Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010
.pdf§ 13. Метод последовательных приближений решения интегральных уравнений Вольтерра
и Фредгольма второго рода
Для заданного параметра μ C и функции |
f C (G |
) рассмот- |
||
рим интегральные уравнения |
|
|
||
|
|
ˆ |
(13.1) |
|
|
|
y (t ) = μ(ky)(t )+ f (t ) , |
||
|
|
ˆ |
(13.2) |
|
|
|
y (t )= μ(Ky)(t )+ f (t ) , |
||
|
|
ˆ |
(13.3) |
|
|
|
y (t ) = μ(Kαy)(t )+ f (t ), |
||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
где операторы k , |
K |
и Kα были введены ранее. Уравнение (13.1), |
(13.2), (13.3) называются, соответственно, интегральными уравнениями Вольтерра, Фредгольма и уравнением Фредгольма с полярным ядром второго рода.
13.1. Теорема существования и единственности (ТСЕ) решения интегрального уравнения Вольтера
Теорема 13.1. f C [a,b], μ C уравнение (13.1) имеет и притом единственное решение y C [a, b].
Доказательство. 1. Применим метод последовательных приближений. Пусть:
M = |
|
f |
|
|
C[a,b] = sup |
|
f (t) |
|
, L = |
|
|
|
k |
|
|
|
C([a,b]×[a,b]) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
t [a,b] |
|
|
||||||||||
Положим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 (t )= f (t ) , |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||||
y1 (t ) = f (t )+μ∫k (t, τ) y0 (τ)dτ, |
|
|
|||||||||||||||
. . |
|
. |
, |
a |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t
yn (t ) = f (t )+μ∫k (t, τ) yn−1 (τ)dτ.
a
81
Тогда по индукции, используя теорему о непрерывности интеграла по параметру, получаем: n yn C [a,b].
Далее:
t
y1 (t )− y0 (t ) = μ ∫k (t, τ) f (τ)dτ ≤ LM μ (t − a);
a
t
y2 (t)− y1 (t) = μ ∫k (t, τ)(y1 (τ)− y0 (τ))dτ ≤
a
t
≤ ML2 μ 2 ∫(τ− a)d τ = ML2 μ 2 (t − a)2 ; 2!
a
и т.д. Для n-й разности получаем:
t
yn (t )− yn−1 (t ) = μ ∫k (t, τ)(yn−1 (τ)− yn−2 (τ))dτ ≤
a
|
|
n |
1 |
t |
|
|
|
n (t − a)n |
n |
|
∫(τ− a) |
n−1 |
n |
|
|||
|
|
|||||||
≤ ML |
μ |
|
|
|
dτ = ML |
μ |
n! . |
|
|
(n −1)! |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
∞
Теперь рассмотрим ряд: y (t ) = y0 (t )+ ∑ (yk (t )− yk−1 (t )).
k =1
Это ряд из непрерывных функций, который, в силу полученных оценок, по теории Вейерштрасса сходится равномерно на [a, b] при
μ C . Но тогда его сумма |
y (t ) C [a, b]. Покажем, что y (t ) |
|
удовлетворяет уравнению (13.1). Так как |
||
n |
→ |
|
yn (t ) = y0 (t )+ ∑ (yk |
||
(t )− yk−1 (t )) → y (t ), |
||
k =1 |
[a, b] |
|
|
то, по теореме о переходе к пределу под знаком собственного интеграла, получаем:
y (t) = lim y |
|
|
t |
k (t, τ) y |
|
|
= |
n |
(t) = lim f (t)+μ |
∫ |
n−1 |
(τ)dτ |
|||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
82
t
= f (t)+μ∫k (t, τ) y (τ)d τ,
a
т.е. найденная функция есть решение уравнения (13.1).
2. Докажем единственность этого решения. Если y1(t) и
y2(t) C [a,b] два решения (13.1), то z (t ) = y1 (t ) − y2 (t ) C [a,b] и
удовлетворяют уравнению:
|
|
t |
|
|
z (t ) =μ∫k (t, τ)z (τ)dτ . |
||
|
|
a |
|
|
t |
τ |
|
Но тогда n z (t) = μ∫k (t, τ1)d τ1 ∫1 k (τ1, τ2)z (τ2)d τ1= ... = |
|||
|
a |
a |
|
t |
τ |
τ |
n∫−1 k (τn−1, τn)z (τn)dτn. |
= μn ∫k (t, τ1)dτ1 ∫1 k (τ1, τ2)dτ2... |
|||
a |
a |
|
a |
Отсюда получаем оценку для модуля функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
τ |
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z (t) |
|
|
|
≤ |
|
μ |
|
n Ln |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C[a,b] ∫dτ1∫1 dτ2... n∫−1 dτn = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
μ |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t − a)n |
≤ |
|
|
μ |
|
|
|
n |
n (b |
− a)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
z |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
L |
n! |
|
|
|
z |
|
|
|
C . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, справедливо неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n : |
|
|
z |
|
|
|
|
= sup |
|
|
|
|
z (t ) |
|
|
≤ |
|
μ |
|
n Ln (b − a)n |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
t [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C n! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
C = 0 , так как |
( |
|
μ |
|
L (b − a))n |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Это возможно лишь при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
→ 0 при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n →+∞. Следовательно, |
z (t ) ≡ 0 |
на [a, b]. Теорема доказана. |
83
13.2. ТСЕ решения интегрального уравнения Фредгольма
Теорема 13.2. Пусть L = K C(G×G) , μ(G)< +∞ – мера области
G. Тогда |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
μ: |
μ |
< |
|
|
|
уравнение (13.2) имеет и притом |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Lμ(G) |
|
|
единственное решение.
Доказательство. Доказательство проводим методом последовательных приближений. Полагаем: y0 (t ) = f (t ) ,
y1 (t ) = f (t )+μ∫ K (t, τ) y0 (τ)dτ ,
. . |
. , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
yn (t ) = f (t )+μ∫ K (t, τ) yn−1 (τ)dτ. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Имеем n yn C (G |
) и, положив M = |
|
|
f |
|
|
|
C , получаем: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y1 (t )− y0 (t ) |
|
|
|
≤ |
|
μ |
|
MLμ(G); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y |
|
(t )− y |
|
(t ) |
|
≤ M ( |
|
μ |
|
|
|
Lμ(G))2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . |
. , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lμ(G))n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
n |
(t )− y |
n−1 |
(t ) |
|
≤ M ( |
|
μ |
|
, |
|
|
n =1, 2,... . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда в силу условий теоремы, используя теорему Вейерштрасса, получаем, что ряд
∞
y (t ) = y0 (t )+ ∑ (yn (t )− yn−1 (t ))
n=1
сходится на G равномерно. Следовательно, y (t ) C (G) и
y (t ) = lim yn (t ). Используя теорему о переходе к пределу под зна-
n→∞
ком интеграла, получаем, что y (t ) есть решение уравнения (13.2).
Наконец, если y1 (t ) и y2 (t ) – два решения, то z (t ) = y1 (t)− y2 (t ) удовлетворяет уравнению
z (t ) =μ∫ K (t, τ)z (τ)dτ,
G
84
откуда zC ≤ μ Lμ(G) zC . В силу того, что μ Lμ(G)<1 получаем: zC = 0 т.е. решение уравнения (13.2) единственно.
13.3. ТСЕ решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с полярным ядром
Рассмотрим |
теперь |
уравнение |
(13.3) |
|
|
с |
|
|
полярным ядром |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kα (t, τ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
K |
|
|
(t, τ) = |
|
K (t, τ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
α |
|
|
, K (t, τ) C (G |
×G), |
|
|
0 < α < n . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t − τ |
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Обозначим: sup |
|
K (t, τ) |
|
= L , |
diam G = d, |
|
|
S1 |
|
|
|
|
– площадь единич- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t,τ G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ной сферы в Rn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α (t, τ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
sup |
|
|
|
K |
d τ ≤ L sup |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t,τ G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t G |
|
t − τ |
α |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
d τ |
|
|
|
|
d |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
n−α |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ρ |
n |
−α−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
≤ sut Gp |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= L |
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
d |
ρ = L |
|
S1 |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
− τ |
|
α |
|
|
|
|
n −α |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
τ−t |
≤d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Теорема 13.3. |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
d = diam G < +∞ . |
|
|
|
|
Положим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
d |
n−α |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), |
|
(μ: |
|
|
μ |
|
< r0 ) существует |
||||||||||||||||||||||||||
r0 = L |
S1 |
|
|
|
. Тогда f C (G |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n −α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
и единственное решение уравнения (13.3) |
y C (G |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Вновь проводим доказательство методом последовательных приближений, положив:
y0 (t ) = f (t ) ,
85
yn (t ) = f (t )+μ∫ Kα (t, τ) yn−1 (τ)dτ .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C (θ)→ C (G ). Далее имеем: |
||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда n yn C (G), так как Kα : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y0 (t ) |
|
≤ M = |
|
|
|
f |
|
|
|
C(G) ; |
|
|
dτ ≤ M ( |
|
|
|
|
r0−1 ); |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y1 (t )− y0 (t ) |
|
≤ M |
|
μ |
|
∫ |
|
|
Kα (t, τ) |
|
|
μ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
. . . ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ M ( |
|
|
|
|
r0−1 )n , n =1, 2, 3... . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
yn (t )− yn−1 (t ) |
|
|
μ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как |
|
μ |
|
r−1 <1 , то по теореме Вейерштрасса ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(t )− yk−1 (t )) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t ) = y0 (t )+ ∑ (yk |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходится равномерно на G |
. Но тогда y = lim y |
n |
(t ) C (G). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Далее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
yn (t ) = μ∫ Kα (t, τ) y (τ)dτ+μ∫ Kα (t, τ)(yn−1 (τ)− y (τ))dτ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и так как при n →+∞: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ ∫ Kα (t, τ)(yn−1 (τ)− y (τ))dτ ≤ μ yn−1 − yC r0−1 → 0 ,
G
то при n →+∞ получаем, что y (t ) – решение уравнения (13.3). Единственность доказывается так же, как в теореме 13.2.
13.4. Принцип сжимающих отображений
Выкладки разд. 13.1–13.3 носят общий характер. Пусть X – нор-
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мированное пространство, а A : X → X некоторый (не обязательно |
|||||||||
линейный) оператор. |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
||
Определение 13.1. Оператор |
X → X называется сжатием |
||||||||
A : |
|||||||||
(сжимающим оператором), если |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
0 ≤ α <1: x, y X |
|
≤ α |
|
x − y |
|
. |
|||
|
|
|
|||||||
|
Ax − Ay |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
<1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Упражнение. Если A :X |
→ X линейный, то A сжатие |
A |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 13.4 (принцип сжимающих отображений). Если X – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
: X → X – сжатие, то урав- |
|||||||||||||||||
банахово пространство, и оператор A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нение |
|
|
|
ˆ |
|
имеет в X единственное решение, |
которое может |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x = Ax |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
быть найдено методом последовательных приближений: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
x0 X – произвольно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xn = Axn−1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Доказательство. Пусть x0 X – произвольно. Положим xn = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
ˆ n |
x0 |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= Axn−1 |
= A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n ≥ m |
|
xn − xm |
|
= |
|
|
|
ˆ n |
|
ˆ m |
x0 |
|
|
|
≤ α |
|
|
|
ˆ n−1 |
|
ˆ m−1 |
x0 |
|
|
|
|
≤ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
x0 − A |
|
|
|
|
|
|
A |
x0 − A |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
≤... ≤ α |
m |
|
ˆ n−m |
x0 − x0 |
|
= α |
m |
|
|
xn−m |
− xn−m−1 + xn−m−1 |
−... + x1 − x0 |
|
≤ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤αm ( xn−m − xn−m−1 +... + x1 − x0 )≤
≤αm (αn−m−1 x1 − x0 +αn−m−2 x1 − x0 +... + x1 − x0 )≤
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
αm |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
≤ α |
|
|
x |
− x |
|
|
|
|
1+α +α |
|
+... |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
|
|
− x |
|
|
|
|
|
→ 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
1−α |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Следовательно, |
{x |
n |
}∞ |
|
|
|
|
|
– фундаментальная |
в |
X последователь- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
||||||
ность. Так как X – полное, то x = lim xn X . |
|
Далее, так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
сжатие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ α |
|
|
xn − x |
|
|
→ 0 |
, т.е. и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Axn |
− Ax |
|
|
|
|
|
|
Axn → Ax в X. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = lim |
x |
|
= lim |
ˆ |
|
|
|
|
|
= |
|
ˆ |
n→∞ |
|
|
– |
решение |
|
|
уравнения |
|
|
|
ˆ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
Ax |
n−1 |
|
Ax , т.е. x |
|
|
|
|
x = Ax . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Единственность очевидна, так как если x1 |
|
и |
x2 – решения этого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x1 − x2 |
|
|
|
|
Ax1 − Ax2 |
|
|
≤ α |
|
x1 − x2 |
|
|
|
|
|
x1 − x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Упражнение. Взяв |
|
X = C (G), а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, доказать тео- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
= K (или |
Kα) |
ремы 13.2 и 13.3.
87
§14. Спектр и резольвента линейного оператора
внормированной пространстве
14.1. Общие определения
Определение 14.1. Пусть X – нормированное пространство, |
ˆ |
– |
||
A |
||||
ˆ |
ˆ |
с об- |
||
оператор в X с областью определения D( A ). Оператор |
B |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ластью определения D( B ), действующий в X, называется обрат- |
||||||
|
ˆ |
|
|
ˆ |
ˆ −1 |
), если |
ным к A (обозначается B |
= A |
|||||
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
ABx = x, |
x D (B), |
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
BAx = x, |
x D (A). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение. Доказать свойства: |
||||||
1) |
ˆ −1 |
) |
−1 |
ˆ |
|
|
(A |
|
= A ; |
|
|
||
2) |
ˆ −1 |
|
|
ˆ |
|
|
A |
линейный A – линейный. |
Определение 14.2.
1. Множество всех точек μ C , для которых существует и ог-
ˆ |
ˆ |
−1 |
, называется резольвентным множе- |
раничен оператор (I |
−μA) |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ством оператора A , а его точки – регулярными точками оператора |
||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
A . |
|
|
|
|
|
|
2. Все остальные точки μ C называются точками характери- |
||||||
стического спектра. |
−1 |
|
|
|
||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
называется резольвентой опе- |
|||
3. Оператор (I |
−μA) |
|
= Rμ (A) |
|||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ратора A . |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
Пример 14.1. Если X = C [a,b], |
||||||
A = k – интегральный оператор |
Вольтерра, то вся плоскость С состоит из регулярных точек, т.е. совпадает с резольвентным множеством.
88
Теорема 14.1. Пусть |
|
ˆ |
|
|
|
|
→ X – линейный ограниченный опе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A : X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ратор. Тогда (μ C : |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
−1 |
) |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
μ |
|
< |
A |
|
|
|
|
|
Rμ (A) |
и |
Rμ (A) |
представ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
∞ |
|
k ˆ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
μ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ляется рядом Неймана Rμ |
(A)= I + |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
n |
|
μ |
k |
ˆ k |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Доказательство. Рассмотрим операторRn |
= I + ∑ |
|
|
A |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ n+1 |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
K =1 |
|
|
|
ˆ n+1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
−μ |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−μ |
n+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда Rn (I −μA)= I |
|
|
|
A |
|
|
, |
(I |
−μA)Rn |
= I |
|
|
|
|
A . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 ˆ n+1 |
|
|
|||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
μ |
|
≤ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
(Rn |
(I −μA)− I ) |
|
|
|
(I |
−μA)Rn |
− I |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n+1 |
|
A |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
≤ |
|
μ |
|
|
|
|
|
→ 0 |
, |
|
так как |
|
μ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
<1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно: ˆμ ( ˆ )=
A
R
|
ˆ |
ˆ |
∞ |
k ˆ k |
|
|
lim |
+ ∑μ |
. |
||||
Rn |
= I |
A |
||||
n→∞ |
|
|
K =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14.2. Интегральные операторы
Вновь рассмотрим операторы |
ˆ |
ˆ |
и |
ˆ |
в пространстве не- |
|||||||||||
k , |
K |
Kα |
||||||||||||||
прерывных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Операторk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначим |
k (t, τ) = k1 (t, τ) , |
положим |
|
L = |
sup |
|
k (t, τ) |
|
. Тогда |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t,τ [a,b] |
|||||
y С[a, b] будет выполняться: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( |
|
ˆ2 |
|
) |
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
∫ 1 |
∫ |
|
|
|
|
||||||||
|
k |
y |
|
(t ) = k (t, s) k (s, τ) y (τ)dτ ds = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
||||
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
= ∫ y (τ)dτ∫k1 (t, s)k1 (s, τ)d = ∫k2 (t, τ) y (τ)dτ, |
||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
89
t
где k2 (t, τ) = ∫k1 (t, s)k1 (s, τ)ds – свертка ядра k1 (t, τ) с собой.
τ
При этом |
|
k2 (t, τ) |
|
≤ L2 (t − τ). |
|
||||
|
|
|
|||||||
Далее: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
||
ˆ3 |
|
|
|
ˆ |
|
ˆ2 |
|
||
y)(t ) |
|
y)(t ) = ∫k1 |
( |
||||||
(k |
= (k |
k |
a
t
= ∫k3 (t,
s |
k |
|
|
= |
t, s) |
2 |
(s, τ) y (τ)d τ |
||
∫ |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
τ) y (τ)d τ,
a
t
где k3 (t, τ) = ∫k1 (t, s)k2 (s, t )ds – свертка ядра k1 (t, τ) с ядром
τ
k2 (t, τ). При этом аналогично предыдущему
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
(t − τ)2 |
|
|
|
|
|
|
k3 (t, τ) |
|
≤ L3∫ |
(s − τ)ds = L3 |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Повторяя этот процесс, получаем, |
|
|
|
|
ˆn |
отвечает ядро |
||||||||||
что оператору k |
||||||||||||||||
kn (t, τ), где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kn (t, τ) = ∫k1 (t, s)kn−1 (s, τ)ds , |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kn (t, τ) |
|
n |
(t −τ)n−1 |
, |
|
(t, τ [a, b] (−∞, +∞) : (τ < t )) . |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
≤ L |
(n −1)! |
|
|||||||||||||
Но тогда |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
n−1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
μ |
|
(τ)dτ = |
||||||
|
(Rμy)(t ) = y (t )+μ |
∫a |
kn (t, τ) y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
t
= y (t )+μ∫Γμ (t, τ) y (τ)dτ.
a
90