ГЛАВА 2

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

2.1КЛАССИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

В этом разделе в справочном виде приводятся основные сведения о классическом преобразовании Фурье. Будем предполагать, что функции, преобразованием Фурье которых мы

будем здесь заниматься, являются достаточно гладкими и достаточно быстро убывающими на бесконечности для того, чтобы над ними можно было выполнять все нижеследующие операции.

Определение 2.1. Преобразованием Фурье функции f(x) называется функция вспомогательной переменной ξ (называемой переменной, двойственной к x), которая определя-

åòñÿ êàê	f(ξ) =. Z	eiξxf(x)dx .
	e

При необходимости, мы будем пользоваться более полным обозначением (вместо fe(ξ)):

F [f(x)](ξ).

Заметим, что преобразование Фурье естественно рассматривать в классе комплексно -

значных функций, ò.ê., вообще говоря, f принимает комплексные значения даже в случае

веществеенно-значной функции f.

e

, например:

Исключение составляют четные функции

Пример 2.1.

Z

F

e−γx2

=

e−γx2+iξxdx

= e− 4ξγ

e−γ(x−i 2ξγ )

dx =

h

i

R +

2

2

i

ξ

∞−

2γ

= r

π

ξ2

= e−

ξ2

2

dz

4γ −∞−i 2ξγ

e−z

γ e−

4γ

R

Отметим следующие свойства преобразования Фурье :

Утверждение 2.1.

1) F [f(m)(x)](ξ) = −

f(m−1)(x)

∂

eiξxdx = · · · = (−iξ)mf(ξ)

∂x

2) F [xmf(x)](ξ) =

i

∂ξ∂

xm−1f(x)eiξxdx =R

= (

i)mf(m)(ξ)

e

−

· · ·

−

e

3) F [f(x − x0)](ξ) =

fR(y)eiξ(y+x0)dy = eiξx0 f(ξ)

4) F [f(x)eiξ0x](ξ) =

Rf(x)ei(ξ+ξ0)xdx = f(ξ + ξ0)

R

e

e

, т.к. предполагается убывание

При интегрировании по частям

внеинтегральные члены не появляются

f (x).

23

F [fe] = 2πf(−x).

Предположим теперь

,

что функция

fe(ξ), в свою очередь, допускает применение к ней

преобразования Фурье.

Определение1

2.2.

.

1

1

iξx

1

fe(ξ) называется

Обратным преобразованием Фурье функции

F − [f(ξ)](x) =

2π F [f(ξ)](−x) ≡

2π Z

f(ξ)e−

dξ ≡ 2π F [f(−ξ)](x) .

e

e

e

e

Теорема 2.1. F −1[fe(ξ)](x) = f(x)

Доказательство этой теоремы фактически известно как ”формула обращения” в теории рядов Фурье и здесь повторяться не будет . Переформулированная в виде F −1F = I (где I – тождественное преобразование) она называется свойством инволютивности преобразования Фурье. В сочетании с определением 2.2 можно также написать

2.1.1Преобразование Фурье классической свертки

Утверждение 2.2. Преобразование Фурье свертки равно произведению преобразований

Фурье:

F [(f g)(x)](ξ) = f(ξ)g(ξ)

F [(f

g)(x)](ξ) =

f(et)g(x

−

t)dt eiξxdx =

f(t)dt

g(x

−

t)eiξx)dx =

f(t)eiξtdt

×

× R

= (

R R

e

R

R

R

( )

e

e

g y eiξy)dx

f ξ)g(ξ) .

2.1.2Равенство Парсеваля

Утверждение 2.3.

R

|f(x)|2 dx = 21π

f(ξ)

2

dξ .

R

e

2

1

f(ξ)e−iξxdξ f¯(x)dx =

1

f¯(x)e−

iξx

1

2

|f(x)|

dx =

2 dx

f(ξ)dξ =

|f(ξ)| dξ .

2π

2π

2 .

2π

Замечание

Если ввести норму функции

R R

то равенство Парсеваля

R

2.1.

R

R

e

e

R

e

φ

k

=

|

φ(x)

|

dx,

можно переписать как

1

k

å

преобразование Фурье обладает свойством

2π kF φk = kφk, ò.1.

R

унитарности (с точностью до множителя

).

2π

2.1.3Соотношение неопределенности

Знаменитое неравенство квантовой механики , известное как соотношение неопределенности, также является одним из свойств преобразования Фурье .

Утверждение 2.4.	R |xf(x)|2dx R |ξf(ξ)|2dξ > π2	R	|f(x)|2dx
	e

Рассмотрим вспомогательную функцию J(t) =. R |txf(x) + f0(x)|2 dx вещественного параметра t. Очевидно, J(t) неотрицательный квадратичный трехчлен по t. Тем самым, его

дискриминант не превосходит нуля, что и совпадает с соотношением неопределенности , если учесть соотношения

		Z	|f0(x)|2dx = 2π Z			(f0)(ξ) dξ =			2π Z		|ξf(ξ)|2dξ
			1					2	1
è	¯	¯									e
					g2
	R xf(x)f0	(x) + xf(x)f0(x) dx = − R |f(x)|					dx .

24