- •Математика и информатика Учебное пособие
- •Содержание:
- •§1. Математические предложения и доказательства.
- •§2. Элементы теории множеств.
- •П.2 Подмножество. Основные числовые множества.
- •П.3 Операции над множествами.
- •П.4 Диаграммы Эйлера-Венна.
- •§ 3. Декартово произведение множеств. Соответствия. Бинарные отношения и их свойства. Отображения.
- •§ 4. Элементы комбинаторики. Соединения без повторений и с повторениями. Правила суммы и произведения.
- •П.1 Соединения без повторений
- •П.2 Соединения с повторениями
- •П.3. Правила суммы и произведения
- •§ 5. Элементы теории вероятностей. П.1 Классическое и статистическое определения вероятности.
- •П.2 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.
- •П.3 Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.
- •П.4 Формула полной вероятности. Формула Байесса. Формула Бернулли.
- •Вопрос 2.Шкалы измерения
- •Методы первичной статистической обработки результатов эксперимента
- •Выборочное среднее
- •Дисперсия
- •§ 9. Информация и информационные процессы п.1. Понятие об информации. Носители информации. Количественная мера информации. Кодирование информации
- •П.2. Понятие о системах счисления. Системы счисления, применяемые в цифровых эвм
- •Системы счисления, применяемые в цифровых эвм
- •П.3. Перевод чисел из одной с.С. В другую
- •П.4. Арифметика двоичных чисел
- •Задачи для самостоятельной работы
- •§11 Алгоритм и его свойства. Методика составления алгоритмов. П.1. Понятие алгоритма. Свойства алгоритмов. Способы задания алгоритмов.
- •П.2.Типы алгоритмов.
- •Следование
- •Цикл – до(Рис. 58)
- •Цикл с параметром(Рис. 59)
- •П.3 Базовые алгоритмические структуры
- •П.4.Основные этапы решения задач на эвм.
П.2 Подмножество. Основные числовые множества.
Опр.2.2.1 Множество В, состоящее из некоторых элементов данного множества А (и только из них), называется подмножеством (частью) этого множества. Иначе, если любой элемент множества В принадлежит также множеству А, то множество В называется подмножеством множества А.
Это записывается так: В А или АВ. Говорят, что «В – подмножество А» или «В содержится в А» или «А содержит В». Заметим, что m(В) m(А).
Если в множестве В найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству А, то В не является подмножеством множества А: ВА. Например, отрезок [а, b] не является подмножеством полуинтервала (а, b], т.к. а[а, b], но а(а, b].
Из опр.2.2.1 следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. справедливо утверждение АА. Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества. Пустое множество не содержит ни одного элемента, а значит в нем нет элемента, не принадлежащего любому другому множеству.
Знак называется знаком включения. Отметим основные свойства отношения включения между множествами:
А для любого множества А;
АА для любого множества А (рефлексивность);
из того, что ВА не следует АВ (не симметричность);
если АВ и ВА, то А=В (антисимметричность);
если АВ и ВС, то АС (транзитивность).
Основные числовые множества:
N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел;
Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные), NZ;
Q={x , где pZ, qN} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде дроби), NZQ;
R=(-∞;+∞) – множество действительных чисел, QR (кроме всех рациональных чисел, содержит иррациональные числа, содержащие в своей записи знаки радикалов: ).
Действительные числа изображаются точками координатной прямой (числовой оси). Координатная прямая – это всякая прямая (обычно горизонтальная), на которой указаны положительное направление, начало отсчета и единичный отрезок.
Таблица 1. Правила изображения числовых промежутков.
Название |
Неравенство, определяющее множество |
Обозначение |
Изображение |
Отрезок от а до b (замкнутый промежуток) |
а х b |
[a;b] |
|
Интервал от а до b |
а х b |
(a;b) |
|
Полуинтервалы от а до b
|
а х b
а х b |
(a;b]
[a;b)
|
|
Числовой луч от а до +∞
|
а х |
[a;+∞) |
|
Открытый числовой луч от а до +∞ |
а х |
(a;+∞) |
|
Числовой луч от -∞ до а
|
х а |
(-∞; а] |
|
Открытый числовой луч от -∞ до а |
х а |
(-∞; а) |
|