который, очевидно, можно дифференцировать по x любое число раз.

С помощью функции ψ действие функционала f, удовлетворяющего уравнению xf(x) = 0, на произвольную пробную φ, записывается как:

(f, φ) = (f, xψ + φ(0)φ0) = (xf, ψ) + φ(0)(f, φ0) = C(δ, φ) ,

ãäå C = (f, φ0) (напомним, ÷òî φ0(x) была выбрана произвольно) è (xf, ψ) = 0 â ñèëó ψ K. Таким образом, f(x) = Cδ(x) .

Лемма 1.1. Общим решением уравнения xf(x) = g(x) является f(x) = f (x)+Cδ(x), ãäå f (x) — какое-либо частное решение этого уравнения. Разность f −f удовлетворяет x(f − f ) = 0 и поэтому равна Cδ(x)

Следствие 1.2. Обобщенным решением уравнения x2f(x) = 0 является C1δ(x) + C2δ0(x).

По доказанному в утверждении 1.7 xf(x) = Cδ(x). Частное решение последнего уравнения легко ”угадать”:

(xδ0, φ) = (−δ, xφ0 + φ) = −φ(0) = (−δ, φ)

f = −Cδ0. Используя лемму 1.1, после переобозначения произвольных постоянных получаем искомую формулу.

Упражнение 1.3. Докажите (по индукции), что обобщенным решением уравнения xmf(x) =

0 является f(x) = C0δ(x) + · · · + Cm−1δ(m−1)(x).

Пример 1.9. Уравнение x3(x − 1)2y(x) = 0 имеет общим решением A0δ(x) + A1δ0(x) +

A2δ00(x) + B0δ(x − 1) + B1δ0(x − 1)

1.4СТЕПЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ

1.4.1Регуляризация степенных особенностей

Определение 1.17. Регуляризацией функции f(x), имеющей неинтегрируемую особен-

ность вида −1 α , называется функционал (f, φ), который для пробных функций φ(x),

(x x0)

R

равных нулю в окрестности точки x0, выражается интегралом f(x)φ(x)dx .

Сведения, касающиеся регуляризации дробно-степенных особенностей, можно найти в дополнении I. Ниже мы изучим обобщенные решения уравнения xf(x) = 1 (èëè xmf(x) = 1), ò.å. регуляризацию особенностей с целочисленными степенями .

1.4.2Обобщенная функция P x1

Какой функционал ”отвечает” классической функции 1 ?

Интеграл

φ(x)

dx не имеет

смысла из-за расходимости в нуле.

Смысл имеют, например, такие (íî Rне только!) èíòå-

x

x

гралы:

Z

x

R

x

−

Z

V.p.

φ(x)

dx ,

φ(x) − φ(0)

dx , ãäå supp φ(x)

[ R, R] .

−R

1

.

φ(x)

Определение 1.18. P x , φ

= V.p. R

dx

x

12

Предельный переход под знаком интеграла в смысле главного значения нуждается в дополнительном обосновании, поэтому в непрерывности этого функционала проще убе-

диться показав, ÷òî:

1.8. V.p. R

R

Утверждение

φ(x)

φ(x)−φ(0)

x

dx = −RR

x

dx

R

R

R

R

φ(x)

R

φ(x)

R

φ(x)−φ(0)

R

1

причем в первом

,

—

x

x

.

V.p.

x dx = V.p.

dx = V.p.

dx + φ(0) V.p.

−R

x dx ,

−R

−R

интеграле справа знак главного значения можно убрать

а второй

равен нулю

функционала

R

φ(x)−φ(0)

то его непрерывность следует из

Что касается

R

x

−RR

x

dx,

R

x

n→→∞

:

Z

ξn (0,x) (−R,R)

Z

φn(x) − φn(0)

dx

=

xφn(ξn)

dx

0 ,

−R

−R

åñëè

K

φn → 0.

1.4.3Обобщенные решения уравнения xmf(x) = 1

Утверждение 1.9. xP x1 = 1

xP x1

, φ = P x1 , xφ = V.p. φ(x)dx = φ(x)dx = (1, φ)

1

,

R

R

xf(x) = 1 åñòü f(x) = P x +

Таким образом

общее обобщенное решение уравнения

Cδ(x).

R

Какой функционал

отвечает

1

Например

можно написать

−RR

φ(x)−φ(0)

Ïðè-

”

” x2 ?

,R

x

V.p.

x2

dx.

следующему функционалу:

−φ0(0)V.p.−RR

(который равен нулю), приходим к

бавляя к этому интегралу интеграл

dx

1

.

R

φ(x)

φ(0)

xφ0

(0)

Определение 1.19. P

, φ =

R

−

−

dx

(знак главного значения не нужен,

x2

x2

ò.ê. особенность

).

−R

подинтегральной функции устранимая

Утверждение 1.10. x2P

1

= 1

x2

x

P x2 , φ

=

P x2

, x

R x2φ(x)

−

(x2φ(x))

|x2

−

x (x2φ(x))0

|

R

φ = −RR

x=0

dx = −RR φ(x)dx = (1, φ)

2

1

1

2

x=0

Утверждение 1.11. P x1 0

= −P

1

x2

P x

= −V p

x

= − ε→0

−ε

∞

x =

ε

R

−∞

+ ε

φ0(x)

R

R

ε

1 0, φ

. .

dx

lim

−

∞

x2

+

x

x

ε

−

−

∞

x2

=

= − ε→0 −∞ + ε

−ε

ε→0 −∞ ε

lim

R

φ(x)

dx

φ(x)−φ(0)

+

φ(0)

=

lim

R

+

R

φ(x)−φ(0)

dx

R

φ(x) φ(0)

=

V.p.

x2

dx

−

R

−

По аналогии со сказанным, дадим следующее определение:

13