2.3ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Èòàê, теперь можно принять следующее

Определение 2.6. Преобразование Фурье feфункционала f S∂ – это тоже функционал из S∂, действующий по правилу (fe, φ) = (f, φe).

Пример

2.5.

= 1

∞

iξx

(0) = R

( )

= (1

)

δ

. Действительно, (δ, φ) = (δ, φ) = φ

φ x

dx

, φ .

2.6.

e

e

e

(

)

e

e

Пример

,

R R

φ ξ e

.

(F [θ], φ) = (θ, φ) =

dξ

dx . Переставить порядок интегрирова-

0

ния нельзя

поскольку интеграл по x разойдется Однако можно продолжить выклад-

∞

∞

φ(ξ)

· · · = ε→0 0

iR

ε→0

0

Таким образом

R

R

R

ки под знаком предела:

lim

φ(ξ)ei(x+iε)ξdξ

dx = lim

φ(ξ)

ei(x+iε)ξdx dξ =

lim

R

dξ.

2.1

, F [θ] =

.

.

,

ξ−iε

ξ+i0

ε 0

→

Свойства

сохраняются и для обобщенного преобразования Фурье

Проверим

например, второе из них:

(dξd f, φ) = (f, −φ0) = (f, −F [φ0

]) = f, (ix)φ = (ix)f, φ = (F [(ix)f], φ) , ò.å. dξd f =

e

e

e

2.1

e

e

F [(ix)f] .

Доказательство остальных пунктов в

проводится аналогичными рассу-

ждениями.

.

Обратное обобщенное преобразование Фурье можно определить либо как F −1[f(ξ)](x) =

2проверьте−

.

2π

−

e

1

F [f(ξ)]( x) , ëèáî êàê F −1[f(ξ)](x)

1

π

=

F [f(

ξ)](x) . Эти определения эквивалентны

(

e

!).

e

e

Утверждение 2.7. Обобщенное преобразование Фурье инволютивно , F F −1[f] = F −1F f = f (и, следовательно, F 2[f] = 2πf(−x)).

(

−

[

]

) =

−

1

2π

1

−

1

2π

−

F F

1

f

, φ

F

1

[f], φ =

1

F [f](

ξ), φ = f,

1

F [φ(

ξ)] = (f, φ) .

Пример

2.7.

−

e

.

−

2eπ

[1]

e

Имеем F

[1] = δ

Íî F

[1] =

F

F [1] = 2πδ.

Пример 2.8. Найдем F [P x1 ]. Из примера 2.6 имеем, с использованием формул Сохоцкого

1.4.4 , P x1 = −iθ + iπδ

F [P x1

] = −2πiθ(−ξ) + iπ = iπsign(ξ) .

1.2.4 на пробную

Пример 2.9.

e

1

Подействовав левой и правой частью формулы Пуассона

P

P e

функцию φ, можно переписать эту формулу так:

φ(2πk) =

2π

φ(k).

k

k

Обобщенное равенство Парсеваля

—

(f, φ) = (f, F F −1[φ]) = f, F

−1[φ] =

1

f(ξ), φ(−ξ) =

1

f(ξ), φ(ξ)!

. В частно-

2π

2π

ñòè, ïðè f = φ ýòî –

e

e e

.

e

e

классическое равенство Парсеваля

Обобщенное преобразование Фурье свертки

Следует сразу оговориться, что, поскольку в правой части формулы мы ожидаем произведение преобразований Фурье, то один из множителей должен быть классической и гладкой функцией (и притом ”медленного роста”). Для простоты сделаем еще более сильные предположения.

27

Утверждение 2.8. Пусть f K0, ψ K. Тогда F [f ψ] = feψe.

(F [f ψ], φ) = (f ψ, φ) =

f, (ψ, φ(x + y))

. Во внутренних скобках - действие регу-

лярного функционала ψ

e

e

. Поэтому (ψ, φ(x + y)) =

на классическое преобразование Фурье

e

ψ(y)dy

R

e

,

φ(ξ)dξ =

:R

φ(ξ)e

R[

e

ψ(y)dy

dξ = F [φ ψ]. Продолжая

R

=

iξx

iξy

] = (

) = (

ee e

)

iξ(x+y)

начатую це-

e

e

e

почку равенств

получаем ...

f, F φ

ψ

f, φψ

fψ, φ .

2.4МЕТОД ФУРЬЕ ПОСТРОЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В этом разделе мы рассмотрим построение методом Фурье фундаментального решения дифференциального оператора с постоянными коэффициентами .

n

dk

Итак, надо найти решение, удовлетворяющее уравнению LE = δ, где L = k=0 pk

, pk –

dxk

постоянные числа. Применим к обеим частям уравнения преобразование

P.

Фурье

Получим

.

n

L(−iξ)E = 1, ãäå L(λ) – полином L(λ) = k=0 pkλk.

Запишем временно решение

P

= 1

e

L( iξ)

E

уравнения

−

êàê

e

E = ”L(−iξ) ” + общее решение

,

e

1

однородного уравнения

где первое

–

какое либо частное решение

.

Çíàÿ

E,

мы можем найти

E

путем

слагаемое

Обсудим некоторые детали. Âî-первых, упомянутое в

e

применения обратного преобразования Фурье .

предыдущей строке общее решение однородного уравнения – это сумма (с произвольными коэффициентами) δ-функций, сосредоточенных в корнях полинома L(−iξ) (в случае кратных корней в эту сумму входят и производные δ-функций, см. раздел 1.3.2 ). Поэтому обратное преобразование Фурье от общего решения однородного уравнения приведет к сумме (с произвольными коэффи-

циентами) экспонент вида eiξmx, ξm – корни полинома L(−iξ) (в случае кратных корней

– к слагаемым вида xneiξmx). Таким образом, общее решение однородного алгебраическо-

го уравнения L(−iξ)y = 0 и общее решение однородного дифференциального уравнения

	Ly = 0 связаны преобразованием Фурье.					1
		необходимо придать четкий смысл функционалу								выражающему
	Âî-вторых,					”L(−iξ)			”,
		e
	частное решение уравнения				При отсутствии у полинома			L(−iξ)			веществен-
	ных корней выражение 1 L(−iξ)y = 1.
				является гладкой функцией на вещественной оси (кавычки
		L(−iξ)
				e

попросту не нужны), и обратное преобразование Фурье от этого слагаемого следует понимать как классическое (при этом интеграл, как правило, удается вычислить с помощью вычетов). При наличии же вещественных корней у L(−iξ) (пусть ξj – один из таких кор-

ней кратности nj) выражение 1 . Те дроби, L(−iξ) следует разбить в сумму простых дробей

знаменатели которых не обращаются в ноль на вещественной оси , обрабатываются, êàê

сказано выше. Что же касается слагаемых вида ” −1 n ”, ni 6 nj, то их можно понимать

(ξ ξj) i

êàê любую из регуляризаций целочисленных степенных особенностей (ñì. раздел 1.4.3 ).

Например, в качестве такой регуляризации можно взять функционалы P −1 n .

(ξ ξj) i

Напомним, что различные регуляризации могут различаться как раз на общее решение однородного уравнения L(−iξ)ye = 0.

28

Пример 2.10. Рассмотрим два оператора L = −dxd22 ±a2. Преобразованием Фурье получаем

2

2

имеем

1

(для фундаментального решения) (ξ

±a

)E

= 1. В случае знака ”+”

E(ξ) =

ξ2

+a2

+

−

E

R

ξ +e

e

e−a|x|

1

e−iξx

1

ax

1

C2e−

ax

C1δ(ξ

ia) + C2δ(ξ + ia)

(x) =

2π

2

a2

dξ +

2π

C1e

+

2π

(в дальнейшем общее

решение однородного уравнения

).

,

находим

E(x) =

2a .

4 (−sign( )

−

опускаем

Вычисляя интеграл

e2a sin(

1

1

1

пример 2.8) E(x) =

В случае же знака ”-”

ó íàñ E

(ξ)

=

2a

P

ξ−a

− P

ξ+a

(ñì.

i

x e iax + sign(x)eiax) =

1

ax)sign(x).

Пример 2.11. Попробуем решить методом Фурье очень простое уравнение y0 = 1. После преобразования Фурье получаем −iξye = 2πδ(ξ). Найти частное решение делением на ξ в данном случае нельзя, поскольку обобщенную функцию δ(ξ) можно умножать только на гладкие функции. Таким образом, применение метода Фурье наталкивается здесь на трудности (причина которых в том, что правая часть исходного уравнения не убывает). Однако в силу простоты задачи эти трудности , конечно, обходятся. Действительно, легко проверить, что общим решением уравнения −iξye = 2πδ(ξ) является

y(ξ) = Cδ(ξ) + 2π δ0		(ξ)		y(x) =	C	+ x.
e	i			2π

29