Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

2) сходящейся к f X,					если ε > 0 N (ε) :
n > N (ε)				fn − f						X
							< ε . Обозначение f = lim fn .
Очевидно, что:							то {f		}∞	n→∞
1) если f	n	→ f		в	X,			n		ограничена в X, т.е.
									n=1

M : n fn < M ;

X

2) если lim fn = f , то он – единственный.

n→∞

Определение 9.3. Нормированное пространство (X , ) назы-

вается полным, если любая фундаментальная в X {f	n	}∞	имеет
предел f X.		n=1

Определение 9.4. Полное нормированное пространство называ-

ется банаховым.

Утверждение 9.1. Пространства C [a, b], Ck [a, b] – банаховы

пространства.

Упражнение. Провести доказательство утверждения 9.1.

9.2. Евклидовы пространства

Определение 9.5. Линейное пространство X называется евклидовым (над полем K = C ), если каждой паре f , g X поставлено в

соответствие число ( f , g ) C , удовлетворяющее условиям:

1)f X ( f , f )≥ 0 , причем ( f , f )= 0 f = θ в X;

2)( f , g ) = (g, f );

3)α, β C (α f1 +β f2, g )= α( f1, g )+β( f2, g ).

Утверждение 9.2. Всякое евклидово пространство является

нормированным с нормой

f = ( f , f )1/ 2 .

def.

Доказательство. 1. Очевидно, что f = ( f , f )1/2 удовлетворяет первым двум аксиомам нормы.

61

2. Докажем неравенство Коши–Буняковского–Шварца

( f , g ) ≤ ( f , f )1/ 2 (g, g )1/ 2 = f g .

Выберем угол ϕ так, чтобы ( f , g ) = ( f , g ) eiϕ, и рассмотрим λ = teiϕ, где t R. Тогда:

0 ≤ ( f + λg, f + λg ) = f 2 + λ(g, f )+ λ( f , g )+ λλ g 2 = = f 2 + 2t ( f , g ) + t 2 g 2 .

Но тогда D / 4 = ( f , g ) 2 − f 2 g 2 ≤ 0 , т.е. получили нужное неравенство: ( f , g ) ≤ f g .

3. Теперь установим выполнение неравенства треугольника. Имеем:

f + g 2 = ( f + g, f + g ) = f 2 +( f , g )+(f , g )+ g 2 =

= f 2 + g 2 + 2 Re ( f , g )≤ f 2 + g 2 + 2 ( f , g ) ≤

≤ f 2 + g 2 + 2 f g = ( f + g )2 .

Отсюда f + g ≤ f + g и таким образом выполнено и третья

аксиома нормы.

Утверждение 9.3.

1.Скалярное произведение – непрерывная в X × X функция.

2.Скалярное произведение – счетно-аддитивная функция.

Доказательство. 1. Если fn → f , gm → g в X, то

( fn, gm )−( f , g ) = ( fn − f , gm )+ ( f , gm − g ) ≤ ≤ ( fn − f ; gm ) + ( f , gm − g ) ≤ fn − f gm +

+

f

gm − g

→ 0 при m, n → +∞.

∞

n

3. Если g = ∑gk , т.е.

g −∑gk

→ 0 при n → ∞ , то

k=1

k=1

∞

n

n

∑( f , gk )= lim ∑( f , gk )= lim

f , ∑gk

,

k =1

n→∞ k =1

n→∞

k=1

62

откуда

∞

n

( f , g )− ∑( f , gk )

= lim

f , g − ∑gk

≤

k =1

n→∞

k =1

n

≤

f

lim

g − ∑gk

= 0.

n→∞

k =1

Таким образом,

∞

∞

f , ∑gk

= ∑( f , gk ).

k=1

k=1

Определение 9.6. Полное евклидово пространство называется

гильбертовым пространством. Обозначаем далее буквой Ε .

Примеры.

b

1/2

9.4. CL

f

=

∫

f (x)

2

dx

[a, b]= f C [a, b], с нормой

.

2

CL2

a

Норма в CL2 [a, b] порождается скалярным произведением

b

( f , g ) = ∫ f (x)g (x)dx .

a

∞

1/2

∑

2

9.5.

l2

= x : x = (x1, x2

,..., xn

,...):

x

l 2 =

xk

.

k =1

Скалярное произведение в l2 определяется равенством:

∞

(x, y) = ∑xk yk .

k=1

Утверждение 9.4. Пространство CL2 [a, b] не является полным. Пространство l2 – полное евклидово (гильбертово).

Упражнение. Провести доказательство утверждения 9.4.

63

§10. Ряды Фурье по ортогональным системам

вевклидовых пространствах

10.1. Основные определения

Определение 10.1. Система элементов { fα}α X называется

линейно

независимой

в

X,

если

fα

, fα

, ...,

fα

m

равенство

С1 fα

+ Сm fα

1

2

+...

= θ

возможно

тогда

и

только тогда, когда

1

m

C1 = C2 = ...

= Cm = 0 .

Определение 10.2. Система элементов { fα}α называется:

1) всюду плотной в X, если

(ε > 0, f X ) fα { fα}α :

fα − f

< ε;

2) линейно плотной в X, если ( f X , ε > 0) (

fα ,...,

fα

;

1

m

m

C1,..., Cm ):

f −∑Ck dαk

< ε

(т.е.

в X всюду плотная оболочка,

k =1

натянутая на

{fα}α ).

∞

Определение 10.3. Ряд ∑Ck fk называется сходящимся в X к f,

k =1

n

если

f −∑Ck fk

→ 0 при n → ∞. В этом случае f – сумма ряда.

k=1

Определение 10.4. Система (не более чем счетная)

{e

}∞

на-

k

k=1

∞

зывается базисом в X, если f X f = ∑Ckek

и это представ-

ление единственно.

k =1

Определение 10.5. Система { fα}α

называется ортогональной

(ОС)

в

евклидовом

пространстве

E,

если

α1, α2

64

(

fα , fα

2

)= 0

при

α1 ≠ α2 и ортонормированной (ОНС),

если

(fα

1

, fα

2

)= δα α .

1

1

2

Определение 10.6. Базис {e

}∞

в E называется ортонормиро-

k

k=1

ванным базисом (ОНБ), если {e

}∞

– базис и ОНС.

k

k=1

Определение 10.7. Пусть {e

}∞

– ОНС в E. Для f E

поло-

αk = ( f , ek )

k

k=1

жим

и

поставим

в

соответствие

элементу

f E

∞

∞

f ~ ∑αkek =∑( f , ek )ek .

k=1

k =1

Тогда – это ряд Фурье функции f по ОНС {e

}∞

, (

f , e ) – коэф-

фициенты Фурье.

k

k=1

k

Утверждение

10.1 (единственность ряда

по

ОНС).

Если

{ek }∞k=1 – ОНС и

E

∞

f =

∑ckek , то ck = ( f , ek ) , т.е. этот ряд – ряд Фу-

k =1

рье функции f по ОНС {e

}∞

.

k

k=1

Доказательство. Используя единственность скалярного произ-

ведения, получаем
	∞		∞
f ( f , ek ) =	∑(ciei ),ek		= ∑ci (ei ,em ) = ck .
i=1			i=1

10.2. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя

Теорема 10.1 (минимальное свойство коэффициентов Фурье).

Если {e	}∞	– ОНС в E, f E, то
k	k=1			n				n
		min		f − ∑	βkek	=		f −∑αkek	,
		β		k=1				k=1

65

где αk = ( f , ek ), а минимум слева берется по всевозможным набо-

рам β = (β1,..., βn ).

Доказательство. Распишем квадрат нормы:

n				2		n	n
f − ∑βkek				=	f	− ∑	βkek , f − ∑	βkek	=
k =1						k =1	k =1

n

n

n

=

f

2

+ ∑

βk

2 − ∑

βk

( f , ek )

− ∑

k ( f , ek )=

β

k =1

k =1

k =1

n

n

(αk

kβk )=

=

f

2 + ∑

βk

2

− ∑

k +

β

α

k =1

k =1

n

n

=

f

2 + ∑

βk − αk

2 − ∑

αk

2 ,

k =1

k =1

так как

βk −αk

2 = (

k − αk )(βk −αk )=

βk

2 +

αk

2 −

kαk −βkαk .

β

β

Отсюда

n

2

n

inf

f −

∑βkek

=

f

2

− ∑

αk

2

β

k =1

k =1

и инфимум достигается при βk = αk = ( f , ek ).

Следствие (неравенство Бесселя). Если {e

}∞

k

k=1

∞

f E ∑

( f , ek )

2 ≤

f

2 .

k=1

(10.1)

– ОНС в E, то

Замечание. Если {e	}∞	– такая ОНС, что f E
k	k=1

∞

∑ ( f , ek ) 2 = f 2 , то это называют равенством Парсеваля.

k =1

10.3. Критерий базисности ОНС в E

Теорема 10 2. Если {e	}∞	– ОНС в E, то следующие условия
k	k=1
равносильны.

66

1. {e }

∞

– ОНБ в E.

k

k=1

∞

2. f E

f

2 = ∑

( f , ek )

2,

т.е.

справедливо равенство

Парсеваля.

k =1

3. {e }∞

– линейно плотная в E система.

k

k=1

4. ( f E :

( f , ek )= 0

для всех k =1, 2,...) f

= θ.

Доказательство. Проведем по схеме: 1 → 2 → 3 → 4 → 1.

{ek }∞k=1 –

∞

1 → 2.

Если

ОНБ в E,

то

f E f = ∑( f , ek )ek ,

а тогда

k =1

∞

∞

f

2 =

∑(

f , ek )ek ,

∑( f , em )em =

k =1

m=1

∞

∞

∞

= ∑(

f , ek )

ek ,

∑( f , em )em

= ∑

( f , ek )

2 .

k =1

m=1

k =1

2 → 3.

Пусть ck = ( f , ek ). Тогда

n

2

n

∞

f − ∑ckek

=

f

2 − ∑

ck

2

= ∑

ck

2 → 0 ,

k =1

k =1

k =n+1

∞

так как ряд ∑ ck 2 сходится. Таким образом, в E линейно плотна

k =1

система {ek }∞k=1 .

3 → 4. По условию: (ε > 0, f E )

(ck

) :

n

2

,..., ck

n

; ek ,..., ek

n

f − ∑ck

ek

p

< ε .

1

1

p=1

p

Пусть N = kn ,

дополним ck ,..., ck

до c1, ..., cN

нулями и полу-

1

n

чим:

N

f − ∑ckek < ε .

k=1

67

Но тогда по минимальному свойству коэффициентов Фурье и подавно

N

f − ∑ ( f , ek )ek

< ε .

k=1

Отсюда,

если

k ( f , ek )= 0 ,

то

ε > 0

f

< ε,

т.е.

f

= 0 f = θ.

4 → 1. Пусть

f E

– любой

элемент.

Положим

g = f −

∞

−∑ ( f , ek )ek . Тогда, используя счетную аддитивность скалярного

k =1

∞

произведения, имеем:

m (g, em )= ( f , em )− ∑ ( f , ek )(ek , em )=

= ( f , em )−( f , em )= 0 .

k=1

Отсюда по условию

g = θ,

т.е. f E

∞

}∞k=1

f

= ∑ ( f , ek )ek . Так как

{ek

− ОНС,

то это разложение

k=1

единственно. Следовательно, {e }∞

– ОНБ.

{ϕ

}∞

k

k=1

Замечание.

Если

k

–

ОС,

но не

нормированная,

то

∞

k=1

ϕ

k

– ОНС и, следовательно,

ряд Фурье функции

f E

по

ϕ

k

k

=1

∞

1

ОС {ϕk }∞k=1 имеет вид

f ~ ∑

( f , ϕk )ϕk .

ϕk

2

k =1

§ 11. Линейные операторы в линейных

нормированных пространствах

11.1. Основные определения и свойства

Определение 11.1. Пусть (X ,

X )

и (Y,

Y )

– два нормиро-

ванных пространства. Отображение

ˆ

множества

ˆ

A

D (A) X в Y,

68

ˆ

ставящее в соответствие каждому элементу x D (A) единствен-

ˆ

называется оператором с областью оп-

ный элемент A(x) = y Y ,

ˆ

ˆ

ределения D (A) X и множеством значений E (A) Y .

Определение 11.2. Оператор

ˆ

A : X →Y называется ограничен-

ным, если:

ˆ

1) D (A)= X ;

ˆ

2) C > 0 : x X

A(x)

Y ≤ C

x

X .

Определение 11.3. Если

ˆ

→Y – ограниченный оператор, то

A : X

число

ˆ

ˆ

A(x)

Y

A

X →Y = sup

x

X ≠θ

X

называется нормой оператора A.

ˆ

Определение 11.4. Оператор

называется непрерывным

A : X →Y

ˆ

в точке x0 D (A), если

∞

ˆ

ˆ

({xn}n=1 :

xn − x0

X → 0)

A(xn )

− A(x0 )

Y → 0, n → ∞ .

ˆ

Оператор, непрерывный в каждой точке множества M D (A),

называется непрерывным на M.

ˆ

Определение 11.5. Оператор

A : X →Y называется линейным,

если:

(ˆ )

1)D A X – линейное подпространство в X;

	ˆ		ˆ	ˆ	ˆ
	2) x1, x2 D (A), C1, C2		K A(C1x1 +C2x2 )= c1Ax1		+c2 Ax2 .
	ˆ	– линейный оператор, то обычно пишут
	Замечание. Если A
ˆ	ˆ
A(x) = Ax .
	Утверждение 11.1. Если		ˆ	ˆ
			A : X →Y	− линейный, D (A)= X , то

он ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен на X.

69

Доказательство. 1. Если А линеен и ограничен, то

({xn}∞n=1 X :

xn − x0

X → 0)

ˆ

ˆ

=

ˆ

→ 0,

Axn

− Ax0

X

A(xn

− x0 )

Y

≤ C

xn − x0

X

т.е. он непрерывен в любой точке x0 X .

2. Допустим, что А линеен и непрерывен на X, но не ограничен:

и

ˆ

n xn X : xn ≠ θ

Axn

Y

≥ n

xn

X .

ˆ

xn

Отсюда

A

n

xn

X

Y ≥1.

С

другой

стороны,

так как

xn

xn

1

ˆ

ˆ

ˆ

n

xn

−θ

=

n

→

0 , а Aθ x = θy , то

A

n

xn

− Aθ

→0 в

X

X

X

Y

ˆ

силу непрерывности

θ. Пришли к противоречию, кото-

A в точке

ˆ

ограничен.

рое доказывает, что оператор A

Определение 11.6. Множество M X

называется относитель-

но компактным в X,

если {xn}∞n=1 M из {xn}∞n=1

можно вы-

делить фундаментальную по норме X последовательность.

Далее рассматриваем линейные операторы.

Определение 11.7. Оператор

ˆ

вполне не-

A : X →Y называется

прерывным (или компактным),

ˆ

и он переводит

если D (A)= X

всякое ограниченное в X множество в множество, относительно

компактное в X.

ˆ

вполне непрерывен, то он

Утверждение 11.2. Если оператор A

ограничен. Обратное неверно.

Доказательство. 1. Сначала докажем, что всякое относительно компактное в Y множество N ограничено в Y. Допустим противное.

Тогда берем y1 N

y2 N : y2 − y1 Y ≥1

70