Линейные электрические цепи (РГР1)

В общем виде уравнение по методу контурных токов для k-того контура электрической цепи запишется:

•	N		•		•
I кк Z кк +	∑	I ll Z кl			= Eкк,
	l=1
	l≠к

где N – число независимых контуров электрической цепи, определяемое соотношением: N =[в−вИТ −(у −1)];

••

I кк ,	I ll – контурные токи независимых контуров цепи;
Z кк	– собственное сопротивление контура « к » с контурным

•

током I кк , равное арифметической сумме комплексных сопро-

тивлений ветвей, входящих в рассматриваемый контур;

Z кl = Z lк – общее сопротивление смежных контуров с

••

контурными токами I кк и I ll, равное арифметической сумме

комплексных сопротивлений ветвей, расположенных между соответствующими контурами (эти сопротивления положительны, если направления контурных токов смежных контуров в них совпадают, и отрицательны – если не совпадают);

•

Eкк – контурная ЭДС, равная алгебраической сумме комплекс-

ных действующих значений ЭДС источников, входящих в контур (ЭДС положительны, если их направления совпадают с направлением собственного контурного тока).

Примечания – 1. Обход контура выбирается совпадающим с направлением собственного контурного тока.

2. Если электрическая цепь содержит источники тока, то ветви с источником тока включают в дополнительный контур с известным контурным током, уравнение для которого не составляется.

На основании метода контурных токов для заданной электрической цепи (рисунок 2, рисунок 7) необходимо составить два уравнения

	•	•
[N =в−вИТ − (у −1)= 2] для неизвестных двух контурных токов I11 и		I 22 .
Ветвь с источником тока включается в дополнительный контур,		кон-
•	•
турный ток которого известен и равен току источника тока: I 33	= J .

21

Задаёмся независимыми контурами, указываем в них произвольно направления их контурных токов (рисунок 7).

Составляем уравнения для контуров электрической цепи по методу контурных токов:

		•		•		•		•
	Z11	I11	+	Z12 I 22	+	Z13 I 33	=	E11;
		•		•		•		•
		I11	+ Z 22 I 22		+ Z 23 I 33 = E22 .
	Z 21

Рисунок 7 – Расчётная схема цепи с несколькими источниками энергии

Собственные сопротивления контуров (два одинаковых индекса):

Z11 = Z1 + Z 2 ;

Z 22 = Z 2 + Z 3 + Z 4.

Общие сопротивления смежных контуров (два различных индекса):

Z12 = Z 21 = Z 2 ;

Z13	= 0;
Z 23 = − Z 3.
Контурные ЭДС:
•	•	•
E11	= E1− E2 ;
•	•	•	•
E22	= E3	− E4	− E2 .

22

Для определения контурных токов в электрической цепи (рисунок 7)

• •

имеем систему уравнений (с учётом того, что I 33 = J ):

		(Z1 + Z 2 )	•		•		•	•
			I11	+	Z 2 I 22	=	E1	− E2 ;
		•				•		• •	•	•
		Z 2 I11 +		(Z 2 + Z 3 + Z 4 ) I 22 = E3 − E4 − E2 + Z 3 J .

Решение системы уравнений относительно контурных токов можно найти с помощью программы компьютерной математики MathCAD:

•

•

A:=

Z1 + Z 2

Z 2

;

B :=

E1

− E2

;

Z 2

Z 2 + Z 3 + Z 4

•

•

•

•

E3

− E4 − E2 + Z 3 J

•

I

kk

:= A−1 B;

I

kk

=

I11

.

•

I 22

По найденным контурным токам определятся токи в ветвях электрической цепи:

•		•
I1	= I11 ;
•		•	•
I 2		= −I11	− I 22 ;
•		•	•
I 3		= I 22 − J ;
•		•
I 4		= −I 22 .

Метод эквивалентного генератора основан на теореме об эквивалентном генераторе (теореме об активном двухполюснике): активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви можно заменить эквивалентным источником напряжения, ЭДС которого равна напряжению

холостого хода на зажимах активного двухполюсника		•	•		,
	E э =U х.х.

а внутреннее сопротивление которого равно входному сопротивлению пассивного двухполюсника, полученного из исходного активного двухполюсника исключением источников энергии при сохранении их внутренних сопротивлений [Z вн. = Z вх ].

23

Таким образом, сложную разветвлённую цепь по отношению к ветви

•

с сопротивлением Z к и током I к можно рассматривать как эквивалентный генератор (ЭГ) (рисунок 8).

Рисунок 8 – Теорема об эквивалентном генераторе

Ток в рассматриваемой ветви на основании метода эквивалентного генератора определится по формуле:

	•		•			•
			E э			U х.х.
	I	к =			=		,
			Z вн.	+ Z к		Z вх + Z к

•

где U хх – напряжение холостого хода на зажимах двухполюсника при отключенном сопротивлении ветви с искомым током (Z к = ∞), взятое по направлению совпадающим с направлени-

•

ем тока ветви I к; Z вх. – входное сопротивление пассивного

двухполюсника относительно зажимов, к которым подключено сопротивление Z к в ветви с искомым током (при этом ис-

точники энергии исключаются: источники ЭДС закорачиваются при сохранении в схеме их внутренних сопротивлений, а ветви с источниками тока разрываются).

24

Пример 2

Исходные данные группового варианта (по данным таблицы 1) приведены в таблице 7, данные индивидуального варианта задания (по данным таблицы 2) приведены в таблице 6, параметры источников энергии (по данным таблицы 3) приведены в таблице 8.

Таблица 6 – Переводные коэффициенты варианта задачи

№

кR

кL

кС

Отсутствуют

Отсутствуют

Определить

элементы в

источники

ток

цепи

схеме рисунка 1

в схеме

в схеме

и рисунка 2

рисунка 2

рисунка 2

0

0,90

1,00

1,40

L3, L4, C4

e2, e4

i4

Таблица 7 – Базовые параметры элементов варианта задачи

Um,

φ,

R10,

R20,

R30,

R40,

L10,

L20,

C10,

C20,

C30,

B

град

Ом

Ом

Ом

Ом

мГн

мГн

мкФ

мкФ

мкФ

212,13

– 30

30

40

50

10

35

89,13

90,95

162,4

41,34

Таблица 8 – Параметры источников энергии варианта задачи

Em1 ,

шe1 ,

Em3 ,

шe3 ,

Jm ,

шj ,

В

град

В

град

A

град

150

– 45

198

120

10

90

Для рассматриваемого варианта задачи схема заданной электрической цепи имеет вид, показанный на рисунке 9.

Рисунок 9 – Схема цепи с несколькими источниками энергии

25

Сопротивления элементов электрической цепи:

R1 = kR R10 = 0,90 30 = 27,0 Ом;

R2 = kR R20 = 0,90 40 =36,0 Ом;

R3 = kR R30 = 0,90 50 = 45,0 Ом;

R4 = kR R40 = 0,90 10 =

9,0 Ом;

X

L

=ω L =ω k

L

L

= 2 π 50 1,00 35,0 10−3 =11,0 Ом;

1

10

1

= 2 π 50 1,00 89,13 10−3 = 28,0 Ом;

X

L2

=ω L

=ω k

L

L

2

20

XС

=

1

=

1

=

1

= 25,0 Ом;

ω С1

2π f kC С10

2

π 50

1,40 90,95 10−6

1

XС

=

1

=

1

=

1

=14,0 Ом;

ω С2

2

π 50

1,40 162,4 10−6

2

2π f kC С20

XС

=

1

=

1

=

1

=55,0 Ом.

3

ω С3

2π f kC С30

2

π 50

1,40 41,34 10−6

Комплексные сопротивления ветвей цепи (рисунок 10):

Z	1	= R	+ j (X		L		− X	C		) = 27 + j (11 − 25) = 27 − j 14 =30,414 e− j27,41o Ом;
		1
						1			1	) =36 + j (28 −14) =36 + j 14 =38,626 e j21,25o Ом;
Z	2	= R	+ j (X			L2	− X		C
		2								2
Z	3	= R	− j X	C3			= 45 − j 55 = 71, 063 e− j50,71o Ом;
		3
Z	4	= R =9 =9,0 e j0o Ом.
		4

Комплексные проводимости ветвей цепи:

Y1 = 1 =32, 880 10−3 e j27,41o = (29,189 + j 15,136) 10−3 См;

Z1

	Y 2	=		1		= 25, 889 10−3 e− j21,25o =(24,129 − j 9, 383) 10−3 См;
				Z 2
	Y 3	=		1		=14, 072 10−3 e j50,71o =(8, 911 + j 10, 891) 10−3 См;
				Z 3
	Y 4	=		1		= 0,111111 e j0o =111,111 10−3 См.
				Z 4

Комплексные действующие значения ЭДС источников энергии и тока источника тока:

•		Em1	e j φe1		150	e− j45o	=106, 066 e− j45o	=(75 − j 75)В;
E1	=			=
		2			2

26

•

Em3

e j φe3

198

e j120o

=140, 0 e j120o

=(− 70, 0 + j 121, 24)В;

E3

=

=

•

Jm

2

10

2

=

e j φ j

=

e j 90o = 7, 071 e j 90o = j 7, 071А.

J

2

2

Расчётная схема электрической цепи приведена на рисунке 10.

Рисунок 10 – Расчётная схема электрической цепи

При условии, что опорным является узел 3 (узел 0), уравнения по методу узловых напряжений для электрической цепи (рисунок 10) для

узловых напряжений	•		•	•	•		запишутся:
	U13 =U10 ;U 23				=U 20
			•		•		•
	Y	11	U10	− Y12	U 20	=	E1	Y1 ;
			•		•		•	•
			U10 + Y 22		U 20 = E3 Y 3 + J .
−Y 21

Собственные узловые проводимости для узлов электрической цепи:

Y11 =Y1 +Y 2 +Y 4 =(29,189 + j 15,136) 10−3 + (24,129 − j 9, 383) 10−3 + +111,111 10−3 =(164, 429 + j 5, 753) 10−3 = 0,16453 e j 2,0o См;

Y 22 =Y 3 +Y 4 =(8, 911 + j 10, 891) 10−3 +111,111 10−3 =

=(120, 022 + j 10, 891) 10−3 = 0,120515 e j 5,18o См.

27

Общие узловые проводимости цепи:

Y12 =Y 21 =Y 4 = 0,111111 e j 0o См.

Узловые токи электрической цепи (правые части уравнений):

•		=106, 066 e− j 45o 32, 88 10−3 e j 27,41o =3, 4875 e− j17,59o А;
E1 Y1
•			•	= 140 e j120o 14, 072 10−3 e j 50,71o + j 7, 071 = j 7, 071
E3	Y 3	+	J		+

+ (−1, 94424 + j 0, 31803)= −1, 94424 + j 7, 38903 = 7, 6405 e j104,74o A.

••

Узловые напряжения U10 и U 20 определятся решением полученной системы уравнений:

	0,164530 e j 2		o		•
				U10
		j 0o			•
	− 0,111111 e
					U10

−	0,111111 e j 0	o		•	=3, 4875		e− j17,59	o	;
				U 20
+	0,120515 e j 5,18		o	•		=7,6405	e j104,74	o	.
				U 20

Решение системы уравнений относительно узловых напряжений выполним с помощью программы компьютерной математики MathCAD:

A :=

0.16453

e j 2 deg

−

0.111111 e j 0 deg

;

−0.111111 e j 0 deg

0.120515 e j 5.18 deg

B :=

3. 4875

e− j 17.59 deg

;

7. 6405

e j 104.74 deg

Uk0 := A−1 B;

Uk0 =

54.084 + 81.429 i

.

45.909 + 132.785 i

Таким образом, узловые напряжения электрической цепи:

•	= 54,084		+ j 81,429 =97,754 e j 56, 41o ;
U10
•		= 45,909	+ j 132,785=140,497 e j 70, 93o .
U 20

28

По найденным узловым напряжениям определятся на основании закона Ома токи в ветвях электрической цепи:

•	= Y1		•	+	•				o	[−(54, 084 + j 81, 429)+
I1		−U10			E1 =32, 88 10−3 e j 27,41
				+ (75 − j 75)] = 5,189 e− j 54,97o =(2, 978 − j 4, 249)A;
•	= Y 2		•					o		o
I 2		−U10		= 25, 889 10−3 e− j 21,25					[−97, 754 e j 56,41 ]=
				= 2, 531 e− j144,84o = (− 2, 069 − j 1, 457)A;
•	= Y 3		•	+	•				o	[−(45, 909 + j 132, 785)+
I 3		−U 20			E3 =14, 072 10−3	e j 50,71
		+ (− 70, 0 + j 121, 24)] =1, 639 e− j123,60o =(− 0, 907 − j 1, 365)A;
•	= Y 4		•	•		o	[(54,084 + j 81,429)−
I 4		U10 −U			20 = 0,111111 e j 0
	−(45,909 + j 132,785)] =5, 778 e− j 80,96o									=(0, 908 − j 5, 706)A.

Баланс комплексных, активных и реактивных мощностей источников электрической энергии и приёмников запишется:

S ист. = S приёмн. ;	Pист.	= Pприёмн.;			Qист. =Qприёмн. .
Комплексная мощность источников энергии:
	•		•		•
S ист. = S1 + S 3 + S J	= E1 I1		+ E3	I 3	+U 20	J =
=106, 066 e− j45o 5,189 e+ j54,97o		+140, 0 e j120o 1, 639 e+ j123,60o +

+140, 497 e j70,93o 7, 071 e− j90o =

=(542,065 + j 95, 288)+ (−102,026 − j 205, 530)+ (938, 934 − j 324, 584)= = (1378, 973 − j 434, 826)BA.

Активная и реактивная мощности источников энергии:

Pист. =1378, 973 Вт; Qист. = −434,826 ВАр.

29

Активная мощность приёмников энергии:

Pприёмн. = R1 I12 + R2 I22 + R3 I32 + R4 I42 =

=27 5,1892 + 36 2, 5312 + 45 1, 6392 + 9 5, 7782 =

=726, 994 + 230, 615 +120, 884 + 300, 468 =1378, 961 Вт.

Реактивная мощность приёмников энергии:

Qприёмн. = (X L1 − XC1 ) I12 + (X L2 − XC2 ) I22 + (−XC3 ) I32 =

=(11 − 25) 5,1892 + (28 −14) 2, 5312 −55 1, 6392 =

=−376, 960 +89, 683 −147, 748 = −435, 025 ВАр.

Относительные погрешности выполненного расчёта:

ДP% =		Pист. − Рприёмн.				100% =		0, 012			100% = 0, 0009% < 1% ;
			Рист.				1378, 973
ДQ% =		Q ист.− Q приёмн.				100% =	0, 199				100% = 0, 046% < 1% .
			Q ист.				434, 826

Расчёт режима электрической цепи выполнен верно, баланс мощностей соблюдается с требуемой точностью.

На основании метода контурных токов для заданной электрической цепи (рисунок 10) необходимо составить два уравнения

[N =в−вИТ − (у −1)= 2]	•	•
	для неизвестных контурных токов I11 и	I 22 .

Ветвь с источником тока включена в дополнительный контур, контурный

					•	•
	ток которого известен и равен току источника тока: I 33 = J .
	Задаёмся независимыми контурами, указываем в них направления
	контурных токов (рисунок			10). Уравнения	для	контуров по методу
					•	•
	контурных токов запишутся (с учётом того, что I 33 = J ):
		•		•	•
	(Z1 + Z 2 ) I11		+	Z 2 I 22	= E1;
		•		•	•	•
		Z 2 I11	+	(Z 2 + Z 3 + Z 4 ) I 22 = E3 + Z 3 J .

Собственные сопротивления контуров:

Z11 = Z1 + Z 2 = 63 + j 0;

Z 22 = Z 2 + Z 3 + Z 4 =90 − j 41.

Общие сопротивления смежных контуров:

30