42 Равновесие капельной жидкости, движущейся прямолинейно и вращающейся вокруг вертикальной оси.

Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью.

При движении сосуда на частицы жидкости, кроме сил тяжести действуют еще силы инерции, под действием этих сил жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Относительным покоем называется равновесие жидкости в движущемся сосуде, находящейся под действием сил тяжести и инерции.

При относительном покое положение свободной поверхности и поверхностей уровня, отличается от их положения для жидкости в неподвижном сосуде.

Для определения формы и положения этих поверхности учитывается основное свойство поверхности уровня.

Поверхности уровня – это поверхности равного давления.

Основное свойство поверхностей уровня - равнодействующая массовых сил всегда нормальна к этим поверхностям.

Пользуясь полным дифференциалом давления dР

dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz), (3.22)

рассмотрим взаимодействие сил при относительном покое жидкости в сосуде.

Так как вдоль поверхности уровня dР=0,

X*dх+У*dy+Z*dz = 0 (3.22'),

в результате получаем уравнение поверхности равного давления. Трехчлен (3.22') определяет работу сил на перемещениях dх, dy, dz. В данном случае перемещение взято по поверхности равного давления, так как dР=0. И из этого выражения следует, что работа массовых сил вдоль поверхности равного давления равна нулю. Это значит, что в состоянии относительного покоя результирующее ускорение перпендикулярно к соответсвующему элементу поверхности равного давления.

Первый случай: сосуд, движущийся прямолинейно и равноускоренно;

Второй случай: сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью.

На рис.3.12 изображен сосуд, движущийся вниз с ускорением а по плоскости наклонённой под углом α к горизонту. Оси координат оси координат связаны с движущимся телом. Единичная массовая сила инерции равна ускорению а и направлена в противоположную сторону (з-н Ньютона).

1. Пусть на жидкость действует суммарная массовая сила F, проекции которой Fx, Fy, Fz , поделенные на массу: Fx/m являются проекциями единичной массовой силы на оси Ох, Оу, Oz: Х, У и Z.

F = Fx+Fy+Fz = mа, F/m = Fx/m +Fy/m +Fz/m = X +Y + Z = а.

Все выделенные составляющие являются векторными величинами.

Проекции массовых сил, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны произведениям проекций единичных сил, умноженным на массу выделенного объема.

Fx = mX, Fy = mY, Fz = mZ.

Результирующую единичную массовую силу, действующую на жидкость, найдем как сумму единичных векторов силы инерции j и силы тяжести g, при этом единичная сила инерции Fи = j = - a направлена в сторону противоположную ускорению а (рис.3.12).

Проекции сумм массовых сил на оси

Ox: X = j - gSinα,

Oz : Z = -gCosα,

Оx: Y = 0.

Подставляя эти выражения в выражение для дифференциала, получим

(1/ρ)dp = [(j - gSinα)dx – (gCosα)dz],

после интегрирования

p = ρ [(j - gSinα) x – (gCosα)z +С, (3.21)

полагая Р – const, получаем уравнение изобарических поверхностей, к

С + Р(const) = С1 .

ρ [(j - gSina) x – ρgCosa* z +С1 = 0 (3.22)

Это уравнение дает семейство плоскостей, параллельных оси у. Одной из них является свободная поверхность. Обозначим через z0 координату пересечения свободной поверхности с осью z. Подставив в формулу (3.22) х0 = 0, z = z0, находим С1=ρg z0Cosα для свободной поверхности. Уравнение этой поверхности имеет вид

(3.23)

где коэффициент в линейном уравнении равен тангенсу угла β

(3.24)

Для определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно к уравнению (3.23) нужно добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать первоначальный объем жидкости в сосуде и выразить его через размеры сосуда В и Н и первоначальный уровень h.

Если сосуд движется без трения только под действием силы тяжести, то j= gSinα β = 0, то есть свободная поверхность параллельна плоскости движения. Полагая в

формуле (3.21) х = 0, z = z0, P = P0, получим C = P0+ (ρgCosa)z0. Формула для определения давления в любой точке жидкости, находящейся в относительном покое при прямолинейном движении

Р = P0+ρ(j-gSina)x+ρgCosa(z0 – z). (3.25)

Можно также использовать суммарную массовую единичную силу q.

Возьмем на рис.3.11 около точки М площадку dS, параллельную свободной поверхности, и на этой площадке построим цилиндрический объем с образующей, нормальной к свободной поверхности. Условие равновесия указанного объема жидкости в направлении нормали к свободной поверхности будет иметь вид

РdS = P0dS + q(ρldS),

где последний член представляет собой полную массовую силу q – суммарная единичная массовая сила, действующая на выделенный объем жидкости массой М= ρldS– масса, а l — расстояние от точки М до свободной поверхности.

После сокращения на dS получим

Р = P0 + qρl, (3.26)