Эконометрика УМП Каверина - 2011для эк и мен

3. Приведенная форма модели в общем виде выглядит следующим образом:

Ct

A1 11Ct 1 12It 1 13Mt

14Gt

u1,

A2 21Ct 1

22It 1

23Mt

24Gt

u2,

It

r A C

32

I

t 1

33

M

t

G u ,

t

3

31 t 1

34 t

3

Y A C

42

I

t 1

43

M

t

G u .

t

4

41 t 1

44 t

1

7. Моделирование одномерных временных рядов

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда (значение в определенный момент времени) формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

1)факторы, формирующие тенденцию ряда;

2)факторы, формирующие циклические колебания ряда;

3)случайные факторы.

Аддитивная модель – модель уровней временного ряда вида:

Y T S E,

где T – трендовая компонента, S – сезонная компонента и E – случайная компонента.

Мультипликативная модель – модель уровней временного ряда вида:

Y T S E.

Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

8. Автокорреляция уровней временного ряда

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

21

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка - измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и yt 1, вычисляется по формуле:

n

yt y1 yt 1 y2

r

t 2

,

1

n

n

yt

y1 2

yt 1

y

2 2

t 2

t 2

1

n

1

n

где

y1

yt,

y

2

yt 1.

n 1t 2

n 1t 2

Коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями yt и yt 2 и определяется по формуле:

n

yt y3 yt 2 y4

r

t 3

,

2

n

n

yt

y

3 2

yt 2

y

4 2

t 3

t 3

1

n

1

n

где

y

3

yt,

y

4

yt 2.

n 2 t 3

n 2 t 3

Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции более высоких порядков.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции,

называют лагом.

9. Алгоритм построения аддитивной или мультипликативной модели

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету

значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Шаг1. Выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней:

1.Суммируем уровни ряда последовательно за каждый промежуток времени, в

котором наблюдаются колебания со сдвигом на один момент времени и определяем условные величины показателя Y.

22

2.Делим полученные величины на число моментов времени в промежутке и находим скользящие средние.

3.Находим средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

Шаг 2. Оценка сезонной компоненты:

1.Находим оценку сезонной компоненты, как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними.

2.Находим средние оценки сезонной компоненты за каждый промежуток времени, в котором наблюдаются колебания Si .

3.Исходя из условия взаимопогашения сезонных воздействий определяем

	корректирующий коэффициент	k: в		аддитивной модели k	Si	; в
					n
	мультипликативной модели – k	n		; где n – период колебаний.
		Si

4. Рассчитываем скорректированные значения сезонных компонент: в

аддитивной модели: Si Si k ; в мультипликативной модели: Si Si k;

Шаг 3. Элиминирование влияния сезонной компоненты:

Находим значения T E как Y S – в аддитивной модели; T E как Y /S –

в мультипликативной модели.

Шаг 4. Определение трендовой компоненты ряда.

1.Трендовая компонента ряда определяется с помощью построения регрессионной модели, параметры которой находятся методом наименьших квадратов.

2.С помощью уравнения регрессии находим уровни трендовой компоненты

Т для каждого момента времени t.

Шаг 5. Находим значения T S – в аддитивной	модели или T S – в
мультипликативной модели.
Шаг 6. Находим случайную компоненту E Y (T S)	– в аддитивной модели

или E Y /(T S)Е= Y/(T*S) – в мультипликативной модели.

23

Шаг 7. Оценка качества модели.

1.Находим сумму квадратов случайной компоненты.

2.Находим отношение суммы квадратов случайной компоненты к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения:

E2 100%.

(yi y)2

		10.		Пример аддитивной модели временного ряда
Задание. Имеются данные, описывающего потребление продукции
естественной монополии (электроэнергии) за 4 года (2005 – 2008г.):
Таблица 3.1
№
квартала	1		2		3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
t
Yt	375		371		869	1015	357	471	992	1020	390	355	992	905	461	454	920	927

Требуется:

1.Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

2.Построить аддитивную модель временного ряда.

3.Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Решение. В нашем случае n 16.

1. Строим автокорреляционную функцию временного ряда, учитывая, что

максимальный лаг должен быть не больше n 16 4.

4 4

Строим поле корреляции

24

			Поле корреляции
	1200
Y	1000
	800
значения
	600
	400
	200
	0
		0	4	8	12		16
				время, t
Исходя из графика поля корреляции видно, что значения							y образуют
пилообразную фигуру, что может косвенно свидетельствовать о наличие
сезонных колебаний.
Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции.
Расчеты		будем	производить,	используя	табличный	процессор		Excel.
Cоставим расчетную таблицу.
Таблица 3.2 – Расчет коэффициентов автокорреляции

t		yt	yt-1	yt-2	yt-3	yt-4
1		375
2		371	375
3		869	371	375
4		1015	869	371	375
5		357	1015	869	371	375
6		471	357	1015	869	371
7		992	471	357	1015	869
8		1020	992	471	357	1015
9		390	1020	992	471	357
10		355	390	1020	992	471
11		992	355	390	1020	992
12		905	992	355	390	1020
13		461	905	992	355	390
14		454	461	905	992	355
15		920	454	461	905	992
16		927	920	454	461	905
	коэффициент автокорреляции 1 порядка					0,0633
	коэффициент автокорреляции 2 порядка					-0,9612
	коэффициент автокорреляции 3 порядка					-0,0363
	коэффициент автокорреляции 4 порядка					0,9647

25

Пояснение к расчету коэффициентов автокорреляции.

1.Пусть исходные данные (строки со 2 по 17 таблицы 3.2, не включая заголовки столбцов), записаны в диапазоне ячеек Е22:К37.

2.Рассчитываем коэффициент автокорреляции 1-го порядка. В ячейку К38

вводим формулу =КОРРЕЛ(F23:F37;G23:G37), т.е. данные по yt и yt-1

начиная со второго квартала, т.к. имеем 15 парных значений. Нажатие

«Enter» приводит к появлению результата 0,0633;

3.Рассчитываем коэффициент автокорреляции 2-го порядка. В ячейку К39

вводим формулу =КОРРЕЛ(F24:F37;H24:H37), т.е. данные по yt и yt-2

начиная с третьего квартала, т.к. имеем 14 парных значений. Нажатие

«Enter» приводит к появлению результата -0,9612;

4.В ячейку К40 вводим формулу =КОРРЕЛ(F25:F37;I25:I37), а в ячейку К41 вводим формулу =КОРРЕЛ(F26:F37;J26:J37).

Вывод: анализ коэффициентов автокорреляции (наибольшие по модулю r2 0,9612 и r4 0,9647) и графика поля корреляции позволяет сделать вывод о наличии во временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

3.Строим аддитивную модель временного ряда, учитывая, что сезонные колебания имеют периодичность – 4 квартала.

Шаг 1. Выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней.

Таблица 3.3 – Выравнивание методом скользящей средней

26

	№ квар-		Итого за	Скользящая	Центрированная	Оценка се-
		yt		средняя за
	тала,		четыре		скользящая	зонной ком-
				четыре
	t		квартала	квартала	средняя	поненты
	1	2	3	4	5	6
	1	375	–	–	–	–
	2	371	2630	657,5	–	–
	3	869	2612	653	655,25	213,75
	4	1015	2712	678	665,5	349,5
	5	357	2835	708,75	693,375	-336,375
	6	471	2840	710	709,375	-238,375
	7	992	2873	718,25	714,125	277,875
	8	1020	2757	689,25	703,75	316,25
	9	390	2757	689,25	689,25	-299,25
	10	355	2642	660,5	674,875	-319,875
	11	992	2713	678,25	669,375	322,625
	12	905	2812	703	690,625	214,375
	13	461	2740	685	694	-233
	14	454	2762	690,5	687,75	-233,75
	15	920	–	–	–	–
	16	927	–	–	–	–

Пояснение к таблице 3.3.

1.Стлб.3: 375+371+869+1015=2630; 371+869+1015+357=2612 и т.д.

2.Стлб.4= Стлб.3/4: 2630/4=657,5; 2612/4=653; 2712/4=678 и т.д.

3.Стлб.5: (657,5+653)/2=655,25; (653+678)/2=665,5 и т.д.

4.Стлб.6= Стлб.2–Стлб.5: 869–655,25=213,75; 869–655,25=213,75 и т.д.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (Стлб. 6 таблицы 4.3). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 4.4). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются.

В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 3.4 – Расчет значений сезонной компоненты S

27

	Показатели			Год		№ квартала, i
					I	II	III	IV
				2005			213,75	349,5
				2006	-336,375	-238,375	277,875	316,25
				2007	-299,25	-319,875	322,625	214,375
				2008	-233	-233,75
	Всего за i-й квартал				-868,625	-792	814,25	880,125
	Средняя оценка
	сезонной компоненты				-289,542	-264	271,417	293,375
	для i-го квартала,
		Si
	Скорректированная
	сезонная компонента,				-292,3542	-266,8125	268,6042	290,5625
	Si

Для данной модели имеем:

289,542 264 271,417 293,375 11,250.

Корректирующий коэффициент: k 11,2504 2,8125.

Рассчитываем скорректированные				значения сезонной компоненты
(Si			k ) и заносим полученные данные в таблицу 4.4:
	Si
			–289,542 – 2,8125= –292,3542;	–264 – 2,8125= –266,8125;

271,417 – 2,8125=268,6042;. 293,375 – 2,8125=290,5625. Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты: –292,3542 – 266,8125 + 268,6042 + 290,5625 = 0.

Шаг 3. Элиминирование влияния сезонной компоненты.

Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T E Y S (Стлб.4 таблицы 3.5). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

28

Таблица 3.5

	t	yt	Si	yt Si	T	T S	E yt T S	E2
				T E
	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	375	-292,3542	667,3542	672,684	380,3297	-5,3297	28,405
	2	371	-266,8125	637,8125	673,609	406,7968	-35,7968	1281,412
	3	869	268,6042	600,3958	674,535	943,1390	-74,1390	5496,587
	4	1015	290,5625	724,4375	675,460	966,0228	48,9772	2398,767
	5	357	-292,3542	649,3542	676,386	384,0316	-27,0316	730,708
	6	471	-266,8125	737,8125	677,311	410,4988	60,5012	3660,398
	7	992	268,6042	723,3958	678,237	946,8409	45,1591	2039,341
	8	1020	290,5625	729,4375	679,162	969,7248	50,2752	2527,600
	9	390	-292,3542	682,3542	680,088	387,7336	2,2664	5,137
	10	355	-266,8125	621,8125	681,013	414,2007	-59,2007	3504,727
	11	992	268,6042	723,3958	681,939	950,5429	41,4571	1718,692
	12	905	290,5625	614,4375	682,864	973,4267	-68,4267	4682,215
	13	461	-292,3542	753,3542	683,790	391,4355	69,5645	4839,214
	14	454	-266,8125	720,8125	684,715	417,9027	36,0973	1303,015
	15	920	268,6042	651,3958	685,641	954,2449	-34,2449	1172,710
	16	927	290,5625	636,4375	686,566	977,1287	-50,1287	2512,884
	Сумма	10876						37909,81

Шаг 4. Определение трендовой компонентыT ряда.

Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда T E (данные в стлб.4 таблицы 4.5) с помощью линейного тренда и мастера диаграмм Excel.

1. Пусть данные для t находятся в ячейках D82:D97 (значения стлб.1

таблицы 3.5), а данные для T E находятся в ячейках G82:G97 (значения стлб.4

таблицы 3.5)

2.Вызываем мастер диаграмм (либо входим в меню-Вставка…Диаграмма).

3.В открывшемся окне «Тип диаграммы» выбираем точечная. Выбираем 1-й

тип в виде отдельных точек. Нажимаем кнопку Далее>.

4.В окне «источник данных диаграммы …» выбираем вкладку «Ряд». В окне

«Ряд» нажимаем кнопку «Добавить». В поле «значения X» вводим $D$82:$D$97,

аполе «значения Y» вводим $G$82:$G$97. Нажимаем кнопку Далее>.

5.В окне «параметры диаграммы» вводим название диаграммы «Линейный тренд ..», и убираем легенду. Далее>. В окне «размещение диаграммы» нажимаем кнопку «Готово».

29

Приводим курсор на одну из точек диаграммы и нажимаем правую кнопку мыш-

ки. В появившемся меню выбираем пункт «добавить линию тренда». В появив-

шемся окне "ЛИНИЯ ТРЕНДА" на панели "ТИП" выбираем ЛИНЕЙНАЯ. Нажимаем кнопку "ПАРАМЕТРЫ". Ставим флажки на:

√показать уравнение на диаграмме

√поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)

6.Нажимаем кнопку "Ок". На диаграмме «Линейный тренд ..» будет выведен график и линия тренда.

Линейный тренд T+E y = 0,9255x + 671,76 R2 = 0,0076

800
750
700
650
600
550
500
0	5	10	15	20

Рисунок 3.1 – Определение трендовой компоненты вариационного ряда Результат аналитического выравнивания: T 671,76 0,9255 t .

Подставляя в это уравнение значения t 1, 2,...,16, найдем уровни T для каждого момента времени и заносим их в столбец 5 таблицы 3.5.

Шаг 5. Находим значения Т+S (Стлб.6 = Стлб.3 + Стлб.5).

Шаг 6. Находим случайную компоненту Е= Y – (T+S) (Стлб.7 = Стлб.2 –

Стлб.6).

Шаг 7. Оценка качества модели.

Находим среднее: y 1 (375 371 869 ... 920 927) 679,75. 16

Находим общую сумму квадратов отклонений уровней ряда от среднего значения: (yt y)2 (375 679,75)2 (371 679,75)2 ... (927 679,75)2 1252744.

30