Rn

место и в многомерном случае

(2π)n

R − ~ ~

e i<ξ,~x>f(~x)dξ.

1

>

2.1.4 Многомерное преобразование Фурье

Преобразование Фурье в пространстве Rn задается в виде интеграла f(ξ~) = RRn ei<ξ,~x>~	f(~x)d~x,
e

~

ãäå < ξ, ~x

íèå åñòü

означает скалярное произведение n-мерных векторов. Обратное преобразоваВсе перечисленные свойства преобразования Фурье имеют

.

2.2ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА

Начнем с наводящего соображения. Для регулярного функционала f его преобразование Фурье естественно задать как интеграл

(f, φ) = Z Z	f(x)eiξxdx φ(ξ)dξ = Z			f(x) Z	φ(ξ)eiξxdξ dx = (f, φ) .
e		φe K!	Простой пример с финитной			(	õîòÿ è e	)
Однако вовсе необязательно

функцией показывает, что преобразование Фурье может не быть финитным :

Пример 2.2. f(x) =	0,	|x|	> a	f(ξ) = 2sinξaξ .
	1,	x < a		e
		| |

Таким образом, невозможно определить преобразование Фурье для всех функциона-

ëîâ èç K0. Но оказывается возможным сделать это , сузив класс функционалов. Для этого необходимо рассматривать их над более широким пространством пробных функций

(включающим в себя финитные как частный случай ).

2.2.1Пространство основных функций S

Определение 2.3. Введем функциональное пространство S, состоящее из функций φ(x), непрерывно дифференцируемых любое количество раз , φ C∞(−∞, ∞), и таких, что

k, l xkφ(l)(x) → 0. Функции из S будем теперь называть основными (пробными).

|x|→∞

Простейший представитель функции из S – e−x2 .

Очевидно, что K S, т.к. любая финитная функция автоматически попадает в S. Кроме того, 1) S является линейным пространством; 2) произведение функций из S – снова функция из S; 3) более того, в пространство S попадает и произведение φ S на любую гладкую функцию функцию h(x), которая на бесконечности растет, но не быстрее, чем степень, т.е. l |h(l)(x)| 6 Clk|x|k ïðè |x| → ∞.

Определение 2.4. Последовательность функций φn(x) будет называться сходящейся к

íóëþ â

, φn(x)

n

S

0, åñëè xkφn(l)(x) 0

k, l. Соответственно, φn(x)

n

S φ(x), åñëè

S

−−−→

−−−→

S

→∞

→∞

φn(x)

φ(x)

n

0.

−

−−−→

→∞

Пример 2.3.

1 e−x2

S 0.

n

−−−→

n→∞

25

Обсудим в этом параграфе, что пробные функции из S обладают нужным нам свойством:

φe S.

2.2.2 Преобразование Фурье не выводит из

S

1) Из оценки

φ x

)|

C

ïðè

x

ãäå C – некоторая постоянная, вытекает сходимость

интеграла

| (

6 x2

| | → ∞,

φ(x)eiξxdx, ò.å. существование φ(ξ) φ S;

2)

Существование производной любого порядка

φ(l)(ξ) вытекает из возможности предста-

R

e

вить эту производную как

(l)

l

iξx

и оценки

C

ix

φ x

e

dx

|

φ

x

)| 6 xl+2 ;

φ (ξ) = (k

1) ( )

e

(

3) Из свойства 2.1-1, вытекает, ÷òîRξ

−

φ(ξ)

0 при любом k. По той же причине (â

e

|ξ|→∞→

сочетании со свойством 2.1 -2) сказанноеeсправедливо и для φ(l)(ξ).

S

S

Ò î., функция φ(ξ) удовлетворяет всем критериям пробной функции из

, ò.å. F [

]

S.

Â.действительности

:

e

e

Утверждение 2.5. F [S] = S

Противное означало бы, ÷òî φ0 S, которая не может быть

представлена как

1

преобразование Фурье какой-либо функции из

S

. Íî φ

≡

F

−1[φ

(ξ)] =

F [φ (

ξ)] .

2π

0

e0

e0

−

2.2.3Пространство S0 обобщенных функций медленного роста

Определение 2.5. Линейные непрерывные функционалы над S назовем обобщенными функциями медленного роста и обозначим их совокупность через S0.

Очевидно, ÷òî S0 K0, поскольку функционал, определенный на финитных функциях, вовсе не обязан иметь также смысл на более широком классе убывающих функций .

Пример 2.4. Классическая функция ex2 порождает регулярный функционал из K0, íî íå порождает регулярного функционала из S0 (поскольку интеграл R ex2 φ(x)dx расходится

φ S).

Однако регулярный функционал, порождаемый классической функцией xm, попадает в S0 при любом m.

Утверждение 2.6. Åñëè f(x) – локально интегрируемая функция, удовлетворяющая

рывным| | функционалом.	R
ïðè x → ∞ оценке |f(x)| 6 A|x|m, òî (f, φ) =	f(x)φ(x)dx является линейным непре-

По свойствам пробных функций |φ(x)| 6 xCk , где в качестве m можно взять любое число. Возьмем k = m + 2, тогда |f(x)φ(x)| 6 xC2 , откуда и вытекает сходимость интеграла .

Аналогичное рассуждение позволяет доказать и существование интегралов , в которых φ(x) заменена на xkφ(l)(x) при любых k, l, а также стремление этих интегралов к нулю, åñëè xkφ(l)(x) 0

Легко убедиться в том, ÷òî δ, P x1 , θ, ... S0. К функционалам из S0 применимы все те понятия, которые рассматривались в предшествующей главе † (со сверткой дело обстоит

даже несколько проще, поскольку определение сходимости в S не требует существования общего объемлющего носителя у всех функций последовательности ).

Из этого утверждения и предшествующего ему примера становится ясным термин ”обобщенные функ-

циями медленного роста”.

†С той оговоркой, естественно, что умножать можно не на любые гладкие функции , а только на гладкие функции ”медленного роста”.

26