Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010
.pdf2. Обратное преобразование Фурье задается формулой
(F −1ϕˆ )(x) ≡ ϕˆ = (2π)− |
n |
|
||||||
2 |
∫ ϕˆ (ξ)ei( x,ξ) dξ. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
3. Для любых ϕ,ψ S(Rn ) |
выполнено |
|
||||||
Fϕ,ψ = (2π) |
− |
n |
|
|
|
|
|
ψ(ξ)dξ = |
2 |
∫ |
|
ϕ(x)e−i( x,ξ) dx |
|||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn Rn |
|
|
|
|
= (2π) |
− |
n |
|
|
|
|
2 |
∫ |
ϕ(x) |
∫ |
e−i( x,ξ)ψ(ξ)dξ dx = ϕ, Fψ . |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Rn |
Rn |
|
4. Преобразование Фурье свертки. Напомним, что для любых ϕ,ψ S(Rn ) свертка определяется равенством
(ϕ*ψ)(x) = ∫ ϕ( y)ψ(x − y)dy.
Rn
Тогда
(ϕ*ψ)(ξ) = (2π)n/2 ϕˆ (ξ)ψˆ (ξ).
Пространство S '(Rn ) обобщенных функций медленного роста Определение 21.10. Обозначим через S '(Rn ) множество всех линейных, непрерывных на S(Rn ) функционалов со сходимостью, определенной следующим образом: последовательность { fm} сходится к f , если для любой ϕ S(Rn ) имеет место сходимость
( fm ,ϕ) → ( f ,ϕ).
m→∞
Очевидно, что S '(Rn ) – линейное подпространство в D'. Это
пространство называется пространством обобщенных функций медленного роста.
Отметим следующие свойства.
1. Для любого l N будут справедливы включения
D S(Rn ) W2l (Rn ) L2 (Rn ) W2−l (Rn ) S '(Rn ) D '.
151
2. Лемма 21.1 (Шварца). Для того, чтобы f S '(Rn ) , необходимо и достаточно, чтобы существовали C > 0 и целое p ≥ 0 , та-
кие, что для любой ϕ S(Rn ) выполняется неравенство
f ,ϕ ≤ C max sup(1+| x |2 )p/2 Dαϕ(x) .
|α|≤p x Rn
3. Dα : S '(Rn ) → S '(Rn ) – линейный, непрерывный оператор. Доказательство. Так как Dα : D' → D' – линейный, непрерыв-
ный оператор, но нужно только показать, что для любой f S '(Rn ) будет Dα f : S '(Rn ), что очевидно, так как
Dα f ,ϕ = (−1)|α| f , Dαϕ
для любой ϕ S(Rn ).
Преобразование Фурье функций из S '(Rn )
|
Определение 21.11. Функционал F( f ) , |
определяемый равенст- |
||||
вом |
F( f ),ϕ = f , F(ϕ) |
для всех ϕ S(Rn ), |
называется преобра- |
|||
зованием Фурье функций |
f S '(Rn ) . |
|
|
|||
|
Свойства преобразования Фурье. |
|
|
|||
|
1. Для любой f S '(Rn ) будет F ( f ) S '(Rn ) , следовательно, |
|||||
F непрерывна в S ' . |
|
|
|
|||
|
Доказательство. В силу линейности преобразования F полу- |
|||||
чаем, что |
F( f ) – линейный функционал на |
S(Rn ). Далее, если |
||||
fm |
|
→ f |
в S '(Rn ) , то так как для любой |
ϕ S(Rn ) выполняется |
||
|
m→∞ |
|
|
|
|
|
F(ϕ) S(Rn ), получаем: |
|
|
|
|||
|
|
|
F( fm ),ϕ = fm , F(ϕ) → f , F(ϕ) = F( f ),ϕ , |
|||
т.е. |
F( fm ) → F( f ). Наконец, если ϕm → ϕ |
в |
S(Rn ) , то ϕˆ m → ϕˆ , |
|||
|
|
|
|
m→∞ |
|
m→∞ |
в S '(Rn ) , и тогда справедливо:
F( f ),ϕm = f ,ϕˆ m → f ,ϕˆ =F( f ),ϕ, т.е. F( f ) S '(Rn ).
152
2. Обратное преобразование Фурье определяется равенством
F −1[ f ] = F[ f (−x)], где |
f (−x),ϕ = f ,ϕ(−x) . |
||||
Доказательство. Для любой ϕ S(Rn ) выполнено |
|||||
F (ϕ(−x)) = (2π)− |
n |
∫ ϕ(−x)e−i( x,ξ) dx = (2π)− |
n |
∫ ϕ(t)ei(t,ξ) dt = (F −1ϕ)(ξ). |
|
2 |
2 |
||||
|
|
Rn |
|
|
Rn |
Отсюда
F −1[F( f )],ϕ =F (F( f )(−ξ)),ϕ =F( f )(−ξ), F(ϕ) = =F( f ), F(ϕ)(−ξ) =F( f ), F −1ϕ = f ,ϕ,
т.е. F(F( f ))(−ξ) = f . Аналогично, F(F( f (−x))) = f .
Следствие. Оператор F осуществляет гомеоморфизм (взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение) пространства
S '(Rn ) на себя, а также S(Rn ) на себя.
3. Преобразование Фурье и дифференцирование связаны равенствами:
а) DαF( f ) = F[(−ix)α f ],
б) F(Dα f ) = (−iξ)α F( f ).
Упражнение 21.3. Доказать эти равенства.
4. Преобразование Фурье сдвигов и преобразований подобия задаются равенствами:
а) F[ f (x − x ] = ei( x0 ,ξ) F( f ); |
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) (Ff )(ξ + ξ0 ) = F[e |
−i( x0 ,x) |
f ](ξ); |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
в) F[ f (Cx)](ξ) = |
1 |
|
|
F[ f |
|
ξ |
|
≠ C R. |
|
|
|
|
] |
|
|
,0 |
|||
| C |
|
n |
|
||||||
|
| |
|
C |
|
|
Упражнение 21.4. Доказать эти равенства.
Примеры.
21.6. Вычислим преобразование Фурье дельта-функции.
Имеем: Fδ,ϕ =δ, Fϕ = ϕˆ (0) = (2π)−n/2 ∫ ϕ(x)dx.
Rn
Следовательно, F(δ) = (2π)−n/ 2 .
21.7. F[δ(x − x0 ] = ei( x0 ,ξ) F[δ(x)] = (2π)−n/ 2 ei( x0 ,ξ) .
153
21.8. F[1] = F −1[1(−x)] = F −1[1] = (2π)n/2 δ(x).
1 при x ≥ 0;
21.9. Пусть θ(x) =
0 при x < 0.
Тогда
F[θ],ϕ = θ, Fϕ = lim |
1 |
|
|
e−αx |
, Fϕ = lim |
F[e−αxθ],ϕ = |
||||||||||||||||
| C |
|n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
α→0+0 |
|
|
α→0+0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
+∞ |
e |
−(α+iξ) x |
dx = |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
e |
−(α+iξ) x |
|
+∞ |
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
∫ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
α+iξ |
|
2π α + iξ |
||||||||||||||||
|
2π |
0 |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π ξ −iα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Переходя к пределу при α → 0 + 0 |
|
|
в S ' (или в D ' ) по формуле Со- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
ходского, получаем F[θ](ξ) = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πδ(ξ) −iP |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2π ξ+i0 |
|
|
|
|
2π |
ξ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
21.10. Пусть |
|
|
f (x) = e−α2 |x|2 , |
α > 0. Тогда f S(Rn ) |
и |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
F[ f ](ξ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ e−α2 |x|2 −i(ξ,x)dx =∏ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ e−α |
xj |
−iξj x j dxj |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n/2 |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2π) |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
1 |
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= ∏ |
|
|
|
|
∫ e−t |
−iξjt /2dt |
= ∏ |
|
|
|
|
|
|
e−ξj |
/(4α |
) ∫ e−(t +iξj /(2α))dt = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2πα |
|
|
|
2πα |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j=1 |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
−|ξ|2 /(4α2 ) |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−|ξ|2 |
/(4α2 ) |
|
|
|
−z2 |
n |
|||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∏ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
e |
|
|
|
dz = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
e |
|
dz |
= |
||||||||||||||||||||||
( 2πα) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2πα) |
n/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 Im z=ξj /(2α) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im z=0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
−|ξ|2 /(4α2 ) |
(см. рисунок). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
2α)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154
Положив α = a t , a > 0, |
получим |
|
|||
F e−a2t|x|2 |
|
(ξ) = |
|
1 |
e−|ξ|2 /(4αa2t) . |
|
|
|
( |
2ta)n |
|
21.5. Преобразование Фурье и свертка обобщенных функций
Определение 21.12. Пусть g S '(Rn ) и компактK Rn таковы, что для любой функции ϕ S(Rn ) из условия supp ϕ∩ K = следует, чтоg,ϕ=0. Тогда обобщенная функция g S '(Rn ) на-
зывается финитной, а пересечение всех таких компактов – ее носителем.
Определение 21.13. Пусть f, g S '(Rn ) и g – финитная обоб- |
||
щенная функция, а η D и равна единице в окрестности носителя |
||
g . Положим |
f *g,ϕ = f (x)g(x),η( y)φ(x + y) |
для всех |
ϕ S(Rn ) . |
Тогда функционал f * g |
называется сверткой обоб- |
||
щенной функции f S '(Rn ) |
и финитной обобщенной функции g. |
|||
Здесь |
f (x)g(x),ψ(x, y) |
= f (x), |
g( y),ψ(x, y) |
для любой |
ψ S(Rn × Rn ) называется |
прямым |
произведением |
обобщенных |
|
функций f |
и g. |
|
|
|
Свойства свертки. |
|
|
|
1.Свертка f * g S '(Rn ) и линейна по каждому аргументу.
2.Для любого мультииндекса α выполняется
Dα f * g = Dα ( f * g) = f * Dα g = Dα g * f . 3. f * δ = δ* f ) = f для любой f S '(Rn ).
Доказательство.
f (x)δ( y),η( y)ϕ(x + y)= f (x),δ( y),η( y)ϕ(x + y) = = f (x),ϕ(x)= f ,ϕ,
так как η( y) ≡1 в окрестности точки y = 0.
155
4. |
Как следствие 2 и 3 получаем Dα f = Dαδ* f = δ* Dα f . |
|||
5. |
Справедливо равенство F[ f * g] = (2π)n/ 2 F[ f ]F[g]. |
|||
Доказательство проведем для случая g = δ. Имеем: |
||||
|
F[ f * δ], ϕ = f * δ, F[ϕ] = f (x), δ( y),η( y)F[ϕ](x + y) = |
|||
= f , F[ϕ] = F[ f ] |
1 |
,ϕ (2π)n/2 = (2π)n/2 F[ f ]F[δ],ϕ |
||
(2π)n/2 |
||||
|
|
|
для любого ϕ S(Rn ) , таким образом, F[ f * δ] = F[ f ]F[δ].
21.6. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами
Определение 21.14. Обобщенная функция u D ' называется обобщенным решением дифференциального уравнения, если
L(D)u = ∑ aαDαu,ϕ = f ,ϕ .
|α|≤m
Определение 21.15. Обобщенная функция E D ' называется фундаментальным решением дифференциального оператора L(D) ,
если L(D)E(x) = δ(x).
Замечание 21.3. Для многих задач фундаментальные решения E S '(Rn ). И для их вычисления удобен аппарат преобразования
Фурье. |
|
|
|
|
|
Лемма 21.2. E D ' |
является фундаментальным решением опе- |
||||
ратора L(D) : L(−iξ)F[E} = (2π)−n/ 2 , |
где F[E] – преобразование |
||||
Фурье от E , и L(−iξ) = ∑ aα (−iξ)α. |
|
|
|
||
|
|α|≤m |
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
aα |
|
|
F[L(D)E] = ∑ aαF[DαE] = ∑ |
|
|
F[E] = F[δ] = (2π)−n/2 , |
||
|
|
α |
|||
|α|≤m |
|α|≤m (−iξ) |
|
|
т.е. справедливо равенство L(−iξ)F[E] = (2π)−n/ 2 .
156
Обратно, если выполнено равенство леммы, то выполняется обратное преобразование Фурье и получим, что E(x) удовлетворяет
уравнению L(E) = δ.
Лемма 21.3. Еслиz(t) – решение задачи z '(t) + a(t)z(t) = 0, z(0) =1,
то E(t) = θ(t)z(t) – фундаментальное решение оператора dtd + a(t).
Доказательство. E '(t) = θ(t)z '(t) + z(t)δ(t) = θ(t)z '(t) + δ(t). Отсюда следует E '+ a(t)E = θ(t)[z '(t) + a(t)z] + δ(t) = δ(t).
Пример 21.6 (фундаментальное решение уравнения теплопро-
водности). Если E(x,t) S '(Rn+1 ) |
таковы, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∂E |
|
−a2 |
E = δ(x,t), a > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то, выполняя преобразование Фурье по x , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
∂E |
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Fx |
|
= |
|
∂t |
Fx [E] = |
|
∂t |
|
Fx |
[E] = |
∂t |
E(ξ,t), |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Fx [ E] |
|
|
|
|
∂ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= −| ξ|2 |
|
∂t |
E(ξ,t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx [δ(x,t)]= Fx[δ(x)δ(t)] = (2π)−n/21(ξ)δ(t). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, E(ξ,t) удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂E(ξ,t) |
|
|
|
|
2 |
|
2 ˆ |
|
|
|
|
|
−n/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂t |
|
+ a |
|
| ξ| |
E(ξ,t) = (2π) |
|
|
|
1(ξ)δ(t). |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
= (2π) |
−n/2 |
θ(t)e |
−a2 |
|ξ|2 t |
. При- |
|
|||||||||
Используя лемму 21.3, получим E(ξ,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
меняя обратное преобразование Фурье, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
−1 |
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
θ(t) |
|
|
−|x|2 /(4a2t) |
|
|||||
E(x,t) = Fξ |
[E(ξ,t)] = Fξ |
[E(−ξ,t)] = Fξ[E(ξ,t)] = |
|
|
|
|
|
e |
|
|
. |
|||||||||||||||||
(2a |
πt )n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 21.12. Пусть n = 3 . Вычислим с помощью преобразования Фурье фундаментальные решения оператора Лапласа E3 (x).
Если E3 (x) = δ(x), то −| ξ|2 F[E3 ](ξ) = (2π)−3/ 2 , и получаем соотношениеF[E3 ](ξ) = −(2π)−3/2 | ξ|−2 . Это локально интегрируемая в
157
R3 функция. Тогда имеем E3 (x) = −(2π)−3/ 2 F −1[| ξ|−2 ]. Подсчитыва-
ем выражение справа, т.е. для любой функции ϕ S(R3 ) будет выполнено:
F −1[| ξ|−2 ],ϕ =| ξ|−2 F −1[ϕ] =
= |
1 |
|
∫ |
dξ |
∫ ei(ξ,x)ϕ(x)dx = |
1 |
|
|
lim |
∫ |
|
|
dξ |
∫ ei(ξ,x)ϕ(x)dx = |
|||||||
(2π) |
3/2 |
2 |
(2π) |
3/2 |
|
3 |
2 |
||||||||||||||
|
|
3 |
| ξ| |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
R→∞ |
|
| ξ| |
R |
3 |
|||||
|
|
|
|R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|ξ|<|R |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
lim |
∫ |
ϕ(x)dx ∫ |
|
ei(ξ,x) |
|
dξ. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(2π) |
3/2 |
3 |
| ξ |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R→∞ |
|R |
3 |
|
|
|ξ|<R |
| |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во внутреннем интеграле перейдем к сферическим координатам, направив полярную ось по вектору x . Тогда (ξ, x) =| x | ρcos θ,
где ξ1 = ρsin θcosϕ, ξ2 = ρsin θsin ϕ, ξ2 = ρcos θ. Якобиан такого преобразования I =ρ2 sin θ.
Имеем
|
|
ei(ξ,x) |
2π |
π |
R |
i|x|ρcosθ |
|
|
|
|
∫ |
|
dξ = ∫ dϕ∫sin θdθ∫e |
|
|
dρ = |
|
||
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|ξ|<R |
| ξ| |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
π |
|
R |
|
|
|
R |
1 |
|
|
= 2π∫d(−cosθ)∫ei|x|ρcos θdρ =(−cos θ = t) = 2π∫dρ∫ e−i|x|ρt dt = |
|||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
−1 |
|
|
R |
1 |
|
|
|
|
R sin | x | ρ |
|
||
= 2π∫dρ) ∫ (cos | x | ρte −i sin | x | ρt)dt = 4π∫ |
|
|
dρ = |
||||||
|
| x | ρ |
||||||||
0 |
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
158
|
|
|
|
|
R sin | x | ρ |
|
|
4π R sin t |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= 4π∫ |
|
|
|
|
|
dρ) = |
|
∫ |
|
|
|
dt. |
|
|||||
|
|
|
| |
x | ρ |
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
| x | 0 |
|
|
|
|
||||||||
Отсюда следует равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
E3 (x) = − |
|
4π |
|
|
|
|
R|x| |
sin t |
dt = |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
∫ |
|
|
|
|
|
, |
|||||||
|
|
(2π) |
3 |
|
|
t |
|
4π| x | |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| x | R→∞ |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ sin t |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как ∫ |
|
dt = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лемма 21.4. Пусть f D ' |
такова, что E * f |
существует в D'. |
|||||||||||||||||||
Тогда решение уравнения |
L(D)u(x) = f (x) |
существует и задается |
формулой u = E * f .
Доказательство. Имеем L(D)(E * f ) = (L(D)E) * f = δ* f = f .
159
V. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 22. Обобщенная задача Дирихле для уравнений эллиптического типа
В качестве примера приложения полученных результатов рассмотрим доказательство существования обобщенных решений задачи Дирихле для оператора
(Lu)(x) = −div( p(x)grad u(x)) + q(x)u(x), |
(22.1) |
где p( x) C1 (G), p( x) > 0 в G ; q(x) C(G), q( x) > 0 в G .
Область G предполагаем ограниченной. Рассмотрим билинейную форму Дирихле
|
n |
∂u |
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
B(u,v) = ∫ p(x)∑ |
|
|
|
|
|
|
+ q(x)v(x) dx. |
|
(22.2) |
||||||||||||||||||
∂xi ∂xi |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
G |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Эта форма определена для всех |
|
u,v W 1 |
(G) , |
а для u C2 ( |
|
) и |
|||||||||||||||||||||
|
G |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
v C∞ (G) очевидно, что (Lu,v) |
L |
|
(G) |
= B(u,v). Положим |
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
κ = min p(x) > 0,C0 = max (max( p(x), q(x))). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x G |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда для любых u,v W 1 (G) |
|
|
|
|
будет выполнено |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) B(u,u) ≥κ |
|
u |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
W21 (G) ; |
|
|
|
|
|
|
(22.3) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
б) B(u,v) ≤ C |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
(G ) |
|
|
W2 (G) |
|
|
|
|
|
|||||||
Рассматривается следующая |
|
|
|
задача. Для |
заданной |
функции |
|||||||||||||||||||||
f W −1 (G) найти u W1 (G) , такую, что |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(u,v) = |
f ,v |
|
для любой v W1(G). |
(22.4) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Замечание 22.1. Сформулированная задача называется обобщенной (однородной) задачей Дирихле для оператора (22.1).
Если f C( |
|
) W −1 (G), а u C2 (G) ∩C( |
|
) |
– классическое |
||
G |
G |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
||
решение задачи Дирихле для оператора L, т.е. |
|
||||||
|
|
(Lu)(x) = f (x),u |
|
∂G = 0, |
(22.5) |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
160