Линейные электрические цепи (РГР1)

			•				Z
•			U 2,3					3	•
I2	=			=					I1 ;
			Z 2			Z 2	+ Z 3
			•			Z
•		U 2,3						2	•
I3	=			=					I1 .
			Z 3			Z 2	+ Z 3

Все токи ветвей электрической цепи связаны соотношением (на основании первого закона Кирхгофа в комплексной форме):

•	•	•		•	•	•
I1	− I2	− I3	= 0 , или	I1	= I2	+ I3 .

Проверка правильности выполненного расчёта может быть сделана на основании составления баланса мощностей – равенства комплексных, активных и реактивных мощностей источника электрической энергии и приёмников:

S ист.=S приёмн. ; P ист.= P приёмн. ;

Q ист.= Q приёмн. .

Комплексная мощность, отдаваемая источником энергии в электрическую цепь:

•

= U e j φ

− j φ

j

(φ−φ

)

=U I1 e j ϕ =

S ист.= U I1

I1 e

I1

= U I1 e

I1

= U I1 cosϕ +

j U I1 sin ϕ

=

P ист.+ j Q ист. .

I1 e

− j φI

– сопряжённый комплекс тока в источнике.

Здесь I1 =

1

Активная и реактивная мощности приёмников энергии:

P

= R I 2

+ R I 2

+ R I 2

+ R I 2

;

приёмн.

1

1

2

2

3

3

4

1

Q

= (X

L

− X

C

) I 2

+ (X

L

− X

C

) I 2

+

приёмн.

1

2

2

2

1

1

+ (X L

3

− XC

) I32 + (X L

4

− XC

) I12 .

3

4

По найденным комплексным действующим значениям токов ветвей их законы изменения во времени (мгновенные значения) запишутся:

i1(t) =	2 I1	sin (2π f t +φ I1 )			= I1m sin (ω t +φI1 ) ;
i2 (t) =	2 I2	sin (2π f t +φ I		)	= I2m sin (ω t +φI	) ;
			2			2
i3 (t) =	2 I3 sin (2π f t +φI3			)	= I3m sin (ω t +φ I3 ) .

11

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся во времени величины одной частоты для момента времени t = 0 . Топографи-

ческой диаграммой называют такую векторную диаграмму комплексных потенциалов (напряжений), когда каждой точке схемы соответствует определённая точка на векторной диаграмме. Топографическую диаграмму для электрической схемы строят, откладывая на комплексной плоскости векторы комплексных напряжений последовательно для всех элементов цепи, получая комплексные потенциалы всех точек схемы.

Алгоритм построения векторных диаграмм

1.Задаются комплексной плоскостью.

2.Выбирают масштаб тока mi и в этом масштабе на комплексной плоскости из начала координат откладывают найденные комплексные действующие значения токов ветвей (построение векторов на комплексной плоскости удобно выполнять по их проекциям на координатные оси).

3.Определяют комплексные действующие значения напряжений на всех элементах электрической цепи.

4.Обозначают все точки ветвей схемы (буквами или цифрами). Одну из точек схемы принимают за точку нулевого потенциала (эта точка помещается в начало координат комплексной плоскости). Определяют комплексные действующие значения потенциалов всех остальных точек схемы по отношению к точке с нулевым потенциалом.

5.Выбирают масштаб напряжений (потенциалов) mu и в этом масштабе последовательно на комплексной плоскости строят комплексные потенциалы всех точек схемы.

Примечание – При построении топографической диаграммы целесообразно выбирать последовательность построения такой, чтобы обход пассивных элементов схемы осуществлялся против направления тока в них. В этом случае потенциалы следующих точек возрастают на величину падения напряжения на соответствующем элементе и на диаграмме вектора напряжений суммируются (в противном случае потенциалы уменьшаются и вектора напряжений необходимо вычитать).

12

Пример 1

Исходные данные группового варианта (по данным таблицы 1) приведены в таблице 5, а исходные данные индивидуального варианта задания (по данным таблицы 2) приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Переводные коэффициенты варианта задачи

кR

кL

кС

Отсутствуют

Отсутствуют

Определить

№

элементы в

источники

ток

цепи

схеме рисунка 1

в схеме

в схеме

и рисунка 2

рисунка 2

рисунка 2

0

0,90

1,00

1,40

L3, L4, C4

e2, e4

i4

Таблица 5 – Базовые параметры элементов варианта задачи

Um,

φ,

R10,

R20,

R30,

R40,

L10,

L20,

C10,

C20,

C30,

B

град

Ом

Ом

Ом

Ом

мГн

мГн

мкФ

мкФ

мкФ

212,13

– 30

30

40

50

10

35

89,13

90,95

162,4

41,34

Для рассматриваемого варианта схема заданной электрической цепи показана на рисунке 5.

Рисунок 5 – Расчётная схема электрической цепи

Активные и реактивные сопротивления элементов электрической цепи токам заданной частоты f = 50 Гц с учётом значений переводных

13

коэффициентов параметров элементов определятся:

R1

= kR R10 = 0, 90 30 = 27,0 Ом;

R 2 = kR R 20 = 0, 90 40 =36,0 Ом;

R 3 = kR R30

= 0, 90 50

= 45,0 Ом;

R 4 = kR R 40

= 0, 90 10

= 9,0 Ом;

X L

=ω L1 =ω kL L10 = 2π 50 1,00 35, 0 10−3 =11, 0 Ом;

1

= 2π 50 1,00 89, 13 10−3 = 28, 0 Ом;

X

=ω L

2

=ω k

L

L

L2

20

XС

=

1

=

1

=

1

= 25, 0 Ом;

ω С1

2π f kC С10

2π 50

1,40 90, 95 10−6

1

XС

=

1

=

1

=

1

=14, 0 Ом;

ω С2

2π 50 1,40

162, 4 10−6

2

2π f kC С20

XС

=

1

=

1

=

1

=55, 0 Ом.

3

ω С3

2π f kC С30

2π 50 1,40

41, 34 10−6

Комплексные сопротивления ветвей цепи (рисунок 3):

Z	1	= R	+ j(X		L	− X	C		) = 27 + j (11 − 25) = 27 − j 14 =30, 414 e− j27,41o Ом;
		1
					1		1		) =36 + j (28 −14) =36 + j 14 =38, 626 e j21,25o Ом;
Z 2		= R2	+ j (X L			− X C		2
					2
Z	3	= R	− j X	C3		= 45 − j 55 = 71, 063 e− j50,71o Ом;
		3
Z	4	= R =9 =9, 0 e j0o Ом.
		4

Эквивалентное комплексное сопротивление участка электрической цепи с параллельным соединением ветвей (рисунок 4) определится:

Z 2,3 =

Z

2

Z

3

=

38, 626 e j21,25o

71, 063 e− j50,71o

=

2744, 88 e− j29,46o

=

Z 2 + Z 3

(36

+ j 14)

+(45 − j 55)

81

−

j 41

=2744, 88 e− j29,46oo = 30, 235 e− j2,61o = (30, 204 − j 1, 377) Ом. 90,785 e− j26,85

Эквивалентное комплексное сопротивление всей электрической

цепи:

Z = Z1 + Z 2,3 + Z 4 = 66, 204 − j 15, 377 = 67, 966 e− j13,08o Ом.

14

Комплексное действующее значение напряжения на входе цепи:

•	Um	e	j φ	=	212, 13	e	j (−30o)	=150 e	− j 30o	= (129, 904	− j 75, 0) В.
U =	2				2

Комплексные действующие значения токов ветвей цепи:

•

•

− j30o

= U =

150 e

= 2, 207 e− j16,92o = (2, 111− j 0, 642) А.

I1

o

Z

67, 966 e− j13,08

•

•

e− j2,61o 2, 207 e− j16,92o = 66, 729 e− j19,53o B.

U 2,3 = Z 2,3 I1 =30, 235

•

•

− j19,53o

U 2,3

66, 729 e

=1, 728 e− j40,78o = (1, 308 − j 1, 128) А;

I2

=

=

Z 2

38, 626 e j21,25

o

•

•

− j19,53o

=U 2,3

66, 729 e

= 0, 939 e j31,18o = (0, 803 + j 0, 486) А.

I3

=

o

Z 3

71, 063 e− j50,71

Проверка найденных значений токов по первому закону Кирхгофа:

•

•

= (1, 308 − j 1,128)+ (0, 803 + j 0, 486)= 2,111 −

•

I2

+ I3

j 0, 642 =

I1 .

Баланс мощностей источника и приёмников:

S ист.=S приёмн. ;

P ист.= P приёмн.;

Q ист.= Q приёмн..

Комплексная мощность, отдаваемая источником энергии в цепь:

•

− j

30o

+ j16,92o

− j13,08o

S ист.=

U

I1 =

150 e

2,207

e

= 331,05

e

=

=331, 05 cos(−13, 08o) + j 331, 05 sin(−13, 08o) = (322, 461 − j 74, 920) ВА.

Таким образом, активная и реактивная мощности, отдаваемые источником электрической энергии в цепь:

		P ист.= 322, 461Вт;					Q ист.= −74, 920 ВАр.
	Активная мощность приёмников энергии:
P	приёмн.	= R I 2 + R	2	I 2	+ R	I 2	+ R	I 2 = 27 2, 2072	+ 36 1, 7282	+
		1 1		2	3	3	4	1

+ 45 0, 9392 + 9 2, 2072 =131, 513 +107, 495 + 39, 677 + 43, 838 = =322, 523 Вт.

15

Реактивная мощность приёмников энергии:

Q приёмн.= (X L1 − XC1 ) I12 + (X L2 − XC2 ) I22 + (−XC3 ) I32 =

=(11 − 25) 2, 2072 + (28 −14) 1, 7282 −55 0, 9392 =

=−68,192 + 41, 804 − 48, 495 = −74, 883 ВАр.

Относительные погрешности выполненного расчёта:

ДP% =

Pист. − Рприёмн.

100% =

0, 062

100% = 0, 0192% < 1% ;

322, 461

Рист.

ДQ% =

Q ист.− Q приёмн.

100% =

0, 037

100% = 0, 0494% < 1% .

Q ист.

74, 920

Расчёт режима электрической цепи выполнен верно, баланс мощностей соблюдается с требуемой точностью.

По найденным комплексным действующим значениям токов ветвей их законы изменения во времени запишутся:

i1(t) = 2 2, 207 sin(ω t −16, 92o) =3,121 sin(314 t −16, 92o) А; i2 (t) = 2 1, 728 sin(ω t − 40, 78o) = 2, 444 sin(314 t − 40, 78o) А; i3 (t) = 2 0, 939 sin(ω t + 31,18o) = 1, 328 sin(314 t + 31,18o) А.

Для построения топографической векторной диаграммы находим напряжения на всех элементах цепи:

•

= R

•

= 27 e j 0o 2, 207 e− j16,92o

=59, 589 e− j16,92o =

U R

I

1

1

1

= (57, 010 − j 17, 343)В;

•

•

=11 e j 90o 2,207

e− j16,92o = 24,277 e j 73, 08o =

U L

= j X L

I1

1

1

= (7,065 + j 23,226) В;

•

= −j X

•

U С

1

С

I = 25 e−j 90o 2, 207 e−j16,92o =55,175 e−j106,92o =

1

1

=(−16, 058− j 52, 787)В;

•

= R

•

=36 e j 0o 1, 728 e− j 40, 78o

= 62, 208 e− j 40, 78o =

U R

2

I

2

2

= (47,105 − j 40, 632) В;

16

•

U L2

•

U С2

•

U R3

•

U С3

•

U R4

				•	e− j 40, 78o = 48, 384		e j49, 22o =
= j X L	2			I2 = 28 e j 90o 1, 728
= (31, 602 + j 36,637) В;
				•
= −j XС				I2 =14 e−j 90o 1,728 e−j 40,78o = 24,192 e−j130,78o =
		2
=(−15,801− j 18,319) В;
	•			= 45 e j 0o 0,939 e j 31,18o = 42,255 e j 31,18o =
= R I		3
3
= (36,151 + j 21,877) В;
				•		e j 31,18o =51,645 e− j 58,82o =
= − j XС			3	I3 =55 e− j 90o 0,939

=(26,738 − j 44,185) В;

=R4 I•1 =9 e j 0o 2, 207 e− j16,92o =19, 863 e− j16,92o =

=(19, 003 − j 5, 781) В.

За точку нулевого потенциала принимаем точку наименьшего потенциала схемы – точку « а », таким образом:

ϕ• a = 0 .

Тогда комплексные потенциалы точек схемы определятся:

•

•

•

=19, 003 − j 5, 781 =19, 863 e− j 16,92o В;

ϕ

b

=ϕ

a

+U R

4

•

•

•

=3, 202 − j 24,100 = 24, 312 e− j 82, 43o В;

ϕ

c

=ϕ

b

+U C

2

•

•

•

=50, 307 − j 64, 732 =81,982 e− j 52,15o В;

ϕ

d

=ϕ

c

+U R

2

•

•

•

=81, 909 − j 28, 095 =86,593 e− j18,93o В;

ϕ

e

=ϕ

d

+U L

2

•

•

•

= 65, 851 − j 80, 882 =104,299 e− j 50,85o В;

ϕ

f

=ϕ

e

+U C

1

•

•

•

=122, 861 − j 98, 225 =157,299 e− j 38, 64o В;

ϕ

g

=ϕ

f

+U R

1

•

•

•

=129, 926 − j 74, 999 =150, 019 e− j 30o

•

ϕ

h

=ϕ

g

+U L

В= U ;

1

•

•

•

=55,154 + j 16, 096 =57,455 e j16, 27o

В.

ϕ

m

=ϕ

b

+U R

3

По найденным напряжениям на элементах цепи и комплексным потенциалам точек схемы строится для электрической цепи в масштабе топографическая векторная диаграмма напряжений.

17

Векторная диаграмма токов и топографическая векторная диаграмма напряжений для заданной цепи (рисунок 5) показана на рисунке 6.

Рисунок 6 – Векторная диаграмма токов и топографическая векторная диаграмма напряжений

Методические указания к решению задачи 2

Исходная цепь синусоидального тока (рисунок 2) содержит несколько источников энергии (один из них – источник тока). Цепь имеет три узла (у = 3) и пять ветвей (в = 5), причём одна из ветвей электрической цепи содержит источник тока (вит = 1).

Метод узловых напряжений (потенциалов) основан на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома. По методу узловых напряжений составляются уравнения для узловых напряжений, при условии, что один из узлов цепи принимается за опорный. (По методу узловых потенциалов опорный узел заземляется, его потенциал принимается равным нулю, а уравнения составляются для относительных потенциалов остальных узлов). Число уравнений, которые должны быть составлены для цепи по методу узловых напряжений (потенциалов) на единицу меньше числа узлов (у – 1 = 2).

18

В общем виде по методу узловых напряжений уравнение для k-того узла электрической цепи запишется:

•

Y

−

у−1

•

Y

•

+ ∑

•

,

U к0

кк

∑

U l0

кl

= ∑ J

к

Eк Y

кl

l=1

к

к

l≠к

••

где U к0 ,…, U l0 – напряжения узлов электрической цепи по отношению к узлу, выбранному за опорный (индекс « о »);

Y кк	= у∑−1Y кl = у∑−1		1	– собственная узловая проводимость
	l=1	l=1 Z кl
	l≠к	l≠к
узла	« к », равная арифметической сумме комплексных прово-
димостей ветвей, присоединённых к этому узлу;
Y кl =Y lк		– общая узловая проводимость узлов « к » и « l »,

равная арифметической сумме комплексных проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы;

•

∑к Jк – алгебраическая сумма комплексных действующих зна-

чений токов источников тока ветвей, подходящих к узлу « к »;

	•	– алгебраическая сумма произведений комплекс-
∑ Eк Y кl
к

ных действующих значений ЭДС источников ветвей, сходящихся в узле « к », на комплексную проводимость этих ветвей.

Примечание – Если положительные направления ЭДС или токов источников тока направлены к узлу, то составляющие для них записывают со знаком « плюс » (в противном случае – со знаком « минус »).

Решая полученную систему уравнения, определяют узловые напряжения относительно опорного. После определения узловых напряжений для ( у – 1) узлов электрической цепи по закону Ома найдутся токи ветвей цепи.

Для ветви, расположенной между узлами « k » и « действующее значение тока определится:

	•	•
•
I k l =	U k l± Ek l		.
		Z k l
В уравнении по закону Ома:		•	•	•
		U k l =U k 0		−U l0

l», комплексное

–комплексное

19

•

напряжение между началом и концом ветви; Ek l – комплексное дейст-

вующее значение ЭДС источника – записывается со знаком « плюс » при совпадении положительного направление ЭДС в ветви с положительным

•

направлением тока в ветви I k l; Z k l – комплексное сопротивление ветви.

Заданная цепь (рисунок 2, рисунок 7) имеет три узла, следовательно, по методу узловых напряжений для цепи необходимо составить два уравнения для узловых напряжений (у – 1 = 2). Если в качестве опорного принять узел 3 схемы, то система уравнений для цепи по методу узловых

•

•

напряжений для узловых напряжений U13 , U 23 запишется:

•

•

•

•

•

Y

11

U13

− Y12 U 23 =

E1 Y1 +

E2 Y 2 − E4 Y 4 ;

•

•

•

•

•

U13

+ Y 22 U 23 = J + E3 Y 3 + E4 Y 4

−Y 21

Собственные узловые проводимости для узлов цепи (два одинаковых

индекса):

1

1

1

Y11

=Y1 +Y 2 +Y 4 =

+

+

;

Z1

Z 2

Z 4

Y 22

=Y 3 +Y 4 =

1

+

1

.

Z 3

Z 4

Общие узловые проводимости цепи (два различных индекса):

Y12 =Y 21 =Y 4 =

1

.

Z 4

Решение полученной системы уравнений определит значения узло-

••

вых напряжений цепи: U13 и U 23 .

Токи в ветвях цепи определятся на основании закона Ома:

•

−

•

•

•

•

U 13 + E1

I1

=

Z1

= Y 1 −U 13 +

E1

;

•

•

•

•

•

− U 13

+ E 2

= Y

;

I 2

=

Z 2

2

−U 13

+ E

2

•

•

•

•

•

− U 23

+ E3

= Y

I 3

=

Z 3

3

−U 23

+ E3 ;

•

•

•

•

•

•

•

•

•

=

U12 + E4

=

U13

−U 23 + E4

=Y 4

I 4

Z 4

Z 4

U13

−U 23

+ E4 .

20