DM_Mnozhestva (1)

31

Пример решения задания 3.2.
Решим задание 3.2 для соответствия	Г X ,Y ,G , если X N , Y – множество непрерывных
			b
		J , f x
на a;b функций, а график G задан так: G			J f x dx .
			a
Решение.
1. Определим набор свойств, которым обладает данное соответствие.
а) Каждому натуральному числу	п	поставим в		соответствие непрерывную функцию

n
f x b a	. Тогда, вычисляя определенный интеграл, будем иметь:

	b	n		n	b	n		b
			dx		dx		x
		b a		b a		b a
	a				a			a

n b a n . b a

Следовательно, данное соответствие является всюду определённым.

б) Для некоторых непрерывных функций на a;b определённый интеграл не выражается натуральным числом, например, пусть а и b не являются значениями ln n ; тогда

b

e x dx eb ea N .

a

Поэтому данное соответствие не является сюръективным.

в) Покажем, что две различные функции могут иметь на рассматриваемом промежутке одинаковое значение определённого интеграла. Для этого можно рассмотреть функции

f x	n		g x	2nx
		и			.
	b a			b2 a2

Для f x определенный интеграл не отрезок a;b , как мы уже выяснили, равен п . Найдём соответствующий интеграл для g x :

32

b

b

2nx

2n

x2

b

2n b2 a2

g x dx

dx

n .

2

a

2

2

a

2

2

2 b

2

a

2

a

a b

b

a

Итак, доказано, что соответствие, описанное в условии задания, не является функциональным.

г) Так как для каждой функции её определённый интеграл на данном промежутке находится однозначно, данное соответствие является инъективным.

2. Построим соответствие между конечными множествами, чтобы оно было не всюду определено, сюръективно, функционально и не инъективно.

Пусть a,b, c , 1 , a,1 , b,1 (рис. 8).

Покажем, что построенное соответствие обладает требуемым набором свойств.

а) Соответствие не всюду определено, так как элемент с , входящий в область определения, не имеет образа при данном соответствии.

а

с

1

b

Рис. 8

б) Соответствие сюръективно, так как его область прибытия 1 совпадает с областью зна-

чений.

в) Соответствие функционально, так как его график не содержит пар с равными первыми и различными вторыми координатами.

г) Соответствие не инъективно, так как в его графике пары а,1 и b,1 имеют различные первые и одинаковые вторые координаты.

Задание 3.3. Установить биекцию между множествами.

Замечание. Большое количество примеров биекций между множествами содержат пособия:

1.Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной.

2.Ульянов П.Л., Бахвалов А.Н. и др. Действительный анализ в задачах.

33

Пример решения задания 3.3.

Установить биекцию между множествами 0;1 и 0;1 .

Решение. Будем считать, что X 0;1 ,	Y 0;1 . Пусть	A	1		,	1	,...,	1	,...	,
					3
			2					n

B	0,1,		1	,	1	,...,	1	,...	A 0,1 . Очевидно, что X \ B Y \ A ,	X X \ B B , Y Y \ A A .
		2		3			n
		Установим						биекцию между множествами X \ B и Y \ A , как тождественное соответствие
f x x .

Биекция между множествами A и B зададим так:

34

f 0	1	, f 1	1			1			1			1			1		1			1
				,	f					,	f					, …, f					,...
	2		3			2			4			3			5	n				n 2

Таким образом, между X и Y установлена биекция:

x,
	1
f x			,
	2
			1
				,
n 2

			1
при x 0, x					n N ,
при x 0,		n
	1
при x		n N .
n

Изобразим график этой биекции в декартовой системе координат (рис. 9)

у

1

1 \ 2

1 \ 3

1 \ 4

1 \ 5

					х
1 \ 4 1 \ 3 1 \ 2			1

Рис. 9

35

Задание 3.4. Доказать, что множество:

36

Пример решения задания 3.4.

Доказать, что множество всех конечных последовательностей, составленных из элементов некоторого счётного множества, счётно.

Доказательство. Пусть множество А счётно, А а1, а2 ,..., аn ,... . Обозначим через Bk множество конечных последовательностей длины k , составленных из элементов множества A , k N .

Покажем, что для любого натурального k											множество Bk – счётно.
		Пусть
bk	a , a ,..., a						– сумма индексов у a		i	равна k ,
1		1		1	1
				k
bk	a		2	, a ,..., a
2					1	1
					k
b3k	a1, a2 ,..., a1							– сумма индексов у ai			равна k 1 ,
				...
bk		a , a ,..., a					2
k 1				1	1

37

bk	a		3	,	a ,..., a
k 2					1	1
					k
bkk 3	a1, a3 ,..., a1 – сумма индексов у аi									равна k 2 и т.д.
			...
bk		a , a ,..., a				3
2k 1			1		1
		Таким образом, любая конечная последовательность длины k , составленная из элементов
счётного множества, получит свой номер.
		Выпишем элементы множества Bk в виде бесконечной таблицы, где k N (табл. 3).
														Таблица 3
							1		1		1		1	. . .
							b1		b2		b3		b4
							2		2		2		2	. . .
							b1		b2		b3		b4
							3		3		3		3	. . .
							b1		b2		b3		b4

. . . . .	.	. . . . . .
Будем обходить таблицу по маршруту, помеченному стрелками. По мере движения по этому
маршруту будем присваивать номера: b1 1	, b1 2	, b2 3,			b2 4 и т.д.
1	2	2			1
Имеем, что для любых индексов i, p	последовательность b p получит когда-нибудь единствен-
					i
ный номер.
Таким образом, установлена биекция между множеством, составленным из элементов						b p и
						i
множеством индексов N , т.е. доказана счётность множества всех конечных последовательностей, со-
ставленных из элементов некоторого счётного множества А .
4. Отношения
Бинарным отношением на множестве А называется пара Ф А,G , где A область задания
отношения, а G A2 – график отношения.
Если x, y G , то будем писать x y и говорить, что x и y вступают в отношение .						Если
x и y не вступают в отношение , будем писать x y .

38

Диагональю множества A2 называется график	A	x, x		x A .

Свойства отношений:

1.Рефлексивность: x A x x .

2.Антирефлексивность: x A x x .

3.Симметричность: x A y A x y y x .

4.Антисимметричность: x A y A x y , y x x y или равносильное определение:

x A y A x y , x y y x .

5.Транзитивность: x A y A z A x y , y z x z .

6.Связность: x A y A x y x y или y x .

Эти свойства можно определить с помощью графиков отношений:

1.		А	G ,			2.	A	G ,	3. G G 1 ,
4.	G G 1			A	,	5. G G G ,			6. A2 \	A	G G 1 .

Операции над отношениями A,G и A, F сводятся к операциям над их графиками:

А,G F , A,G F , \ A,G \ F ,

A,G F , A, A2 \ G .

Отношение называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением линейного порядка, если оно является отношением частичного порядка и связно.

Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением строгого линейного порядка, если оно – связное отношение строгого порядка.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Классом эквивалентности, порождённым элементом x , называется множество всех элементов из А , вступающих с x в отношение эквивалентности.

39

Фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности называется множество всех различных классов эквивалентности, которое обозначается А / .

Мощность фактор-множества А / называется индексом разбиения, порождённого отношени-

ем .

Задание 4.1. Проверить для произвольных отношений A,G и A, F справедливость утверждения: «Если отношения и обладают свойством , то отношение также обладает свойством ».

Обозначения: 1 – рефлексивность, 2 – антирефлексивность, 3 – симметричность, 4 – антисимметричность, 5 – транзитивность, 6 – связность.

Примеры решения задания 4.1.

Пример 1.

Проверить для произвольных отношений A,G и A, F справедливость утверждения: «Если отношения и транзитивны, то отношение также транзитивно».

Решение. Пусть G a,b , F b, c . Тогда G F a, c и

G F A2 \ a, c a, a , a,b , b, a , b,b , c, a , c,b , b, c , c, c .

Отношение не транзитивно, так как его график G F содержит пары a, b и b, c , но не содержит пару a, c . Значит, в общем случае утверждение, приведённое в примере 1, неверно.

Пример 2.

40