ГЛАВА 4

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

4.1ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ ОПЕРАТОРОВ

| | |~| ~

В этом параграфе будем обозначать r = ~x è ξ = ξ , ãäå ξ - переменные, двойственные к ~x по Фурье.

4.1.1 Волновое уравнение

Рассмотрим уравнение

	∂2	E(~x, t) = δ(~x, t)
	∂t2 − a2

и применим к этому уравнению (многомерное) преобразование Фурье по переменным ~x.

Очевидно, это преобразование перестановочно с ∂t∂ . Кроме того, F~x[δ(~x, t)] = F~x[δ(~x)δ(t)] = δ(t). Поэтому после преобразования получаем

	∂2	E(ξ,~ t) = δ(t) .
	∂t2 + a2ξ2

Таким образом, задача сведена к построению фундаментального решения для одномерного дифференциального оператора, что обсуждалось выше. Находим (ñì. пример 2.11, в котором к ответу можно прибавить любое решение однородного уравнения , â

1

~

sin(aξt)

частности,

sin(ax)): E(ξ, t) =

θ(t). Обращение преобразования Фурье выполняет-

2a

aξ

ñÿ ïî-разному, â

e

:

зависимости от размерности пространства

R1

1

e−iξx

sin(aξt)

1

1

: E(x, t) = θ(t)

dξ =

θ(t) (sign(x + at) − sign(x − at)) =

θ(t)θ(at − |x|)

2π

aξ

4a

2a

(заметим, ÷òî R

”

решение отлично от нуля только внутри так называемого

светового

конуса”: {t > 0; −at < x < at}).

R2: Без доказательства примем, ÷òî

1

θ(at−r)

E(~x, t) = θ(t)

2πa

√

a2t2−r2

(решение отлично от нуля только внутри круга {t > 0; r < at}; амплитуда решения убывает с течением времени).

R3: Для вывода формулы предварительно докажем

Утверждение 4.1. F [δSR (~x)] = 4πRsinξRξ , ãäå δSR (~x) - δ-функция, сосредоточенная на сфере |~x| = R.

39

F [δSR (~x)] , φ(ξ~) = δSR (~x), φ(~x) = SR						φ(~x) dS~x = SR dS~x			ei<ξ,~x>~	φ(ξ~)dξ~ =
=	φ(ξ)dξ e		i<ξ,~x>~	dS~x. Äëÿ	R	R		R
					e	e
R	~	~			вычисления внутреннего интеграла перейдем к сфери-
	sin Rξ	SRR	~			~			π		2π
					SRR				R		R
ческим переменным в пространстве {~x}:						ei<ξ,~x> dS~x	= R2		dϑeiRξ cos ϑ sin ϑ		dϕ =
									0		0
4πR	ξ	, ãäå ξ = |ξ| .

При помощи доказанного утверждения получаем : E(~x, t) = θ(t)4πa1 2t δSat (~x) (решение сосредоточено только на сфере {t > 0; r = at}; амплитуда решения убывает

ñтечением времени).

4.1.2Уравнение теплопроводности

Рассмотрим уравнение

∂	− a2	E(~x, t) = δ(~x, t) .	(4.1)
∂t

Аналогично, применяя

E0 ~ 2 2E ~

e(ξ, t) + a ξ e(ξ, t) = δ(t)

разования Фурье E(~x, t) =

преобразование Фурье по ~x, приходим к одномерной задаче

2π		R		(ξ,~ t) =			θ(t)e−a2ξ2t. Для вычисления обратного преоб-
			e−			−					,
θ(t)			E		~		2	2	t	~
					i<ξ,~x>		a	ξ
			e							dξ заметим что этот интеграл распадается

в произведение (одинаковых) однократных интегралов, каждый из которых вычисляется так же, как и в примере 2.1. В результате:

	θ(t)				e−	r2
E(~x, t) =	√			n		4a2t	,
ãäå n – размерность пространства.	2a πt

Физический смысл полученной формулы состоит в следующем (эффект диффузии): отклик системы, описываемой уравнением теплопроводности , на точечное и мгновенное

возмущение проявляется в ”расплывании” этого возмущения с течением времени.

В тесной связи с полученным результатом находится понятие фундаментального решения задачи Коши для уравнения (4.1) (или других уравнений параболического типа).

Определение 4.1.	Фундаментальным решением задачи Коши для уравнения (4.1) íà-
зывается функция	(~x, t), удовлетворяющая однородному уравнению		∂			a2	G	= 0 è
начальным даннымGG|t=0 = δ(~x) .			∂t		−

Утверждение 4.2. E(~x, t) = θ(t)G(~x, t) .

Обозначим через L оператор в левой части уравнения (4.1). Тогда L (θ(t)G(~x, t)) =

θ(t)LG(~x, t) + ∂θ∂t G(~x, t) = δ(t)G(~x, t) = δ(t) G|t=0 = δ(t)δ(~x) = δ(~x, t) .

Замечание 4.1. Из полученной вышеr2

формулы для фундаментального решения E(~x, t)

следует

,

÷òî

G(~x, t) =

1

e

−

.

Сравните при

n = 1)

этот результат с примером

4a2t

n

(2a√πt)

(

δ-образной последовательности 1.8.

Более подробно об обобщенной задаче Коши см . в параграфе 4.2.

40

4.1.3Уравнение Лапласа в R3

Фундаментальное решение оператора Лапласа определяется следующим уравнением :

E(~x) = δ(~x) .

Рассмотрим это уравнение в R3.

Для его решения применим многомерное преобразова-

ние Фурье по всем координатам

Получаем

−ξ

2

~

пространстве функция 1

.

E(ξ) = 1.

Отметим,

что в трехмерном

e

1

e

i<ξ,~~ x>

ξ2

имеет в нуле интегрируемую особенность.

Обратное преобра-

зование Фурье может пониматься как классическое , E(~x) =

RR3

− ξ2

dξ~, поскольку на

8π3

бесконечности написанный интеграл также сходится (правда, всего лишь условно), â ÷åì

С этой целью перейдем в пространстве {~} к сфемы и убедимся путем его вычисления. ξ

рическим координатам, совместив азимутальную ось с направлением вектора ~x. Тогда

~

< ξ, ~x >= ξr cos ϑ è

E = −8π3	2π	∞	π		∞	ξ	dξ = −4πr .
	Z0	dϕ Z0	dξ Z0	e−iξr cos ϑdϑ = −2π2r Z0
1				1		sin(ξr)	1

Отметим без обсуждения, что фундаментальным решением оператора Лапласа в R2 является функция 21π ln 1r .

4.1.4Уравнение Гельмгольца в R3

Требуется построить решение, удовлетворяющее уравнению

E(~x) + k2E(~x) = δ(~x) .

(4.2)

Как и в предыдущем разделе, это решение можно построить методом Фурье . Применим здесь, однако, другой способ, а именно, непосредственной подстановкой проверим, что:

Утверждение 4.3. Уравнению (4.2) удовлетворяют функции E = −e4±πrikr

Действительно,

= e±ikr

1

+ 2

e±ikr,

1

+

1

e±ikr. Поскольку

−

4πr является

E

−4πr

r

−4πr

1

r −4πr

фундаментальным решением оператора Лапласа , то первое слагаемое в

этой формуле дает δ-функцию. Непосредственное вычисление оставшихся двух слагаемых

показывает, что их сумма	ikr		k		− 4πr				.
	сокращает член			2		e±ikr		в уравнении
Замечание 4.2. Функции −e4±πr		носят названия сферических волн. Физический смысл

этих решений – это возмущения, распространяющееся от точечного источника (знак +), или к источнику (знак −). При этом волновой фронт возмущения (т.е. поверхность постоянной фазы) - это сфера.

Фундаментальными решениями оператора Гельмгольца в R2 являются 4i H0(1,2)(kr), ãäå H0(1,2)(z) – функции Ханкеля 1-го и 2-го рода. При больших r они ведут себя подобно

сферическим волнам, волновые фронты которых – окружности. В связи с этим данные решения получили название цилиндрических волн.

41