Семестровая 2

Вариант 18

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

	y =1+ex;	y =−2sin x;	y =1−	1	;	y =log1	x.
				x
						2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	−1,	x p−1,		1
f (x) =	x,	−1≤x p1,	f (x) =−		.
	2	x ≥1;		x +1
	(x −1) ,

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

5−x

;

lim

3x2 −4x+1

;

lim

x−9

;

5+x

2x +7 −5

x→∞

x→1

x2 −3x+2

x→9

2

x2

tg3x

x −1

2

lim 1+

;

lim

;

lim

.

2

2x

sin x

x→∞

x

x→0

x→π

4. Найти производные функций.

2

x

1

x −1

3

2

y =

sin

;

u = a sin(at +b); y

=ln

; y =

x

cos3x;

2

x +1

x =t2 −1,

y =2t +1.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Требуется изготовить коническую воронку с образующей 20 см. Какой должна быть ее высота, чтобы объем воронки был наибольшим?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

21

y =	1−x3	;	y =	ex	.
	2
	x			x

Вариант 19

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

		3		x		2
	y =				; y =sin2x; y =	9−x ;	y =log1	x.
		2
							2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

		2		x p0,
	x −x −6,
						π			1
	f (x) =	2−3x,	0 ≤x ≤				,	f (x) =−			.
						2			x +2
				π
			x f		;
	cos x,			2

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

x −3x2

x +1−1

1

−

3

lim

;

lim

;

lim

;

2

2

x

2−x

4

2

x→∞

−5x

x→0

x→2

−x

3

x

sin7x

sin3x

lim 1+

;

lim

;

lim

.

x

tg3x

x

x→∞

x→0

x→π

4. Найти производные функций.

2

y =

1+sin2 x;

u =2t sin

t

;

y =3−x tg

x

;

y = 3

x

;

2

2

1+x

x =3cos2 t,

y =2sin2 t.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

22

Штакетником длиной 300 м огораживают прямоугольный земельный участок. Какими должны быть его размеры, чтобы площадь участка была наибольшей?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =ln	(	x2 −1 2	; y =	x2	+	1	.
		)	2			x

Вариант 20

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

2		x			2	2
y =4−x ;	y =sin		;	y =		25−x ; y =−ln x.
		2			5

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	2
	4x +4x +1, x ≤0,							1
					π
f (x) = x −1,		0 px p			2	,	f (x) =		.
			π					x +1
		x ≥		;
sin2x,			2

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

x2 −6x +2

;

lim

2x+1−3

;

lim

x2 −x−6

;

x2 −3x

x2 −16

x→∞

x→4

x→1

x2 −1

1

x 2

limx ctg2x;

2

x

lim 1−

;

lim 1+

.

x

x

x→∞

x→0

x→1

4. Найти производные функций.

2+x

2

y =cos

3x;

u =3sin(2t −1);

y =ln

;

y =tgx sin3x;

x

x =2sint,y =3cost.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

23

Из круга вырезан сектор с центральным углом a. Из оставшейся части круга свернута воронка. При каком значении угла а вместимость воронки будет наибольшей? Радиус круга равен R.

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =5xe−x;	y =	x	.
		3
		(x +1)

Вариант 21

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

	1	x		2	x;	y =	2	y =log3	1	.
y =	3		;	y =cos			3−x ;		x

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

		2	x ≤2,		1
		4−x ,
	f (x) = 2−x,		2 px ≤π,	f (x) =		.
					1
			x fπ;		x −2
	tgx,

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim		x	;	lim	3− 2x +1				;
		+4				x −4
x→∞ x2				x→4
lim(1+tgx)ctgx ;				lim		x2	;
					1−cos2x
x→0				x→0

4. Найти производные функций.

2x lim ;

x→∞1− 1−x

lim1−cos x.

x→π2 x

y = 3 1+sin2x; u =4sin(3t −2); y =	1+x	; y =e−2xtg3x;
	x

x =t lnt,

y =t +lnt.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

24

Решеткой, длина которой 200 м, огораживают прямоугольный земельный участок, примыкающий одной стороной к реке. Какими должны быть размеры участка, чтобы площадь его была наибольшей? 6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

−x			4x3 −x4
y =5xe	;	y =		.
			8

Вариант 22

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

y =2	−8x2; y =−cos	x	;	y =	1−x	;	y =log1			(x+1).
					x
	2
							2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	−x
		,		x p0,
	2
						π			1
f (x) =	2,		0 ≤x ≤				,	f (x) =−		.
						4			x
				π
			x ≥		;
tgx,				4

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

7x2 −6

;

lim

x −2

−1

;

lim

3x2 −x−2

;

7x2 +6

x −3

x2 −1

x→∞

x→3

x→1

1

2x

xsin x

1 x

lim 1+

;

lim

;

lim 1+

.

x

1−cos

2x

x→∞

x→0

x→1

2x

4. Найти производные функций.

25

		1		sin x		3
y =	cos2x; u =	3sin(3t −1);	y =	2x	;	y =x ln x;

x =2sin3t,y =3cos2t.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Из кругового сектора с центральным углом а и радиусом 5 см свернута воронка. При каком значении а вместимость (объем) воронки будет наибольшей?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =1+e−x2 ; y = xx+21.

Вариант 23

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

−x		1		2
y =e	−1; y =−		sin2x;	y =		;	y =2ln x.
		2			x

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

		2,	x p0,
					1
	f (x) =	x,	0 ≤x p2,	f (x) =			.
					x −2
		2x −1,	x ≥2;

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

3x2 −7x +4

;

lim

x −2 −

2

;

x2 −1

x −4

x→∞

x→4

1

x+1

cos3x −1

lim 1−

;

lim

;

x

2

x→∞

x→0

x

4. Найти производные функций.

2x2 −9x+4 lim x2 x 20 ; x→4 + −

2x lim . x→π 1−cos x

26

	y = 4 cos2x; u =	3 cos(2t −5);	y =	3x2		; y =sin 2x ln x;
				x −1
		2

x =cos2 t,

y =sin2 t.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Нужно изготовить закрытый железный бак в форме цилиндра вместимостью 16 куб. м. При каких значениях высоты H и радиуса основания R потребуется наименьшее количество жести?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =33 x − x; y =16(x3 −12x+2).

Вариант 24

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

x		x			2
y =2+2 ;	y =sin			; y =	4−x	; y =−ln x.
		2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

2

+2x −8,

x ≤0,

x

π

1

f (x) = 1−2x,

0 px ≤

,

f (x) =

.

2

x +3

π

x f

;

cos x,

2

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim	3x2 −6x +1	;	lim	x2 −4	;	lim	x2 +2x+1	;
				x −2
x→∞	x2 +7		x→2			x→−1	x2 +x

27

sin x

1

x

1−cos2x

sin2x

lim 1+

;

lim

1−cos x

;

lim

x +1

.

x→∞

2x

x→0

x→0

4. Найти производные функций.

y = 3

1−x

;

u =

3

cos(4t −2); y =ln2

(2x−3);

y =ecosx sin

x

;

1+x

4

2

= t

x cos 2,

y =t −sint.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

При каких размерах консервной банки вместимостью 1000 куб. см на ее изготовление пойдет наименьшее количество материала?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =	1	+	2		; y =x +e−x.
	2		x
	x

Вариант 25

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

		1	x		x			1		2	1
	y =−			; y =cos			; y =		4	−x ; y =ln	x	.
		2			2			2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	2			1
	x −6x +8, x p2,
	f (x) = x −2,	2 ≤x ≤π,	f (x) =			.
				x −0,5
	tgx,	x fπ;

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim	6x2 +5x −1				;	lim	1− 1−x			;
x→∞	3x2 −x +1					x→0		3x
		1		2x				sin3x
lim 1+				;		lim			;
		x
x→∞						x→0 sin 2x
									28

lim3x2 −14x−5;

x→5 x −5

limπ −x.

x→π2

	4. Найти производные функций.	1+tgx
	y = x + x; u =4sin(t2 +1); y =			; y =(2x2	+3x)ln2	x;
		1−tgx

x =2t sint,y =cos2t.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Какими должны быть размеры консервной банки (высота и диаметр основания), чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество жести? Вместимость банки 360 куб. см.

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =x +	27	; y =xln x.
	3
	2x

29

Учебное издание

Составители:

Калинина Лилия Михайловна Волошина Марина Сергеевна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Индивидуальные задания

Редактор

Изд. лиц. № 01439 от 05.04.2000 г. Подписано в печать		г.
Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Ризография.
Усл. печ. л. . Уч.-изд. л.	. Тираж 10 экз. Заказ	.

Сибирский государственный индустриальный университет 654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42.

Издательский центр СибГИУ

30