Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

Поставим следующую задачу: найти поверхность z = f (x1, x2 ),

удовлетворяющую уравнению (7.4) и проходящую через заданную линию L. Эту задачу называют задачей Коши для уравнения (7.4).

Замечание. Если z = f (x1, x2 ) – решение (7.4), проходящее через L, то по теореме 7.1 поверхность S : z = f (x1, x2 ) целиком со-

стоит из характеристик уравнения (7.4). Поэтому требуется через каждую точку M L провести характеристику уравнения (7.4) и рассмотреть поверхность, образованную этими характеристиками.

Отметим, что если L является характеристикой, то такое построение возможно не всегда, а может оказаться не единственным.

Теорема 7.3. Рассмотрим уравнение (7.4) и указанную кривую

L. Пусть M0 (x10, x20, z0 ) L , где x10 = ψ1 (t0 ), x20 = ψ2 (t0 ),

z0 = ψ3 (t0 ), t0 (α, β), и пусть

ψ1 (t0 )		a1 (ψ1 (t0 ), ψ2 (t0 ), ψ3 (t0 ))
′	(t0 )	a2 (ψ1 (t0 ), ψ2 (t0 ), ψ3 (t0 ))	≠ 0 .	(7.5)
′
ψ2

Тогда в некоторой окрестности точки M0 существует единствен-

ное решение уравнения (7.4), проходящее через заданную кривую

L.

Доказательство. Запишем уравнение характеристик

		dx1	=			dx2	=	dz	= ds .	(7.6)
	a	(x, z)		a	2	(x, z)		b(x, z)
1
Пусть M = M (t) = M (ψ1 (t),						ψ2 (t ),		ψ3 (t )) L –		точка линии L,

отвечающая значению параметра t. Проведем через M решение системы (7.6), т.е. системы

	dx1	= a (x, z),		dx2	= a		(x, z) ,	dz	= b(x, z)
	ds			ds				ds
		1				2
с начальными условиями:								z (0,t )=ψ3 (t ).
x1 (0,t)= ψ1 (t) ,			x2 (0,t )=ψ2 (t ) ,

Такое решение при каждом t (α,β) существует, единственно и выходит на границу области G:

x1 = x1 (s,t ), x2 = x2 (s,t ), z = z (s, t).

51

Рассмотрим поверхность:

S ={(x1, x2, z) G : x1 = x1 (s,t), x2 = x2 (s,t), z = z (s,t)}.

Тогда:

а) L S и, соответственно, s = 0 ;

б) функции x1 = (s,t ), x2 =(s,t) , z (s, t ) непрерывно дифференцируемы по s (в силу системы (7.6)) и по t (в силу непрерывной дифференцируемости по начальным данным). В силу условия (7.5)

в некоторой окрестности точки t0

на L

∂x1

∂x1

a1 (ψ1 (t),ψ2 (t),ψ3 (t))

ψ1 (t)

∂s

∂t

0 ≠

′

=

.

a2 (ψ1 (t), ψ2 (t), ψ3 (t))

′

(t )

∂x

∂x

ψ2

2

2

∂s

∂t

L

Тогда по теореме о неявной функции система алгебраических уравнений

x1 = x1 (s,t );x2 = x2 (s, t )

в некоторой окрестности точки M0 (ψ1 (t0 ), ϕ2 (t0 ), ψ3 (t0 )) имеет единственное решение s = s (x1, x2 ), t =t (x1, x2 ). Это решение непрерывно дифференцируемо. Но тогда в некоторой окрестности точки M0 уравнение поверхности S имеет вид

S: z = z (S (x1, x2 ), t (x1, x2 )) = f (x1, x2 ) .

По построению

S

состоит из характеристик. Следовательно,

z = f (x1, x2 )

– решение поставленной задачи Коши.

Пример 7.2. Решить задачу Коши

x

∂z

+ y ∂z = z − x2 − y2,

∂x

∂y

L : y = −2;

z = x − x2.

dx

dy

dz

y / x

=C ;

1

Решение.

=

=

x

y

z − x2 − y2

+

2

+

2

=

(z

x

y

) / x

C .

2

52

Имеем

на

L:

x =t ,

y =−2 ,

z =t −t2. Тогда

C

= −

2

;

1

t

t −t2 +t2 + 4

= C

C

=1− 2C .

z + x2

+ y2

2

2

Таким образом,

=

t

1

x

=1−2

y

z

= x −2y − x2 − y2.

x

Ответ: z = x −2y − x2 − y2.

§ 8. Краевые задачи для ОДУ и функция Грина

8.1. Постановка задачи и функция Грина

Постановка задачи. На функциях y C2[a;b] рассматриваем дифференциальное выражение:

	d		dy
l( y) ≡ −		p(x)			+ q(x) y , где	p(x) > 0 на [a;b] ,
	dx		dx

p(x) C1[a;b]; q(x) ≥ 0 на [a;b] , q(x) C[a;b].

Для дифференциального выражения l( y) рассматриваем краевую

задачу: требуется найти y C2 (a;b) ∩C1[a;b] , удовлетворяющую обыкновенному дифференциальному уравнению:

			l( y) = λy(x) + f (x) , x (a;b)	(8.1)
и краевым условиям:
	α1 y(a) +β1 y '(a) = 0, α2 y(b) +β2 y '(b) = 0,			(8.2)
где f (x) C[a;b] заданная функция, λ (илиλ				) − пара-
метр, а α	,β :	α 2	+β 2 > 0, i =1, 2 – заданные числа.
i	i	i	i

Замечание.

1.Если β1 =β2 = 0 α1 и α2 ≠ 0 , то получаем первую краевую задачу; если α1 = α2 = 0 , то получаем вторую краевую задачу.

2.Наряду с задачей (8.1)–(8.2) рассматриваем также однород-

ную задачу (8.1´)−(8.2), т.е.

l( y) = 0 ,	(8.1´)
где (8.1´) определяется условиями λ = 0, f	≡ 0 .

53

Определение 8.1. Функцией Грина G(x,ξ) задачи (8.1)−(8.2) называется заданная на Q =[a;b]×[a;b] функция, удовлетворяющая условиям:

1)G(x,ξ) C(Q) – непрерывная на Q функция;

2)ξ (a;b) на [a,ξ) и на (ξ;b] функция G(x,ξ) имеет непре-

рывные производные первого порядка по переменной x и при этом выполняется условие «скачка» первой производной:

Gx' (x, x −0) −Gx' (x, x + 0) = −1 / p(x) ;

3) на [a,ξ) и (ξ;b] G(x,ξ) удовлетворяет по х уравнению

(8.1´);

4) по x функция G(x,ξ) удовлетворяет краевым условиям (8.2).

Теорема 8.1 (о существовании функции Грина). Если задача

(8.1´)–(8.2) имеет только нулевое решение, то существует функция Грина G(x,ξ) задачи (8.1)–(8.2).

Доказательство. Пусть {y (x)}2				– фундаментальная система
		i	i=1
решений (ФСР) уравнения (8.1´).
a	(ξ) y	(x) + a	(ξ) y (x), a ≤ x ≤ξ;
Тогда G(x,ξ) = 1	1	2		2
b1(ξ) y1(x) +b2 (ξ) y2 (x), ξ< x ≤ b.
Из условия непрерывности G(x,ξ)				при x = ξ получаем:

[a1 (x) y1 (x) + a2 (x) y2 (x)] −[b1 (x) y1 (x) +b2 (x) y2 (x)] = 0,

а из условия «скачка»:

−[b1 (x) y '1 (x) +b2 (x) y '2 (x)] +[a1 (x) y '1 (x) + a2 (x) y '2 (x)] =1/ p(x),

т.е. получаем систему уравнений:
(a −b ) y (x) +(a −b ) y								(x) = 0;	(8.3)
	1	1	1	2	2		2
(a1 −b1) y '1(x) +(a2 −b2 ) y '2 (x) =1/ p(x).
Главный определитель				этой системы является определителем
Вронского:	=W[ y1(x), y2 (x)] ≠ 0					x [a;b] , поэтому разности

(ai −bi ), i =1, 2 , однозначно вычисляется по формулам Крамера:

	a1	(x) −b1	(x) =	−y2	(x)	,	a2 (x) −b2 (x) =	y1	(x)	.
				p(x)W (x)				p(x)W (x)

54

Теперь воспользуемся краевыми условиями:
α (a (ξ) y (a) +a (ξ) y							(a)) +β (a (ξ) y' (a) +a (ξ) y' (a) = 0;							.
	1	1	1	2		2		1		1	1	2	2
α2 (b1(ξ) y1(b) +b2 (ξ) y2 (b)) +β2 (b1(ξ) y '1(b) +b2 (ξ) y '2 (b)) = 0.
Перепишем эту систему в виде:
	a1 (ξ)(α1 y1 (a) +β1 y '1 (a)) + a2 (ξ)(α1 y2 (a) +β1 y '2 (a)) = 0;
	a1	(ξ)(α2 y1 (b) +β2 y '1 (b)) + a2 (ξ)(α2 y2 (b) +β2 y '2											(b)) =	(8.4)
	=	(a1 (ξ) −b1 (ξ))(α2 y1 (b) +β2 y1 (b)) +
	+(a		(ξ) −b	(ξ))(α	2	y '		(b) +β	2	y ' (b))
		2	2				2			2

и рассмотрим главный определитель этой системы:

	α y	(a) +β y' (a)	α y	(a) +β y ' (a)
= det	1 1	1 1	1 2	1 2	.
	α2 y1(b) +β2 y '1(b)		α2 y2 (b) +β2 y '2 (b)

Если = 0 ,

то столбцы определителя пропорциональны, и,

следо-

вательно,

существуют постоянные

C ,C

2

( C2 +C2 ≠ 0 ),

такие,

что:

1

1

2

α (C y (a) +C y

(a)) +β (C y ' (a) +C

2

y ' (a)) = 0;

.

1

1

1

2

2

1

1

1

2

α2 (C1 y1(b) +C2 y2 (b)) +β2 (C1 y '1(b) +C2 y '2 (b)) = 0.

Рассмотрим

y(x) = C1 y1 (x) +C2 y2 (x) . Тогда

y( x)

− решение од-

нородной задачи (8.1´)–(8.2). По условию получаем

y( x) ≡ 0 ; это

противоречит тому,

что

{y (x)}2

–

ФСР для уравнения (8.1´).

i

i=1

Противоречие показывает, что столбцы не пропорциональны и ≠ 0 . Но тогда из (8.4) однозначно находим ai (ξ) , i =1, 2 , и по

известным разностям (ai −bi ), i =1, 2 , находим все компоненты ai (ξ), bi (ξ) , i =1, 2 , а с ними находим однозначно функцию Грина.

Тем самым теорема доказана.

Замечание. Указанное определение и построение функции G(x,ξ) сохраняются и для более общих операторов и краевых ус-

ловий.

Теорема 8.2 (Гильберта). Если задача (8.1´)–(8.2) имеет только нулевое решение, то задача (8.1)–(8.2) при λ = 0 однозначно разрешима для f ( x) C[a;b] и это решение задается формулой

55

y(x) = ∫b G(x,ξ) f (ξ)dξ,

(8.5)

a

Если же λ ≠ 0 , то задача (8.1)–(8.2) эквивалентна интегральному уравнению:

y(x) = λ∫b G(x,ξ) f (ξ)dξ+ F(x) ,	(8.6)
a

где F(x) = ∫b G(x,ξ) f (ξ)dξ .

a

Доказательство. 1. Пустьλ = 0 . Рассмотрим y( x) , определяе-

мую равенством (8.5), и покажем, что это – решение задачи (8.1)– (8.2).

Отметим сразу, что так как G(x,ξ) C(Q) , а Gx′(x,ξ) непрерывна на [a,ξ) и на (ξ;b] , то, следовательно, по теореме о непрерыв-

ности интеграла по параметру получаем, что y( x) удовлетворяет краевым условиям (8.2). Далее x (a;b) справедливы равенства y(x) = ∫x G(x,ξ) f (ξ)dξ+ ∫b G(x,ξ) f (ξ)dξ;

a x

y '(x) = ∫x Gx′(x,ξ) f (ξ)dξ+ ∫b Gx′(x,ξ) f (ξ)dξ+

a x

+(G(x, x − 0) −G(x, x + 0)) f (x) =

=∫x Gx′(x,ξ) f (ξ)dξ+ ∫b Gx′(x,ξ) f (ξ)dξ ;

a		x
x		b
′′		′′	(x,ξ) f (ξ)dξ+
y ''(x) = ∫Gxx	(x,ξ) f (ξ)dξ+ ∫Gxx
a		x
+(Gx′(x, x −0) −Gx′(x, x +0)) f (x).
Умножая y ''( x) на (−p( x)) ,		y '(x) на (−p '(x)) , y( x) на q(x) и

пользуясь условием скачка, получаем:

l( y) = ∫b lx (G(x,ξ)) f (ξ)dξ+ f (x) , а так как lx (G(x,ξ)) = 0, (x ≠ ξ) ,

a

то l( y) = f (x) на [a +ε;b −ε] (a;b).

56

2. Теперь, переобозначив λy(x) + f (x) ↔ f (x) и применив дока-

занное в п. 1, получаем уравнение (8.6). Обратно проделывая выкладки с равенством (8.6), получаем, что (8.6) эквивалентно задаче

(8.1)–(8.2).

Упражнение. Построив функцию Грина, записать решение задачи:

y ''(x) = f (x);

y(0) = 0, y(0) + y '(1) = 0.

8.2. Задача Штурма–Лиувилля

Рассмотрим задачу (8.1)−(8.2) с f (x) ≡ 0 на [a;b], т.е. задачу:

l( y) = −( p(x) y '(x))'+ q(x) y(x) = λy(x);		(8.1'')
	α2 y(b) +β2 y '(b) = 0.	(8.2)
α1 y(a) +β1 y '(a) = 0,

Определение 8.2. Задача: найти все такие λ C , при которых задача (8.1")−(8.2) имеет нетривиальные решения, называется зада-

чей Штурма–Лиувилля.

Теорема 8.3 (об эквивалентности). Если задача (8.1´)–(8.2)

имеет только нулевое решение, то задача Штурма–Лиувилля (8.1´´)–(8.2) эквивалентна интегральному уравнению с непрерывным ядром G(x,ξ) :

y(x) = ∫b G(x,ξ) y(ξ)dξ ,

(8.5)

a

где G(x,ξ) - функция Грина задачи (8.1)–(8.2).

Доказательство. Доказательство буквально уже получено в теореме Гильберта.

Теорема 8.4 (о симметричности функции Грина). Для задачи

(8.1)−(8.2) G(x,ξ) = G(ξ, x) .

Доказательство. G(x,ξ) − ядро обратного оператора к операто-

ру задачи (8.1)−(8.2). Поэтому достаточно проверить, что оператор задачи (8.1)−(8.2) является симметричным. Для любых функций y( x) и z(x) , таких, что y(x), z(x) C2 (a;b) ∩C1[a;b] и удовлетво-

ряющим условиям (8.2), выполняется:

57

∫b [−( p(x) y '(x))'+ q(x) y(x)]z(x)dx =

a

		b−ε	b−ε
=	ε→lim0+	∫ [−( p(x) y '(x))' z(x)dx + ∫		q(x) y(x)z(x)dx	=
		a+ε	a+ε

		= −p(x)[ y '(x)z(x) − z '(x) y(x)]				b	+
		b−ε				a
	+	ε→lim0+ ∫ y(x)[−( p(x)z '(x))'+ q(x)z(x)dx .
		a+ε
Проверим,	что	y '(b)z(b) − z '(b) y(b) = 0		(и, аналогично, при x = a ).
Это следует из краевых условий:
		α2 y(b) +β2 y '(b) = 0;
				= 0
		α2 z(b) +β2 z '(b)
при α22 +β22	≠ 0 , следовательно, определитель системы равен нулю:
		y(b)	y '(b)	= 0 ,
		det
		z(b)	z '(b)

что и требуется.

Таким образом, оператор задачи (8.1)–(8.2) симметричен, а так как (L−1)* = (L* )−1 , то и обратный оператор симметричен, а тогда и

его ядро также симметричная функция.

Теорема 8.5 (о собственных значения и собственных функци-

ях задачи Штурма–Лиувилля). 1. Множество собственных значений задачи (8.1)–(8.2) не пусто, не более, чем счетно, не имеет конечных предельных точек. Собственные числа вещественны. Собственные числа – простые. 2. Собственные функции задачи (8.1)– (8.2) ортогональны.

Доказательство. Все свойства, кроме простоты, собственных чисел следуют из общих свойств интегрального оператора с непрерывным симметричным ядром. Докажем простоту собственных

чисел. Если λ − собственное число и y1 (x), y2 (x) − две, отвечающие этому λ , собственные функции, то

			'		(a) = 0;
α y (a) +β y							при	α12 +β12 ≠ 0.
	1 1	1	1			(a) = 0
α y		(a) +β y		'
	1 2	1	2

58

Отсюда определитель Вронского W[ y1 (a), y2 (a)] = 0 , следовательно, y1 (x), y2 (x) − зависимые функции на [a;b] , т.е. λ − простое собственное число.

Теорема 8.6 (Стеклова). Пусть F(x) C2 (a;b) ∩C1[a;b] и удов-

летворяет условиям (8.2). Тогда F(x) раскладывается в равномерно и абсолютно сходящийся на [a;b] ряд по собственным функциям задачи (8.1)–(8.2).

Доказательство. Пусть {yk (x)}∞k=1 – максимальная ортонормированная система (ОНС) собственных функций задачи (8.1)–(8.2), отвечающих собственным значениям {λk }∞k=1 , и F(x) удовлетворяет условиям теоремы. Тогда F(x) является решением задачи (8.1)– (8.2) с f (x) = l(F), l(x) C[a;b] . Из теоремы Гильберта следует:

F(x) = ∫b G(x,ξ) f (ξ)dξ ,

a

т.е. F(x) – истокообразно представима через непрерывное, симметричное ядро G(x,ξ) . Но тогда по теореме Гильберта ряд

	∞
	F(x) = ∑(F, yk )yk (x)
	k=1
сходится равномерно и абсолютно на [a;b] .
Теорема 8.7. Рассмотрим условие (8.2) вида:
α y(a) −β y '(a) = 0;		αi ,βi ≥ 0,	αi2	+βi2	> 0 .	(8.2*)
1	1
α1 y(b) +β1 y '(b) = 0,

Тогда задача (8.1´)–(8.2*) имеет только тривиальное решение, за исключением случая q(x) ≡ 0; α1 = α2 = 0.

Доказательство. Если y(x) C2 (a;b) ∩C1[a;b] − решение зада-

чи (8.1´)–(8.2*), то

		b−ε
0 =	ε→lim0+	∫	[−( p(x) y '(x))'+ q(x) y(x)]y(x)dx	=
		a+ε

b

= ∫[( p(x)( y '(x)2 ) + q(x) y2 (x)]dx − p(x) y '(x) y(x) ba .

a

Из (8.2*) следует, что p(a) y(a) y '(a) − p(b) y(b) y '(b) ≥ 0 . Следовательно, y(x) ≡ 0 x [a;b] . Теорема доказана.

59

II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§ 9. Линейные нормированные пространства

9.1. Основные определения

Определение 9.1. Пусть X – некоторое линейное пространство над полем K (здесь, как правило, K = R ; иногда K = C ) и пустьf X поставлено в соответствие действительное число f , удовлетворяющее свойствам:

1)f X f ≥ 0 , причем f = 0 f = θ в X;

2)α K α f = α f ;

3)f , g X f + g ≤ f + g (неравенство треугольника). Тогда это число f называется нормой элемента f в X, а про-

странство X с этой нормой – нормированным пространством; обо-

значение (X , ).

Примеры.

9.1. X = {множество

функций,

непрерывных

на

[a, b]},

f X

f

= max

f (x)

. Тогда (X ,

) = C[a; b] –

нормиро-

x [a,b]

ванное пространство.

9.2. Ck [a, b]={ f : 0 ≤ n ≤ k f (n) (x) C [a, b];

f

C

k

[a,b]

= max

f (k )

Ck [a,b] }

.

9.3. Cn (G), где

1≤n≤k

G –

некоторое подмножество

(открытое) в

Rm, – это пространство функций, имеющих на G непрерывные

производные Dα f с

α

≤ n и

f

C n[G] = max

sup

Dα f (x)

.

0<

α

≤n

x G

Определение 9.2. Последовательность {f

n

}∞

(X,

) назы-

n=1

вается: 1) фундаментальной в X, если ε > 0 N (ε):

n, m > N (ε) fn − fm < ε;

60