – любое собственное значение оператора

ˆ

–

A , x1

отвечающий λ1 собственный вектор с

x1

=1, то:

ˆ

ˆ

=

ˆ

.

λ1

=

(λ1x1, x1)

=

(Ax1, x1)

≤ sup

(Ax, x)

A

x

=1

Теорема доказана.

Отметим еще следующие свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного вполне непрерывного опера-

ˆ

тора A .

Теорема 15.5. 1. Любому ненулевому собственному значению λ

ˆ

самосопряженного, вполне непрерывного оператора A может от-

вечать лишь конечное число линейно независимых собственных векторов.

ˆ

2. Если вполне непрерывный, самосопряженный оператор A имеет бесконечно много собственных значений, то единственной их предельной точкой является точка λ = 0.

Доказательство. 1. Пусть x1,..., xn,... – бесконечное множество

ˆ

собственных векторов A , отвечающих собственному значению λ ≠ 0. Допустим, что они линейно независимы. Проводя ортогонали-

зацию	по Шмидту			системы функций {x	n	}∞	, получим ОНС
						n=1
∞	:	ˆ	= λek.	Тогда согласно неравенству Бесселя имеем:
{ek }k=1		Aek

∞

y E ∑ (y, ek ) 2 ≤ y 2 . Отсюда: (y, ek ) →0 при k →∞ , т.е.

k =1

w − lim ek = θ.

k→∞

99

ˆ

ˆ

т.е. λ= 0,

что

По лемме 15.2 имеем: λ ≡ (Aek , ek )→(Aθ, θ)= 0 ,

противоречит условию.

∞

– отличные от нуля собственные значения

ˆ

,

2. Пусть {λn}n=1

A

записанные с учетом их кратностей (конечных по п. 1), {x

n

}∞

–

n=1

соответствующие

ОНС

собственных

векторов.

Тогда

вновь

∞

y E ∑

(y, xk )

2 ≤

y

2 .

И тогда

(y, xk )

→ 0 =

(y, θ)

,

т.е.

k =1

ˆ

ˆ

k→∞

→ 0 .

θ = w − lim xk . Тогда: λk = (Axk , xk ) →

(Aθ, θ)= 0 , т.е. λk

k→∞

k→∞

k→∞

15.5. Теорема Гильберта−Шмидта

ˆ

–

линейный,

самосопряженный вполне

Теорема 15.6. Пусть A

непрерывный оператор в E.

Тогда в E существует ОНС {e }n0

,

ˆ

k

k =1

n0 ≤ +∞, состоящая из собственных векторов оператора

A , отве-

чающих ненулевым собственным значениям {λ

k

}n0

, расположен-

k=1

ным в порядке убывания модулей и с учетом их кратностей, такая, что:

		n
1)	x E x = ∑0		ckek + x′ , где ck =(x;ek ) и x′ Ker A ;
	n0	K =1
2)	ˆ	λkek .
	Ax = ∑ck

K=1

Вслучае n0 = +∞ сходимость рядов понимается по норме про-

странства E.

Доказательство.

По теореме 15.4 (λ1 :

ˆ

λ1

=

A

и e1 :

ˆ

=1).

Рассмотрим множество:

Ae1

= λ1e1 ,

e1

M ={x E :

(x, e )= 0}

1

1

100