Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

31

rIS. 9

j j

P

pUSTX r | RADIUS SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA

+1

cnzn

n=0

I z | L@BAQ TO^KA EGO KRUGA SHODIMOSTI, T. E.

z <r. eSLI

| L@BOE POLOVITELXNOE ^ISLO, PROMEVUTO^NOE MEVDU

jzj

I r, TO DLQ L@BOGO NENULEWOGO \WEKTORA PRIRA]ENIQ"

Mz, DLQ KOTOROGO

jMzj< ;jzj, TO^KA z+Mz ToVE PRINADLE-

VIT KRUGU SHODIMOSTI \TOGO STEPENNOGO RQDA:

jz+Mzj < r

(RIS. 9). s U^ETOM TOVDESTWA

;

;

an ; bn =

a ; b an;1 + an;2b + + abn;2 + bn;1

1,

ESLI W NEM WZQTX a=z+Mz,

b= z,

P

P

P

1

+1

cn(z+Mz)n

+1

cnzn

1

+1

cn[(z+Mz)n

zn] =

M

; n=0

= M

;

z n=0

z n=1

P

+

1

= n=1cn (z+Mz)n;1 +(z+Mz)n;2 z + + (z+Mz)zn;2 +zn;1 .

tAK KAK OBA ^ISLA jzj

I

jz+Mzj MENX[E , A SLAGAEMYH W

KWADRATNOJ SKOBKE ROWNO

n,

MODULX OB]EGO SLAGAEMOGO RQDA

1 nAPRQMU@ PROWERQEMOGO RASKRYTIEM SKOBOK I NAZYWAEMOGO PRI n=2 FORMULOJ RAZNOSTI KWADRATOW, A PRI n=3 | RAZNOSTI KUBOW.

32

W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA NE PREWOSHODIT SOOTWETSTWU@]EGO

P

+1

n

1

.

SLAGAEMOGO SHODQ]EGOSQ RQDA

n=1jcnjn

;

sLEDOWATELXNO, KAKOWO BY NI BYLO POLOVITELXNOE ^IS-

LO ">0, SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO n0, ^TO

P

+1

n 1

+1

cn (z+Mz)n;1 +(z+Mz)n;2z +

+ (z+Mz)zn;2 +zn;1 6

n=n0

n=n0jcnjn ; <"=3.

6

P

s DRUGOJ STORONY, TAK KAK

lim

1

n0;1

M

n

n

] =

n0;1

n

1

,

cn[(z+ z)

;

z

cnnz

;

Mz!0 Mz n=1

n=1

SU]ESTWUET TAKOEPPOLOVITELXNOE ^ISLOP , ^TO

P

P

P

1

n0;1

M n

n0;1

n

n0;1

n 1

f

M

cn(z+ z)

cnz

j

j

;

g

z

n=0

; n=0

; n=1

z <min

, TO

sOEDINENIE \TIH OCENOK DAET: ESLI

P

P

P

M

1

+1

M

n

+1

cnz

n

+1

cnnz

n

;

1

<

M

n=0

cn(z+ z)

; n=0

; n=1

z

P

P

P

1

+

+

+

<"=3+

Mz

1

cn(z+Mz)n ;

1

cnzn

;

1

cnnzn;1 <",

n=n0

n=n0

n=n0

A \TO (W SILU PROIZWOLXNOSTI ^ISLA ">0) I OZNA^AET,

^TO

1

+1

M

n

+1

n

+1

n

1

lim

M

cnz

=

cnnz

. Q.E.D.

cn(z+ z)

; n=0

;

Mz!0

z n=0

n=1

tAK KAKPPROIZWODNAQ SUMMYP

STEPENNOGOP

RQDA SAMA QW-

LQETSQ SUMMOJ STEPENNOGO RQDA (S TEM VE RADIUSOM SHODI-

MOSTI), POSLEDOWATELXNOE PRIMENENIE DOKAZANNOJ TEOREMY PRIWODIT K SOOTNO[ENIQM

+1	(k) +1	(k;1)	+1
n=0cnzn = n=1cnnzn;1 = =n=kcnn(n;1) (n;k+1)zn;k,
WYPOLNQ@]IMSQ W OB]EM KRUGE SHODIMOSTI \TIH RQDOW.
P	P		P

33

sLEDSTWIE 1.

sUMMA STEPENNOGO RQDA f(z) =

+1

cnzn

n=0

(S NENULEWYM RADIUSOM SHODIMOSTI)

IMEET W KRUGE SHODI-

P

MOSTI \TOGO RQDA PROIZWODNU@ L@BOGO PORQDKA, PRI^EM

f(k)(z)=

+1

cnn(n;1) (n;k+1)zn;k

k =0 1 2

: : :

n=k

P

2.

sTEPENNOJ RQD c NENULEWYM RADIUSOM

sLEDSTWIE

SHODIMOSTI QWLQETSQ

RQDOM mAKLORENA

SWOEJ SUMMY, T. E.

+1

cnzn

=

+1 f(n) (0)

zn GDE

f(z) =

+1

cnzn.

n=0

n=0

n!

n=0

P

P

P

tEOREMA O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO RQDA I SLEDST-

WIQ IZ NEE PERENOSQTSQ NA STEPENNYE RQDY

+1

n

n=0cn(z ;z0) c

1

+

f(n)(z

)

n

ZAMENOJ RQDa mAKLORENA

NA

RQD tEJLORA

1P

0

(z

;

z0)

.

n!

n=0

P

sLOVENIE I PEREMNOVENIE STEPENNYH RQDOW

sUMMOJ

DWUH STEPENNYH RQDOW

+1

anzn I

+1

bnzn NAZY-

n=0

n=0

+1

P

P

WA@T STEPENNOJ RQD P(an+ bn)zn

(RADIUS SHODIMOSTI \TO-

n=0

GO RQDA NE MENX[E MINIMALXNOGO IZ RADIUSOW SHODIMOSTI

SLAGAEMYH RQDOW, A EGO SUMMA RAWNA SUMME IH SUMM).

1 Taylor, Brook (1685{1731) I Maclaurin, Colin (1698{1746) | ANG-

LIJSKIJ I [OTLANDSKIJ MATEMATIKI PERWYJ OPUBLIKOWAL W 1715

G. W RABOTE \pRQMOJ I OBRATNYJ METOD PRIRA]ENIJ" (\Methodus incrementorum directa et inversa") IZOBRETENNYJ IM (W 1712 G.) RQD,

POLU^IW[IJ EGO IMQ (HOTQ K \TOMU RQDU DO tEJLORA PRIHODILI DRU-

GIE AWTORY) WTOROJ W MONOGRAFII 1742 G. [38] (c. 610{611), PRIZNA- WAQ PRIORITET tEJLORA, OPERIROWAL ^ASTNYM SLU^AEM \TOGO RQDa |

PO STEPENQM NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, KOTORYJ STALI NAZYWATX RQDOM mAKLORENA ON VE USTANOWIL SWOJSTWO \TOGO RQDA, PREDSTAWLENNOE ZDESX KAK SLEDSTWIE 2.

34

uMNOVA@T STEPENNOJ RQD NA STEPENNOJ RQD PO TOMU VE PRAWILU, ^TO I MNOGO^LENY, T. E. RASKRYWAQ SKOBKI I SKLA-

DYWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH z :

(a0 + a1z + a2z2 + )(b0 + b1z + b2z2 + ) =

= a0b0 + (a0b1 + a1b0)z + (a0b2 + a1b1

+ a2b0)z2 +

SOGLASNO \TOMU PRAWILU PRI PEREMNOVENII STEPENNYH RQ-

DOW

+1

anzn I

+1

bnzn

WOZNIKAET STEPENNOJ RQD

+1

cnzn c

n=0

n=0

n=0

KO\FFICIENTAMI cn=a0bn+a1bn 1 +

+anb0 n=0 1 2 : : :

P

P

;

P

tEOREMA O PEREMNOVENII STEPENNYH RQDOW. eSLI

+1

anzn I

+1

bnzn | STEPENNYE RQDY S RADIUSAMI SHODIMOS-

n=0

n=0

TI ra I rb, TO PRI

j

z

j

< min ra rb

g

P

P

f

a) SHODITSQ (ABSOL@TNO) REZULXTAT IH PEREMNOVENIQ

+1

n=0cnzn (cn = a0bn +a1bn;1 + +anb0)

P

+1

+1

+1

B)

n=0cnzn

= n=0anzn n=0bnzn , T. E. SUMMa PROIZWEDE-

NIQ ST

ENNYH RQDOW RAWNA PROIZWEDENI@ IH SUMM.

EP

P

P

|TOT FAKT NAPRQMU@ WYTEKAET1 IZ SLEDU@]EGO UTWERV- DENIQ DLQ ^ISLOWYH RQDOW.

tEOREMA kO[I O PEREMNOVENII RQDOW ([26], p. 283).

eSLI RQDY (KOMPLEKSNYH ^ISEL) +P1an I +P1bn SHODQTSQ AB-

n=0 n=0

SOL@TNO, TO PROIZWEDENIE \TIH RQDOW | RQD +P1cn SO SLA-

n=0

GAEMYMI cn =a0bn+a1bn;1+ +anb0 | IMEET SUMMU, RAWNU@ PROIZWEDENI@ SUMM PEREMNOVAEMYH RQDOW.

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK

1 pUTEM ZAMENY an I bn SOOTWETSTWENNO NA anzn I bnzn.

35

c0+c1+ +cn =a0b0+ (a0b1+a1b0) +

+ (a0bn+ + anb0) =

= a0(b0

+b1 +

+bn) + a1(b0 + b1 +

+ bn;1) + + anb0 =

= (a0 +a1 + +an)(b0 +b1 +

+bn);

;a1bn;a2(bn;1+bn); ;an(b1+ +bn),

DOSTATO^NO DOKAZATX,

^TO DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^IS-

LA " SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO n0 , ^TO

ja1jjbnj+ ja2j jbn;1j+jbnj

+

+ janj jb1j+

+jbnj <"

DLQ WSEH n > n0 . iMEQ \TO CELX@, PREDWARITELXNO MOVNO

;

+1

;

+1

UTWERVDATX: TAK KAK RQDY j=1jajj I j=1jbjj SHODQTSQ, SU]EST-

P

P

+

;1

WUET TAKOE k , ^TO jbk+1j+ +jbnj<" 2j=11jajj

PRI n>k.

|TO NERAWENSTWO W SO^ETANII S TEM,P^TO DLQ DOSTATO^NO

BOLX[IH

KAVDAQ IZ

WELI^IN

jan;k+1j : : : janj

OKAZYWA

n

k+

1

-

ETSQ MENX[EJ ^ISLA "

2j=11jbjj ;

,

POZWOLQET ZAKL@^ITX:

P

ja1jjbnj+ + jan;kj jbk+1j+

+jbnj +

+ an

b1

+ + bn

+

an k+1

bk +

+ bn

j

+

j

<

j

; ;j j

j

1j

j

1

j j

j j

< ja1j+ +jan;kj ";2+j=11jajj

;+ " 2+j=11jbjj ;

;

jb;1j+ +jbnj <"

TAK; ^TO RAZNOSTX

P

P

(c0

+ +cn) ;

(a0 + +an)(b0 + +bn)

STREMITSQ K NUL@ PRI n

!

+

1

. Q.E.D.

;

sTEPENNYE RQDY ISPOLXZU@T KAK \FFEKTIWNYJ MEHANIZM

RASPROSTRANENIQ FUNKCIJ DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ NA

KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX.

oPREDELENIE \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII

+1

zn

z2

z3

tAK KAK STEPENNOJ RQD n=0 n!

= 1+z+ 2!

+

3!

+ IMEET

P

+1

zn

RADIUS SHODIMOSTI r = +1 (c. 28), EGO SUMMA w(z) = P n!

n=0

36

ESTX FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA WSEJ PLOSKOSTI C , PRI \TOM W SILU TEOREMY O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO RQDA (c. 29)

	+1	zn	0 +1	zn;1		+1	zn	= w(z) z 2 C .
w0	(z) = n=0 n! =n=1 (n;1)!					=n=0 n!

|TA FUNKCIQP POLU^ILAP NAZWANIEP\KSPONENCIALXNOJ, ILI

\KSPONENTY1, I OBOZNA^ENIQ w(z) = exp z I w(z) = ez.

eE MOVNO RASSMATRIWATX KAK RASPROSTRANENIE NA KOMP-

LEKSNU@ PLOSKOSTX \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII y = ex DEJST-

WITELXNOJ PEREMENNOJ | PUTEM PEREHODA W EE RAZLOVENII

mAKLORENA ex = +1

xn

OT DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ x K

n!

n=0

KOMPLEKSNOJ z. a IMENNO, ZAMENA STEPENEJ x NA STEPENI z,

P

+1

NE MENQ@]AQ RADIUSA SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA

xn

,

n!

n=0

RAS[IRQET OBLASTX OPREDELENIQ EGO SUMMY S DEJSTWITELX-

NOJ OSI DO KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI.

P

x

+1

xn

+1

zn

2C )

sRAWNIWAQ RAWENSTWA e

=n=0 n! (x2R ) I

exp z =n=0 n!

(z

I PRIBEGAQ K OBRAZNYM SRAWNENIQM, MOVNO SKAZATX, ^TO ERWOE QWLQ-

P

P

ETSQ TEOREMOJ, TOGDA KAK WTOROE ESTX OPREDELENIE.2

bAZOWYM SWOJSTWOM \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII,

OPRAW-

DYWA@]IM ee OBOZNA^ENIE w = ez I SAMO EE NAZWANIE, QWLQ-

ETSQ OSNOWNOE TOVDESTWO DLQ \KSPONENTY

(exp z)(exp ) = exp(z+ ) z 2 C ,

NAPRQMU@ WYTEKA@]EE IZ TEOREMY kO[I O PEREMNOVENII RQDOW (c. 34) I FORMULY BINOMA nX@TONA:

1 lAT. expono | WYSTAWLQTX, POKAZYWATX.

2

x

KAK

+1

xn

= lim

1+

z

+

+

zn

QWLQ-

wPRO^EM, OPREDELENIE e

n=0 n!

1!

n!

n!+1

ETSQ NAILU^[IM W OTNO[ENII WNQTNOSTI I WYWODA SWOJSTW I DLQ DEJ-

P

;

STWITELXNYH x. iMENNO TAK OPREDELQL ex E]E W XVIII W. PORTUGALEC DA kUNXQ (da Cunha, Joseph-Anastase, 1744{1787) W [29] (c. 142{146).

37

+

n

P

P

+ P P

(exp z)(exp ) =

+ 1

zn

+1 n

=

+1

n

zk

n;k

=

P

P

n=0 n!

n=0

n!

n=0 k=0 k! (n;k)!

P

1

1

1

n!

k

n k

1

1

n

= n=0 n!

k=0 k! (n;k)!

z

;

= n=0 n!(z+ )

= exp(z+ ).

iMENNO S U^ETOM \TOGO TOVDESTWA, POLAGAQ

z

def

def +1 zn

def

def

+1 1

e

= exp z =

,

e = exp 1 =

,

n=0

n!

n=0

n!

P

P

PRIHODQT K PRIWY^NOMU PRAWILU POKAZATELEJ: e

z1

e

z2

z1+z2

.

= e

tO^NO TAK VE OPREDELQ@T FUNKCII

def +1 (

1)nz2n+1

z3

z5

z7

sin z = n=0

;(2n+1)!

= z ;

+

;

+

z 2C ,

3!

5!

7!

P

+

(

n

2n

2

4

6

defP

1) z

z

z

z

cos z =

1 ;

= 1

;

+

;

+

z

2

C ,

n=0

(2n)!

2!

4!

6!

S SOHRANENIEM SOOTNO[ENIJ sin(;z)=; sin z

cos(;z)=cos z

I FORMULAMI PROIZWODNYH

sin0z = z ;

z3

+

z5

;

z7

+ 0= 1;

z2

+

z4

;

z6

+ = cos z,

3!

5!

7!

2!

4!

6!

cos0z = 1;

z2

+

z4

;

z6

+

0=;z +

z3

;

z5

+ =; sin z.

2!

4!

6!

3!

5!

fUNDAMENTALXNU@ ROLX W MATEMATIKE I EE PRILOVENIQH

IGRAET

FORMULA |JLERA

eiz = cos z+i sin z z 2C

, DLQ WY-

WODA KOTOROJ DOSTATO^NO

ZAMETITX, ^TO

z

i2z

2

i3z3

i4z4

i5z5

i6z6

i7z7

+ =

e = 1 + iz +

2!

+

3!

+

4!

+

5!

+

6!

+

7!

= ;1 ;

z2

+

z4

;

z6

+ +i;z ;

z3

+

z5

;

z7

+ .

2!

4!

6!

3!

5!

7!

1 oBOZNA^ENIE

e WWEL W 1728 G. [WEJCARSKIJ (ON VE ROSSIJSKIJ)

MATEMATIK |JLER (Euler, Leonhard, 1707{1783), PO^TI WSQ DEQTELXNOSTX KOTOROGO PRO[LA W pETERBURGE, GDE ON I POHORONEN ON VE WY^ISLIL ZNA^ENIE e = 2 71828182845904523536028 : : : ([19], x 122, S. 120).

W STEPENX

38

fORMULU |JLERA MOVNO PREDSTAWITX I W WIDE1

cos z =

eiz+e;iz

sin z =

eiz;e;iz

2

2i

gIPERBOLI^ESKIE KOSINUS

I

SINUS

2 OPREDELQ@T SOOTNO[ENIQMI

def ez + e;z

def ez

e;z

chz =

sh z =

;2

2

KAK SLEDSTWIE, DLQ L@BOGO z 2 C

SPRAWEDLIWY RAWENSTWA

ch z = 1 +

z2

+

z4

+

z6

+

shz = z +

z3

+

z5

+

z7

+ ,

2!

4!

6!

3!

5!

7!

ch0z = shz sh0z = chz ch(;z) = chz sh(;z) =;shz ch2z;sh2z = 1,

POSLEDNEE IZ KOTORYH LEVIT W OSNOWE PARAMETRI^ESKOGO PREDSTAWLE-

(

x2

y2

x = a cht

NIQ GIPERBOLY a2

;

b2

=1 :

,

;1

< t < + .

y = b sht

1

oPERACIQ PEREMNOVENIQ STEPENNYH RQDOW POZWOLQET WOZWODITX IH I NA OSNOWE \TOGO PROIZWODITX c NIMI DRUGIE DEJSTWIQ.

tEOREMA O PODSTANOWKE STEPENNOGO RQDA W STEPENNOJ RQD.3

dLQ L@BOGO STEPeNNOGO RQDA

+1

anz

n

(NE SODERVA]EGO NULEWOJ STE-

n=1

PENI z) OPREDELENA OPERACIQ EGO PODSTANOWKI (WMESTO PEREMENNOJ) W

+1

P

L@BOJ STEPENNOJ RQD

bn

n

, REZULXTAT KOTOROJ ESTX STEPENNOJ RQD

n=0

+1

+1

n m

P

2

3

+

m=0bm n=1 anz

= b0

+ b1 a1z + a2z

+ a3 z

+

P

P

+ b2;a1z + a2z2 + a3z3 +

2 + ,

IME@]IJ

;

A) NENULEWOJ RADIUS SHODIMOSTI

, ESLI NENULEWYMI QWLQ@TSQ RA-

DIUSY SHODIMOSTI ra I rb STEPENNYH RQDOW

+1

anz

n

I

+1

bm

m

n=1

m=0

P

P

B) SUMMU, SOWPADA@]U@ S REZULXTATOM PODSTANOWKI SUMMY PERWOGO STEPENNOGO RQDA W SUMMU WTOROGO (WMESTO PEREMENNOJ).

1 w KOTOROM EE I POLU^IL PERWONA^ALXNO |JLER ISHODQ IZ FORMULY

mUAWRA ([19], xx 132{138, S. 128{)134.

2 wWEDENNYE W 1757 G. ITALXQNSKIM MATEMATIKOM rIKKATI (Riccati, Vicenzo, 1707{1775). (\uRAWNENIE rIKKATI" | \TO NE ON, A EGO OTEC,

Iacopo Francesco Riccati, 1676{1754.) 3 u kO[I W [28], ser. II, t. X, p. 177.

			39
+1		+1	m
			n
dOKAZATELXSTWO.	P	P
	tO, ^TO m=0bm n=1anz (REZULXTAT UKAZANNOJ

PODSTANOWKI RQDA W RQD) QWLQETSQ STEPENNYM RQDOM, WYTEKAET IZ TOGO, ^TO W HODE WNE[NEGO SUMMIROWANIQ (PO m) KO\FFICIENT PRI

zk (k = 0 1 2 : : : )	STABILIZIRUETSQ PO DOSTIVENI@ ZNA^ENIQ				m = k,
	+1		m
		n
	P			S m>k. (eSLI BY PODSTAW-
T.E. NE ZAWISIT OT SLAGAEMYH bm n=1anz
LQEMYJ RQD SODERVAL NULEWU@ STEPENX z,			TO W HODE WNE[NEGO SUMMIRO-

WANIQ KO\FFICIENT PRI zk IZMENQLSQ BY S KAVDYM NOWYM SLAGAEMYM, I REZULXTAT PODSTANOWKI TAKOGO RQDA W RQD BYL BY NE OPREDELEN.)

sUMMA a(z) STEPENNOGO RQDA

+1

anz

n

OPREDELENA I NEPRERYWNA (PO-

n=1

jzj < ra

SKOLXKU IMEET PROIZWODNU@)

W KRUGEP

, PRI \TOM (TAK KAK

a(0) = 0) SU]ESTWUET ^ISLO > 0 SO SWOJSTWOM:

j

a(z) < rb

DLQ L@BOGO

z c

z

j

j

< , A SLEDOWATELXNO, DLQ KAVDOGO TAKOGO

z

OPREDELENo ZNA^ENIE

j

+1 anzn

m

= +1 bm a(z) m

SUMMY STEPENNOGO RQDA +1 bm

Q.E.D.

m=0

n=1

m=0

;

P

P

P

+1

rAZDELITX

+1

n

n

STEPENNOJ RQD

anz

NA STEPENNOJ RQD

bnz

ZNA-

n=0

n=0

^IT NAJTI PREDSTAWLENIE

+1

Pn

=

+1

bnz

n

+1

cnz

nP

anz

.

n=0

n=0

n=0

P

P

1 P

tEOREMA O DELENII STEPENNYH RQDOW.

l@BOJ STEPENNOJ RQD

+1

anz

n

DELITSQ NA L@BOJ STEPENNOJ RQD

+1

bnz

n

c b0

= 0 REZULXTA-

n=0

n=0

6

P

+1

Pn

S NENULEWYM RADIUSOM

TOM DELENIQ QWLQETSQ STEPENNOJ RQD

cnz

SHODIMOSTI,

n=0

ESLI OTLI^NY OT NULQ RADIUSY SHODIMOSTI DELIMOGO I

P

DELITELQ.

dOKAZATELXSTWO.

tAK KAK STEPENNOJ RQD 1 + 0z + 0z2 + IGRAET

(PRI UMNOVENII RQDOW) RoLX EDINICY, DOSTATO^NO RAZOBRATX SLU^AJ,

KOGDA DELIMYM QWLQETSQ IMENNO \TOT STEPENNOJ RQD:

a

+a z+a

z2+

1+0z+0z2+

0

1

2 2

= a0 +a1z+a2z2 +

2

.

b0+b1z+b2z

+

b0+b1z+b2z

+

kROME TOGO,

TAK KAK PO PREDPOLOVENI@ b

= 0,

ZAPISX

;

0 6

1 eSTX U |JLERA W [19] (x 63, c. 81{82), NO BEZ UTWERVDENIQ O SHODI-

MOSTI RQDA.

40

n=0 bnz n=0 cnz

= n=0 b0 z

b0 n=0 cnz

,

+1

n

+1

n

+1

bn

n

+1

n

POZWOLQET S^ITATXP

PRIPDOKAZATELXSTWEP

,

^TO

b0

P w SOOTWETSTWII S

= 1.

PRAWILOM UMNOVENIQ STEPENNYH RQDOW WYPOLNENIE SOOTNO[ENIQ

;

1 + b1z + b2z2 + b3z3

+

;

c0 + c1z + c2z2 + c3z3

+

= 1

(PRAWU@ ^ASTX KOTOROGO NADLEVIT RASSMATRIWATX KAK

STEPENNOJ RQD

1 + 0z + 0z2+

) RAWNOSILXNO WYPOLNENI@ SISTEMY RAWENSTW

c0 = 1 c1 +c0b1 = 0 c2 +c1b1+c0b2 = 0 c3 +c2b1+c1b2+c0b3 = 0 : : : ,

IZ KOTOROJ PO IZWESTNYM

b1 b2

b3 : : :

POSLEDOWATELXNO NAHODQT

NEIZWESTNYE c0 c1 c2

c3 : : : |TO OZNA^AET, ^TO STEPENNOJ RQD

+1

cnz

n

=

+1

bnz

n ;1

=

1+0z+0z2+

n=0

2

n=0

1+b1z+b2z +

SU]ESTWUET PI QWLQETSQ

EDINSTWENNYMP

.

pUSTX STEPENNOJ RQD W ZNAMENATELE

IMEET RADIUS SHODIMOSTI

+1

n

r

> 0.

tAK KAK STEPENNOJ RQD

P

bnz

IMEET TOT VE RADIUS

SHO-

n=1

DIMOSTI

r > 0

I NE SODERVIT

NULEWOJ STEPENI z,

A STEPENNOJ RQD

1

; + 2 ; 3 +

SHODITSQ PRI j j

<1 K (1 + );1, MOVNO PRIMENITX

TEOREMU O PODSTANOWKE STEPENNOGO RQDA W STEPENNOJ RQD. a IMENNO,

ESLI STEPENNOJ RQD

+1

n

PODSTAWITX (WMESTO

)

W TOVDESTWO

bnz

;

;

n=1

1 +

1

;

+ 2

;

3P+

1

(WYPOLNQ@]EESQ PRI j j < 1),

TO

REZULXTATOM OKAVETSQ TOVDESTWO

; n=1 bnz

+

1

n=0 bnz 1 ;

n=1 bnz

+

n=1 bnz

+1

+1

+1

2

+1

3

n

n

n

n

;

P

P

P

P

+1

n

SPRAWEDLIWOE DLQ WSEH

z c NASTOLXKO MALYM

jzj, ^TO

P

n=1bnz

< 1 ,

W KOTOROM WTOROJ SOMNOVITELX ESTX (W SILU UPOMQNUTOJ TEOREMY)

STEPENNOJ RQD S NENULEWYM RADIUSOM SHODIMOSTI. kAK SLEDSTWIE, \TOT

WTOROJ SOMNOVITELX, T.

E.

STEPENNOJ RQD

2

P

P

P

P

+1

+1

+1

2

+1

3

n

n

n

n

n=0 cnz

= 1 ; n=1 bnz

+

n=1 bnz

; n=1 bnz

+ : : : ,

I ESTX TREBUEMYJ REZULXTAT DELENIQ STEPENNOGO RQDA 1+0z +0z

+ : : :

+1

n

+1

n

NA STEPENNOJ RQD

P

bnz

= 1 +

P

bnz . Q.E.D.

n=0

n=1