1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение теплопроводности
, (1)
в прямоугольной области , где и – заданные положительные действительные числа, и следующую нелокальную задачу.
Обратная задача. Найти в области функции и , удовлетворяющие условиям:
; (2)
(3)
, ; (4)
, ; (5)
, ; (6)
, , , (7)
где , – заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования:
, , . (8)
2. Формальное построение решения.
Продифференцируем уравнение (4) по переменной . Тогда для функции получим уравнение
. (9)
При этом функция удовлетворяет следующим условиям:
; (10)
, ; (11)
, ; (12)
, ; (13)
, ; (14)
Интегрирую при фиксированном по переменной от до , где – достаточно малое число, уравнение (9), то получим:
, .
Отсюда при получаем:
, ,
, ,
то есть нелокальное условие (12) переходит к нелокальному условию
, . (15)
В дальнейшем вместо задачи (10) – (14) будем исследовать задачу (10), (11), (13) – (15).
Решение данной задачи будем искать методом разделения переменных. Пусть . Подставляя данное произведение в уравнение (9) получим:
.
Разделяя переменные, получаем:
. (16)
Левая часть равенства (16) зависит только от , а правая часть – только от , поэтому равенство (16) возможно тогда и только тогда, когда правая и левая части представляют одну и ту же постоянную .
(17)
Тогда из(17) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами:
, , (18)
, . (19)
Поскольку при , то из условия (11) следует, что
, (20)
. (21)
Рассмотрим уравнение (18) и всевозможные значения λ.