Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010
.pdf2. Так как |
f (t, y; μ) |
равномерно непрерывна на G , то |
) |
|
|||||||||||
|
|
( |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|||||
δ > |
0 γ(δ) |
> 0 : (t, y,μ), t, y,μ |
|
G : |
μ −μ |
< γ |
|
|
|||||||
|
sup |
|
|
|
f (t, y,μ)− f (t, y,μ) |
|
< δ . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(t, y) G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда второе утверждение этой теоремы следует из теоремы 2.1,
|
|
( |
) |
. |
|
|
|
|
|
|||
если f (t, y) = f t, y;μ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3. Пусть выполнено дополнительное условие. Фиксируем |
μ и |
|||||||||
|
|
|
M. Обозначим решение задачи (2.3) при фиксированном |
|||||||||
μ + Δμ |
||||||||||||
μ |
y (t,μ), а решение задачи: y′ = f (t, y; |
|
), y (t0 )= y0 |
через |
||||||||
μ + Δμ |
||||||||||||
|
y |
(t, |
|
). Сначала рассмотрим |
|
={Δμ1, 0,...,0}, обозначив |
||||||
|
μ + Δμ |
Δμ |
μ ={μ1,μ′} . Тогда:
|
|
|
|
μ1 y (t,μ)= y (t,μ1 + Δμ1,μ′)− y (t,μ); |
||||||
( μ |
y (t,μ)) ′= f |
(t, y (t;μ1 + Δμ1,μ′); μ1 + Δμ1,μ′)− f (t, y(t,μ),μ)= |
||||||||
1 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ fξ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t, y (t,μ)+ ξΔμ1 y (t,μ); μ + ξΔμ dξ = |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(t; y (t;μ)(t,μ)+ ξΔμ1 y (t,μ); |
|
|
|
)dξ μ1 y (t,μ)+ |
||||
= ∫ f y′ |
|
|
|
|||||||
μ + ξΔμ |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
+∫1 |
fμ′1 (t; y (t;μ)+ ξΔμ1 y (t,μ); |
|
|
)dξ Δμ1 = |
|||||
|
μ + ξΔμ |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ |
|
|
|
|
|
|
= F (t,μ;Δμ1) μ1 y (t,μ)+ Φ(t,μ, Δμ1) Δμ1 ,
где Φ и F – непрерывные по (t, Δμ1) функции (μ фиксировано). Получаем задачу:
11
|
|
μ |
1 |
y (t,μ) |
′ |
|
μ |
1 |
y (t,μ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= F (t,μ, Δμ1) |
|
|
+ Φ |
(t,μ, Δμ1); |
|||
|
|
Δμ1 |
|
|
|
|
Δμ1 |
||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
(2.4) |
|||||||
|
|
|
y (t,μ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
μ |
1 |
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Δμ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t=t |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Параметр Δμ1 |
меняется в окрестности точки Δμ1 = 0 . По дока- |
занному в п. 2 решение задачи (2.4) непрерывно зависит от Δμ1 .
|
Переходя тогда в (2.4) к пределу при |
|
Δμ1 → 0 , получаем сле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
дующую задачу (уравнение в вариациях) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
′ |
|
|
∂f |
(t, y,μ) |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂f |
|
|
(t, y,μ); |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∂y |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂μ1 t |
|
|
|
|
|
∂μ1 |
|
|
|
|
∂μ1 |
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∂μ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t=t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Аналогично |
устанавливаем |
|
|
существование |
|
производных |
|||||||||||||||||||||||||||||||
y′μ |
k |
(t,μ), k = 2,..., n . Если p > 1, |
|
то далее применяем доказанное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
утверждение к задаче (2.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Следствия. 1. Уравнения (2.5) получаются из (2.3) формальным |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцированием по μ1 . Аналогично в более общем случае: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y′ |
= f (t, y,μ) |
|
|
|
|
|
= f y′ (t, y,μ) |
|
|
+ fμ′ |
|
(t, y,μ); |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂μ |
|
|
k |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂μ |
k t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|||||||||||||
|
|
y (t0 )= y0 (μ) |
|
|
|
|
∂y |
(t0 ) |
= |
0 |
|
(μ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂μk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂μk |
|
|
|
|
|
|
|
y (t0 )= y0 . |
|||||||||||||||||
|
2. Рассмотрим задачу (2.1): y′ = f (t, y), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Положим: |
x = t − t0 , Z (x) = y (t0 + x)− y0 . |
|
Тогда Z (x) решение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
задачи: Z′(x) = f (x + t0 , |
|
Z + y0 ), Z (0) = 0. |
|
Следовательно: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂Z |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Z |
|
|
|
|
∂Z |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= f y′ |
(x + t0 ; Z + y0 ) 1 |
+ |
|
, |
|
|
|
(0) = 0. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂y0 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y0 |
|
|
|
∂y0 |
|
|
Возвращаясь к старым переменным, получаем формулы диффе-
ренцирования решения по начальным данным:
12
|
∂y |
|
′ |
f y′ (t, y) |
∂y |
|
∂y |
(t0 )=1, |
(2.6) |
|
|
|
= |
; |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
∂y0 t |
|
∂y0 |
∂y0 |
|
которые также получаются из (2.1) формальным дифференцированием по y0 .
Пример 2.1. Дана задача Коши y′ = y +μ(x + y 2 ), y (0) =1. Тре-
буется найти (∂y / ∂μ) μ=0 . Решение. Уравнение в вариациях:
|
∂y ′ |
= (1 |
+ 2μy) |
∂y |
+ x + y 2 ; |
|
∂y |
(0) = 0. |
|
|
|
|
∂μ |
|
|
||||
|
∂μ |
x |
|
|
|
|
∂μ |
|
При |
|
μ = 0 y′ = y , |
y (0)=1 y (x,0)= e x . |
Теперь полагаем |
|||
∂y (x,μ) |
|
μ=0 |
= ϕ(x). Тогда ϕ(x) удовлетворяет задаче: |
||||
|
|||||||
∂μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∂ϕ = ϕ+ x + y 2 |
(x,0) = ϕ(x)+ x + e 2 x ; ϕ |
(0) = 0. |
|||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
ϕ(x)=e2x −1−1. |
|
||||
Ответ: |
∂y |
|
= e2 x − x −1 . |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
∂μ |
|
μ=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. Элементы теории устойчивости решений ОДУ
исистемы ОДУ
3.1. Основные определения |
|
||||
Рассмотрим систему ОДУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ' = f (t, y); |
(3.1) |
||||
|
|
)= y |
|
, |
|
y(t |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
где y ={y1 (t),..., yn (t)}, f (t, y) ={f1 (t, y),..., f n (t, y)}.
13
Определение 3.1. Пусть f (t, y) и (t0 , y0*) таковы, что на [t0 , +∞)
определено и единственно решение y * (t) задачи
y ' = f (t, y), |
y (t0 ) = y0*. |
Это решение y * (t) называется |
устойчивым по Ляпунову при |
t → +∞ , если:
1) δ0 > 0 : ((t0 , y0 ): y0 − y0* < δ0 ) на [t0 , +∞) существует и притом единственное решение задачи (3.1);
2) ε > 0 ( δ(ε) : 0 < δ(ε) ≤ δ0 ): (y (t) – решение задачи (3.1)
с y0: y0 − y0* < δ) sup y (t)− y* (t) < ε .
t≥t0
Определение 3.2. Это решение y * (t) называется асимптотиче-
ски устойчивым при t → +∞ , если:
1)оно устойчиво по Ляпунову;
2)любое решение y (t), удовлетворяющее условиям п. 2 опре-
деления 3.1, удовлетворяет также условию lim y (t)− y* (t) = 0 .
t→+∞
Замечание 3.1. Задача Коши для ОДУ
|
(n) |
= f (t, y, y′,..., y |
(n−1) |
); |
|
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(3.1′) |
y |
(t0 )= y00 , |
y′(t0 )= y10 ,..., y(n−1) (t0 ) = y0n−1 |
может быть сведена к системе ОДУ вида (3.1), однако удобнее дать непосредственно определение устойчивости решения для (3.1′).
Определение 3.1′. Пусть f (t; z1,..., zn ) и {y00, y01 ,..., y0n−1} |
тако- |
||||||
вы, что на [t0 , +∞) |
существует и притом единственное решение |
||||||
y(t) задачи |
|
|
(t, y, y′,..., y |
|
|
); |
|
|
(n) |
= f |
(n−1) |
|
|||
y |
|
|
|
|
|||
|
(t0 )= y00 , y′(t0 ) = y10 , |
|
..., y(n−1) (t0 )= y0n−1 . |
|
|||
y |
|
|
|||||
Это решение y(t) |
называется |
устойчивым по Ляпунову |
при |
||||
t → +∞ , если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
( |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
) |
{ |
|
|
|
|
0 ) |
|
|
( |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
1) |
δ |
> |
0 : |
|
|
y |
0 |
, y |
1 |
, |
..., |
y |
n−1 |
|
: |
y |
0 |
− y |
0 |
+ ... |
+ y |
n−1 |
− |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−y0n−1 )2}2 < δ0 на [t0 , +∞) |
определено и притом единственное |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение задачи (3.1′); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2) ε > 0 δ(ε): (0 < δ(ε)≤ δ0 ) : y (t) |
– решение (3.1′) с y0 : |
|||||||||||||||||||||||||||||
{ |
|
|
) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
} |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( |
2 |
+... + |
|
|
−1 |
|
|
|
2 2 < δ ) sup |
y (t)− y(t) |
< ε. |
|
|
||||||||||||||||||
|
y 0 |
− y 0 |
|
|
y n |
− y n−1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Определение 3.2′. Это решение |
|
y* (t) |
|
t≥t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
называется асимптоти- |
чески устойчивым при t → +∞ , если:
1)оно устойчиво по Ляпунову;
2)любое решение y (t) удовлетворяет условиям п. 2 определе-
ния 3.1′ и также условию lim y (t)− y (t) = 0 .
t→+∞
Далее для определенности будем формулировать и доказывать теоремы для системы ОДУ.
Замечание 3.2. Заменой функции x (t) = y (t)− y * (t) сводим исследование устойчивости решения y * (t) системы (3.1) к исследованию устойчивости нулевого решения системы:
x '(t)= f (t, x + y*)− f (t, y*)= ϕ(t, x);
x (t )= 0.
0
Далее считаем, что такая замена сделана и исследуем на устойчивость нулевое решение (≡ точку покоя) полученной системы.
Упражнение. Записать отрицание определения устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости.
15
3.2. Устойчивость решений линейной системы ОДУ с постоянными коэффициентами
Теорема 3.1. Рассмотрим систему ОДУ с постоянными коэффициентами:
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
X (t)= AX (t), |
|
|
|
(3.2) |
A = a |
n |
– постоянная матрица; X (t) ={x |
1 |
(t), ..., x |
n |
(t)} − век- |
{ |
ij}i, j=1 |
|
|
|
тор-столбец неизвестных функций. Пусть λ1,..., λn – корни характеристического уравнения det (A − λE) = 0 .
Вэтом случае:
1)нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда выполняются:
а) m =1, 2, ..., n Re λm ≤ 0 ;
б) λm : Re λm = 0 число линейно независимых собственных векторов, отвечающих λm , равно кратности λm ;
2) нулевое решение асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда m =1, 2, ..., n Re λm < 0 .
Доказательство. 1. Пусть {ϕ |
k |
(t)}n |
– фундаментальная систе- |
|
k =1 |
|
ма решений (ФСР) системы (3.2), построенная по собственным значениям матрицы A. Тогда очевидно, что при выполнении условий п. 1 получаем
|
|
|
|
|
|
|
sup |
ϕk (t) |
|
≤ M < +∞ . |
|
M > 0 : max |
|
||||
1≤k≤n t [t |
;+∞) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Далее рассмотрим ФСР {ψk (t)}nk =1 , такую, что Ψk (t) удовлетворяют условиям Коши: Ψk (t) = {0, ..., 0, 1, 0, ..., 0}. Получаем:
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
i =1, 2, ..., n ψi (t) = ∑cik ϕk (t) |
|
ψi (t) |
|
≤ |
∑ |
|
cik |
|
|
|
|
ϕk (t) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ψi (t) |
≤ ∑ |
cik |
|
ϕk (t) |
|
|
|
|
|
ψk (t) |
|
≤ N . |
||||||||||
|
N > 0 : max sup |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
k=1 |
|
|
|
1≤k≤n t≥t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
Пусть теперь x (t) – |
решение системы (3.2), |
такое, что x (t0 ) = |
||||||||||||||||
={x10 , ..., xn0} = x0 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t) = ∑x k 0 ψk (t) . |
|
|
|
|||||
Если теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x0 |
|
< δ, то |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n |
|
|
n |
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||
|
x (t)− 0 |
≤ ∑ |
xk 0 |
|
Ψk |
(t) |
≤ N ∑ |
xk 0 |
|
|
xk 0 |
|
n = N n δ. |
|||||
|
|
≤ N ∑ |
|
|
||||||||||||||
|
|
k =1 |
|
k=1 |
|
=1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что для системы X (t) = AX (t) |
решение определено на |
всей оси при любых начальных данных в любой точке t0 . Из полученной оценки следует, что нулевое решение устойчиво по Ляпунову (δ(ε) = εN −1n−1/2 ). Действительно, если условие п.1 не вы-
хотя бы одна из величин ϕk (t) не ограничена при t → +∞ . Пусть это, например, ϕ1 (t) . ТогдаC > 0 C ϕ1 (t) также не ограничен при t → +∞ . С другой стороны, при t = t0 величину c ϕ1 (t0 ) можно сделать сколь угодно
малой. Таким образом, нулевое решение не устойчиво при t → +∞ . 2. В случае выполнения условий п.2 справедливы все выкладки
п.1, т.е. |
решение x (t) ≡ 0 |
устойчиво по Ляпунову. Кроме того, |
||||||||||||||||
(k =1, |
2, ..., n) |
|
ϕk (t) |
|
|
→ 0 при |
t → +∞ |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ψi (t) |
|
= |
∑cikϕk (t) |
→ 0 при t → +∞ |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x (t ) |
|
= |
∑x0kψk (t ) |
|
→ 0 при t → +∞ , |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
т.е. нулевое решение устойчиво асимптотически.
Замечание 3.3. Для системы с постоянными коэффициентами (3.2) из устойчивости нулевого решения следует устойчивость любого решения в том же смысле, а из неустойчивости – неустойчивость. Поэтому всякую такую линейную систему называют либо
устойчивой, либо неустойчивой.
17
Упражнение. Для системы: x = a11x + a12 y; |
провести полное |
y = a21x + a22 y |
|
исследование устойчивости нулевого решения.
Замечание 3.4. Имеются критерии неположительности действительных частей характеристических уравнений (критерий РаусаГурвица, критерий Михайлова и т.п.).
3.3. Устойчивость решений линейных систем ОДУ
Теперь рассмотрим систему
i |
(t) = A(t) X (t)+ F (t) , |
|
|
||||||||
X |
|
(3.3) |
|||||||||
где функциональная матрица A(t ) = |
{ |
a |
ij |
(t ) n |
и правая часть век- |
||||||
тора-столбца F (t ) ={ f |
|
|
|
|
|
|
}i, j=1 |
|
, +∞). То- |
||
1 |
(t),..., |
f |
n |
(t)} |
|
непрерывны на t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
гда при любом X 0 ={x10,..., xn0} |
|
задача Коши: |
|
|
i
X (t )= A(t ) X (t )+ F (t );
X (t0 )= X 0
имеет определенное на t0, +∞) единственное решение.
Лемма 3.1. Любое решение системы (3.3) устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво) в том и только том случае, если устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво) нулевое решение однородной системы:
i |
|
X (t) = A(t) X (t) . |
(3.4) |
Доказательство. Доказательство очевидно следует из линейности системы, так как если Y (t) и Y * (t) – два решения (3.3), то
X (t) =Y (t)−Y *(t) – решение системы (3.4). Следовательно, Y * (t)
устойчиво (или неустойчиво) в том же смысле, что нулевое решение системы (3.4).
Упражнение. Доказать, что система (3.4) устойчива по Ляпунову (асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда каждое
18
ее решение ограничено на полуоси t |
0 |
, +∞) (соответственно, |
|||
|
y (t) |
|
|
|
|
|
|
→ 0 при t → +∞ ). |
|
|
|
|
|
|
|
Для линейных систем имеется много теорем, позволяющих исследовать устойчивость. Приведем одну из них.
Теорема 3.2. Пусть матрицу A(t ) в (3.4) можно представить в виде: A(t ) = A + B (t ), где:
i
а) A – постоянная матрица, причем система X (t) = AX (t) устойчива при t → +∞ ;
б) B (t ) – непрерывная на t0, +∞) матрица, удовлетворяющая
+∞
условию: ∫ B (t) dt < +∞ .
t0
Тогда система (3.4) устойчива по Ляпунову при t → +∞ . Доказательство. Пусть X (t) – фундаментальная матрица сис-
темы |
i |
|
удовлетворяющая условию |
||
X (t) = A X (t), |
|||||
|
↓ |
↓ |
|
X (t ) = X (t ) X (t0 ). |
|
общее решение этой системы |
|||||
|
|
|
|
↓ |
↓ |
Будем |
искать |
общее |
решение |
системы |
|
y (t) |
= X (t)u (t). Тогда: |
|
|
||
↓ |
|
↓ |
|
|
|
X (t0 )= E . Тогда
(3.4) в виде
i |
|
i |
|
|
|
i |
(A + B (t))X (t)u (t) ; |
|
y (t) = X (t)u (t)+ X (t)u (t) = |
||||||||
↓ |
|
↓ |
|
|
|
↓ |
↓ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
(t); |
X (t)− AX (t) u (t)+ X (t)u (t) = B (t)X (t)u |
||||||||
|
|
|
|
|
↓ |
↓ |
↓ |
|
|
i |
(t) = X (t ) |
B (t)X (t)u (t), |
|
||||
|
u |
|
||||||
|
↓ |
|
|
|
|
↓ |
|
|
откуда: |
|
|
|
|
+ t |
|
|
|
|
u |
(t) = u (t |
0 |
) |
X−1 (s)B |
(s)X (s)u (s)ds , |
|
|
|
↓ |
↓ |
|
∫ |
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
19
и, используя y (t) = X (t)u (t), |
y (t0 )= u (t0 ), получаем |
|||
↓ |
|
↓ |
↓ |
↓ |
|
|
t |
|
|
y (t) = X (t) y (t0 )+ ∫ |
X (t)X−1 (s)B (s) y (s)ds . |
|||
↓ |
↓ |
t0 |
|
↓ |
|
|
|
|
Учитывая X (t ) = e AtE , имеем: X (t)X−1 (t1 ) = e A(t−s)E = X (t − s) . X (t ) − фундаментальная матрица устойчивой линейной системы,
поэтому K > 0 : |
|
|
|
X (t) |
|
|
|
≤ K |
при всех t [t0, +∞). Но тогда: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t0 ) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y (t ) |
|
|
|
≤ K |
|
|
|
|
|
|
+ Kn∫ |
|
|
|
B (s) |
|
|
|
|
|
|
|
y (s) |
|
|
|
ds , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
↓ |
|
|
|
|
|
↓ |
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда по лемме Гронуолла–Беллмана получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||||||||||||||
y (t ) |
|
|
|
|
≤ K |
|
|
|
|
|
|
exp{Kn∫ |
|
|
|
B (s) |
|
|
|
ds} ≤ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
↓ |
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
t0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
y (t0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
||||||||||||||||||||
≤ K |
|
|
|
|
|
exp{Kn ∫ |
|
|
|
B (s) |
|
|
|
ds}. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
↓ |
|
t0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этой оценки и следует устойчивость по Ляпунову нулевого решения, а в силу линейности и системы (3.4).
3.4. Второй метод Ляпунова (метод функций Ляпунова)
Вновь возвращаемся к исследованию устойчивости нулевого
решения общей системы ОДУ (определенного на t |
0 |
, +∞)) |
||
|
|
|
|
|
|
y′ = f (t, y). |
|
|
(3.5) |
Теорема |
3.3. Пусть в некоторой |
окрестности точки O |
||
(0,..., 0) Rn |
определена дифференцируемая функция v ( y ) , удов- |
|||
y |
|
|
|
|
летворяющая условиям: |
|
|
|
|
1) v (y ) ≥ 0 , причем v (y) = 0 y = 0 |
(т.е. v ( y ) имеет в точке |
|||
O (0,..., 0) строгий минимум); |
|
|
|
20