Эконометрика УМП Каверина - 2011для эк и мен

допустимые пределы. Поэтому, можно сказать, что линейная функция удовлетворительно описывает связь изучаемых признаков.

г) F - тест – это оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы H0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Рассчитаем F - тест. При уровне значимости 0,05 и числе степеней

свободы k1 m 1 2 1 1, k2 n m 10 2 8, по таблице приложения

находим Fтабл( ;k1;k2) F(0,05;1;8) 5,32.

Фактическое значение критерия вычислим по формуле:

			yx	y	2			439,62
F			m						1		13,10.
			y yx 2					268,38
факт
									10 2
		n m 1
Fтабл 5,32 13,10 Fфакт ,		следовательно,							гипотеза о статистической

незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи отклоняется, и

признается их статистическая значимость и надежность.

д) Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t- критерий Стьюдента и доверительные интервалы

каждого из показателей. Выдвигается гипотеза	H0 о	случайной природе
показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.
Табличное значение критерия Стьюдента	tтабл	для двусторонней

критической области при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы k n 2 10 2 8 определим из таблицы приложения:

tтабл( ;k) tтабл(0,05;8) 2,31.

Случайные ошибки параметра b линейной регрессии и коэффициента

корреляции определяются по формулам:

11

n

yx

(yi

)2

i 1

i

268,38

m

b

n 2

10 2

0,815;

n

10 5,05

(xi

x

)2

i 1

1 rxy

2

m

1 0,7882

0,218.

n 2

10 2

rxy

Фактические значения t- критерия Стьюдента вычислим по формулам:

t

bфакт

b

2,950

3,620;

t

r

факт

rxy

0,788

3,615.

mb

mr

0,815

0,218

xy

xy

Имеем следующие неравенства:

tb факт 3,620 2,31 tтабл;

tr

факт 3,615 2,31 tтабл.

1

xy

Исходя из полученных неравенств,

делаем вывод, что гипотеза H0 отклоняется.

Это означает, что показатели b и rxy

статистически значимы и отличны от нуля.

Рассчитаем доверительный интервал для истинного значения b:

b tтабл mb 2,31 0,815 1,879;

b b tтабл mb 2,950 1,879;

bmin 2,950 1,879 1,071;

bmax 2,950 1,879 4,830.

Доверительный

интервал

для

параметра

b:

1,071 b 4,830. Анализ

верхней и нижней границ доверительного интервала для параметра b позволяет сделать вывод о том, что с вероятностью p 1 1 0,05 0,95 параметр b

находится в границах 1,071 b 4,830, не принимает нулевых значений, т.е.

является статистически значимым и существенно отличен от нуля.

n

е) Для проверки тождества (yi

i 1

		2	n
y)
			(yx
				i

i 1

	n	yx )2
y	)2 (yi
	i 1	i

подставим в него соответствующие суммы, полученные в таблице 1.1. Имеем:

708 439,6237 268,3763;

708 708,

что и требовалось проверить.

12

ж) Для построения зависимости случайных остатков от величины фактора

xi , используем данные таблицы 1.2.

Таблица 1.3
	xi		14	13	15	14	16	18	19	19	18	19
i	yi	yxi	-11,62	-1,67	1,43	9,38	4,48	-0,43	-3,38	-1,38	2,57	0,62
		15
		10
	остатки	5
		0	10	12		14		16		18		20
		-5
		-10
		-15
							Значения х

Рисунок 1.2 – Зависимость случайных остатков от величины фактора x

Расположение точек (xi , i ) на рисунке 1.2 позволяет сделать предположение о наличии гетероскедастичности остатков.

Вывод: модель следует скорректировать, например, изменив ее спецификацию до квадратичной модели; возможно добавление новых факторов,

что может привести к избавлению от гетероскедастичности; на изменение спецификации модели указывало и значение коэффициента детерминации

R2 0,621 0,75.

3. Системы эконометрических уравнений

Система независимых уравнений – система, в которой каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x:

y1 a11x1 a12x2							...	a1nxn 1,
		a21x1 a22x2						a2nxn 2,
y2
...................................................
y	m	a	x a	m2	x	2	...	a	x	m	.
			m1 1						mn n

13

Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов.

По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии.

Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, то в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки i .

Система рекурсивных уравнений – система, в которой зависимая переменная y одного уравнения выступает в виде фактора x в другом уравнении,

т.е. система вида:

y1 a11x1 a12x2

... a1nxn 1,

y

2

b y a x a x

... a

x

n

2

,

21 1

21 1

22 2

2n

b31y1 b32y2 a21x1 a22x2

a2nxn 2,

y3

...

.........................................................................

b

y

b

y

a

x a

x

a

x

.

y

m

m 1

2

m

m1 1

m,m 1

m1 1

m2

mn n

В данной системе зависимая переменная y включает в каждое последующее уравнение в качестве фактора. Каждое уравнение этой системы может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов (МНК).

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила

система одновременных уравнений (совместных, взаимозависимых уравнений).

В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы:

y1 b12y2 b13y3

...

b1mym

a11x1 a12x2 ...

a1nxn 1,

y

2

b y b y ...

b

y

m

a x a x

2

...

a

x

2

,

21 1

23 3

2m

21 1

22

2n n

b31y1 b32y2

b3mym

a21x1 a22x2

a2nxn 2,

y3

...

............................................................................................

b

y b

y

b

y

a

x a

x

a

x

.

y

m

2

m 1

n

m1 1

m2

m,m 1

m1 1

m2 2

mn n

В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим.

14

Система одновременных уравнений (или структурная форма модели)

обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные – это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе и которые обозначаются через y.

Экзогенные переменные – это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них. Обозначаются через x.

В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных

функций эндогенных переменных от экзогенных:

y1 11x1 12x2 ...					1nxn u1,
		21x1 22x2			2nxn u2,
y2
...................................................
y	m		x	x ...		mn	x	n	u	m	,
			m1 1	m2 2

где ij – коэффициенты приведенной формы модели, ui – остаточная величина

для приведенной формы.

4. Проблема идентификации

Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

1)идентифицируемые;

2)неидентифицируемые;

3)сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам

15

приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число структурных коэффициентов меньше числа приведенных коэффициентов и следовательно, на основе приведенных коэффициентов можно получить два или более значений одного структурного коэффициента.

Обозначим число эндогенных переменных в i-м уравнении системы через

H , а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, – через D. Тогда необходимое условие идентификации отдельного уравнения принимает вид:

–уравнение идентифицируемо, если D + 1 = H;

–уравнение неидентифицируемо, если D + 1 < H;

–уравнение сверхидентифицируемо, если D + 1 > Н.

Если необходимое условие выполнено, то далее проверяется достаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации. Уравнение идентифицируемо, если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных,

отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

5. Методы оценки параметров структурной формы модели

Для решения идентифицируемых уравнений применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. КМНК состоит в следующем:

16

1)составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров для каждого ее уравнения в отдельности с помощью обычного МНК;

2)путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы

куравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

1)составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения в отдельности с помощью обычного МНК;

2)выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения (параметры которого определяют двухшаговым МНК) и

находят расчетные значения по полученным на первом этапе соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

3)с помощью обычного МНК определяют параметры каждого структурного уравнения в отдельности, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения, полученные на втором этапе.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

1)все уравнения системы сверхидентифицируемы;

2)система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки

структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК.

6. Пример идентификации структурной модели

Задание.

1.Применив необходимое и достаточное условие идентификации,

определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.

17

2.Укажите метод оценки параметров модели. (Оценивать не надо).

3.Запишите приведённую форму модели.

Модель вида

Ct	a1 b11 Yt				b12 Ct 1 1,
	a2 b21 rt				b22 It 1 2,
It
r a b Y b M						t		3	,
t	3	31		t	32
Y	C	I	t	G ,
t	t				t

где Ct – расходы на потребление в период t, Yt – совокупный доход в период t,

It – инвестиции в период t, rt – процентная ставка в период t, Mt – денежная масса в период t, Gt – государственные расходы в период t, Ct 1 – расходы на потребление в период t 1, It 1 инвестиции в период t 1. Первое уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье уравнение

– функция денежного рынка, четвертое уравнение – тождество дохода.

Решение. Модель представляет собой систему одновременных уравнений.

1. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные Ct , It ,Yt , rt – они присутствуют в левых частях уравнений системы, и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные – Mt и Gt и две лаговые переменные –

Ct 1 и It 1).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первое	уравнение: Ct a1 b11 Yt	b12		Ct 1 1.	Это	уравнение
содержит две эндогенные переменные Ct		и	Yt	и одну	предопределенную
переменную	Ct 1. Таким образом, H 2,	а	D 4 1 3, т.е.			выполняется

условие D 1 H . Уравнение сверхидентифицируемо.

18

Второе уравнение: It	a2 b21 rt b22 It 1 2 .		Оно	включает две
эндогенные переменные It и rt	и одну экзогенную переменную It 1. Выполняется
условие D 1 3 1 H 2. Уравнение сверхидентифицируемо.
Третье уравнение: rt	a3 b31 Yt b32 Mt	3.	Оно	включает две
эндогенные переменные Yt и rt	и одну экзогенную переменную Mt . Выполняется
условие D 1 3 1 H 2. Уравнение сверхидентифицируемо.
Четвертое уравнение:	Yt Ct It Gt .	Оно	представляет собой

тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.

Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для

этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

	Ct	It	rt	Yt	Ct 1	It 1	Mt	Gt
I уравнение	–1	0	0	b11	b12	0	0	0
II уравнение	0	–1	b21	0	0	b22	0	0
III уравнение	0	0	–1	b31	0	0	b32	0
Тождество	1	1	0	–1	0	0	0	1

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

	It	rt	It 1	Mt	Gt
II уравнение	–1	b21	b22	0	0
III уравнение	0	–1	0	b32	0
Тождество	1	0	0	0	1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной

подматрицы 3 3не равен нулю:

19

b22 0 0

0 b32 0 b22b32 0.

0 0 1

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих

в уравнение, имеет вид

	Ct	Yt	Ct 1	Mt	Gt
I уравнение	–1	b11	b12	0	0
III уравнение	0	b31	0	b32	0
Тождество	1	–1	0	0	1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы 3 3не равен нулю:

b12 0 0

0 b32 0 b12b32 0.

0 0 1

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

	Ct	It	Ct 1	It 1	Gt
I уравнение	–1	0	b12	0	0
II уравнение	0	–1	0	b22	0
Тождество	1	1	0	0	1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы 3 3 не равен нулю:

b12 0 0

0 b22 0 b12b22 0.

0 0 1

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

2. Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы, следовательно,

для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК.

20