определяет регулярную в правой полуплоскости

0

tz−1dz = 0 по теореме Коши. Следовательно, в силу теоремы

R

∞

при некоторых частных значениях λ она выражается через другие специальные функции . В частности,

R(µ, 1/2) = 1 −	√πµeµ			erfc(µ) , ãäå erfc(z) = √π	∞	e−t	dt −
					Zz
			2	2		2

функция ошибок (интеграл вероятностей).

С точки зрения физических приложений функции Миттаг -Лефлера важно отметить, что затухание, описываемое этой функцией, т.е. ее убывание при µ → ∞, в случае λ < 1 оказывается более медленным (степенным) по сравнению с экспоненциальным. В частности,

				1				1
	R(µ, 1/2)					E(x) x		2√			.
		µ		2µ2
									πpx3/2
			→∞				→∞

III -ФУНКЦИЯ

Исходное определение -функции может быть сделано различными способами . Наиболее распространенным является:

.	∞
Определение Д 3.3. (z) =	e−ttz−1dt .
	R
	0

Интеграл в Ä 3.3 сходится, и при том абсолютно, в полуплоскости Rez > 0. Проинтегрируем (z) по любому замкнутому контуру в правой полуплоскости . В силу абсолютной сходимости можно переставить интегралы по замкнутому контуру и dt. После переста-

новки внутренний интеграл H

Мореры,

Утверждение Д 3.5. интеграл Ä 3.3

функцию.

Аналитическое продолжение

Материал настоящего пункта имеет очевидные аналогии с аналитическим продолжением функционалов xλ± (см. дополнение I).

Интегрированием по частям в определении Ä 3.3

получаем формулу,

являющуюся

одним из основных функциональных свойств (z):

Утверждение Д 3.6. (z + 1) = z (z) , . . . , (z + n) = (z + n − 1)...(z + 1)z (z) .

∞

Пример Ä 3.4. (1) =

e−tdt = 1; (n + 1) = n(n

1)...1 = n!.

в полуплоскость

При помощи

R

можно продолжить

0

−

утверждения Ä

(z)

Rez > −n:

3.6

(z) =

(z + n)

,

Rez > −n .

(Ä 3.9)

(z + n

−

1)...(z + 1)z

Тем самым (z) мероморфна в полуплоскости Rez > −n и имеет там простые полюса в

точках

z

= −

m

m

, , ..., n

− 1.

Нетрудно подсчитать

res (z) =

(n−m)

,

= 0

(n−m−1)...1(−1)...(−m) =

(−1)m

1

z=

−

m

.

m!

VI

Формула (z) (1 − z) = π/ sin πz

При выводе этой формулы достаточно считать z = x, ãäå 0 < x < 1. Тогда по единственности аналитического продолжения формула будет верна всюду .

∞ ∞

t

x dtdτ

τ

Имеем (x) (1 − x) =

e−(t+τ)

t .

Заменой переменных ξ = t + τ, β =

τ

t

R R

∞ ∞

x

∞

x

0

0

R R

(якобиан этой замены равен

1+β

) приводим интеграл к виду

e−ξ

β−

dξdβ =

β−

dβ.

t

, сделаем еще одну

1+β

R:

1+β

0

0

0

Чтобы вычислить последний интеграл

замену переменной

∞

e(1−x)y

2πi

e(1−x)z

π

β

=

e−y

dy =

res

.

Z

1 + ey

1 − e−2πix z=iπ 1 + ez

= sin πx

−∞

Следствие Д 3.1. -функция не имеет нулей. Действительно, правая часть формулы не имеет нулей, т.е. нули одного из сомножителей в левой части были бы возможны только тогда, когда другой сомножитель имел бы в этих точках сингулярность . Но все сингулярности -функции известны, и легко видеть, что в левой части формулы они не сокращаются.

Бесконечное произведение для 1

(z)

Èòàê, (z) мероморфна и не имеет нулей. Поэтому

1

– целая функция, и может быть

(z)

разложена в бесконечное произведение.

1 − nt

n

n e−t мы можем считать

В силу известного предельного соотношения

t

n

n

→∞

t

n

1

n

1

(z) = lim

1

z

1

dt

по частям

lim

R

1

−

z

dt =

=

t

−

=

t

n

→∞ R

n

n

→∞

z

z

− n

· · ·

0

− n

R

0

1

(n−1)!

z+n

1

n!n

Поэтому

= lim

z(z+1)...(z+n−1)

n

−

1

t

−

dt = lim

z(z+1)...(z+n)

.

n

→∞

n

n

→∞

0

1

lim

n−zez(1+ 21 +...+ n1 )

lim

z

n

1 +

z

e− kz

#

=

zeCz

∞

1 +

z

e− kz ,

(z)

k

= n→∞

h

i

n→∞

"

k=1

k

k=1

Y

Y

1

1

существование предела вытекает из регулярности 1

и сходимости бесконечного

). Величина C = 0.57721... носит название посто-

ãäå C = nlim

1 +

2

+ ... + n

− ln n

(z)

→∞

произведения

янной Эйлера.

Функция ψ(z)

Переформулируем выведенные выше свойства -функции

.

0(z)

изводной, известной под названием ψ-функции: ψ(z) =

(z)

ψ(z + 1) = 1

+ ψ(z)

z

ψ(1 − z) − ψ(z) = πctgπz

1

∞

1

1

−

P

ψ

z

) = −z + m=1

res

ψ

z

) = −1

(

m

− z+m ; z= m

(

для ее логарифмической про-

В действительности это – лишь малая часть известной о -функции информации.

VII