2. Логический вывод

2.1. Основные понятия

Логика (др.-греч. λογική – «наука о рассуждении», «искусство рассуждения» от λόγος – «речь», «рассуждение», «мысль») – раздел философии, наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка. Поскольку это знание получено разумом, логика также определяется как наука о правильном мышлении. Поскольку мышление оформляется в языке в виде рассуждения, частным случаем которого являются доказательство и опровержение, логика иногда определяется как наука о способах рассуждения или наука о способах доказательств и опровержений. Логика как наука изучает способы достижения истины в процессе познания опосредованным путём, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому её также можно определить как науку о способах получения выводного знания.

Выводное знание, полученное с помощью применения законов логики и методов логического мышления, – цель любого логического действия, нацеленного на достижение истины и применение полученного знания для более глубокого познания явлений и событий окружающего мира.

Одна из главных задач логики – определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления, чтобы глубже разобраться в нюансах изучаемого предмета мысли и его соотношениях с другими аспектами рассматриваемого явления.

Логика служит одним из инструментов почти любой науки.

Итак, формулируем основную идею работы. Пусть мы имеем некоторые исходные знания, записанные на одном из языков (логики высказываний или логики предикатов (см. ниже)). Назовем эти знания Посылками. Нам необходимо получить новое знание (Заключение), причем это заключение необходимо получить из посылок путем их последовательного преобразования (Логический вывод). Здесь необходимо упомянуть некоторые положения, вытекающие из теоремы Геделя о неполноте. Суть этой теоремы заключается в следующем постулате: в любой логической системе существуют правильные (истинные) заключения, логически не выводимые из исходных посылок. Дальнейший материал будет посвящен вопросам формальной организации логического вывода.

2.2. Логика предикатов

Предикат (от позднелат. Praedicatum – сказанное), то же, что свойство; в узком смысле – свойство отдельного предмета, например «быть человеком», в широком смысле – свойство пары, тройки, вообще n-ки предметов, например «быть родственником». Предикаты в широком смысле называют также отношениями.   Исторически понятие о Предикате явилось следствием логического анализа высказываний естественного языка, т. е. выяснения их логической структуры, выяснения того, какой логикой может быть выражен (формализован) смысл этих высказываний. Идея выделения логической структуры речи, в отличие от грамматической, для нужд логической дедукции принадлежит Аристотелю. В аристотелевской и в последующей «традиционной» логике Предикат понимался в узком смысле как один из двух терминов суждения, а именно тот, в котором нечто говорится о предмете речи – субъекте. Форма высказывания – предикативная связь – сводилась при этом к атрибутивной связи, т. е. выражала «присущность» предмету некоторого признака. Аристотель выделял 4 типа признаков, способных играть роль Предиката: родовые, видовые, собственные и случайные. Это т.н. предикабилии – типы сказуемых.

Логический анализ фраз естественного языка на том уровне представлений о логической дедукции, который был характерен для аристотелевской (и традиционной) логики, ограничивался, т.о., для выражения смысла высказываний логикой одноместных Предикатов (логикой свойств в узком смысле). Это существенно ослабляло «выразительные возможности» логики и служило препятствием для адекватной формализации тех объективных связей между предметами, которые, будучи мыслимыми в виде отношений (свойств в широком смысле) между соответствующими понятиями, лежат в основе логической правильности умозаключений об отношениях – основных умозаключений в науке. Устранение указанного препятствия и усиление выразительных средств формализма современной логики связано, в частности, с восходящей к работе Г. Фреге «Исчисление понятий» (1879) новой трактовкой Предиката. Главная идея этой трактовки – рассмотрение отношения предикации как частного случая функциональной зависимости. Это обеспечивает более ёмкое, чем аристотелевское, отображение смысловой структуры фраз естественного языка в формализме субъектно-предикатного типа и одновременно дальнейшее развитие самого этого формализма на пути сближения языков логики и математики.

Основой для «функциональной» точки зрения на Предикат служат в естественных и в искусственных (точных) языках выражения вида повествовательных предложений, содержащие неопределённые термины – неопределённые имена предметов: переменные (параметры) в записи утверждений в математическом языке, например х + 2 = 4; слова «нечто», «некто», «кто-либо» и пр., играющие в естественном языке роль переменных в выражениях типа: «Некто человек», «Кто-то любит кого-то», «Если кто-то человек, то он смертен» и т.п. Записав эти выражения некоторым единым способом, например, заменяя неопределённые термины пробелами, аналогично тому, как это делается в опросных бланках, «– + 2 = 4», «– человек», «– любит –», «Если – человек, то – смертен», или же принимая запись с помощью переменных в качестве основной, «x + 2 = 4», «x человек», «х любит у», «Если х человек, то х смертен», легко заметить нечто общее между ними. Во-первых, наличие неопределённых терминов делает эти и подобные им выражения, вообще говоря, неопределёнными как в смысле того, что в них утверждается, так и в смысле их истинного значения; во-вторых, всякое подходящее указание на область значений неопределённых терминов и одновременная квантификация или замена неопределённых терминов их значениями преобразует соответствующие выражения в осмысленные высказывания. В современной логике выражения, имеющие вид повествовательных предложений и содержащие неопределённые термины, получили общее название пропозициональных функций, или, сохраняя традиционный термин Предикат. Как и числовые функции, Предикаты являются соответствиями. Неопределённые термины играют в них обычную роль аргументов функции, но, в отличие от числовых функций, значениями Предиката служат высказывания. В общем случае, отвлекаясь от какого-либо определённого языка и сохраняя только функциональную форму записи Предиката от n переменных (от n неопределенных терминов) выражают формулой P (x1,..., xn), где n ≥ 0. При n = 0 Предикат совпадает с высказыванием, при n = 1 Предикат будет свойством в узком смысле (1-местным Предикатом), при n = 2 – свойством «пары» (2-местным Предикатом, или бинарным отношением), при n = 3 – свойством «тройки» (3-местным Предикатом, или тернарным отношением) и т.д. Выражения: «x + 2 = 4», «х человек», «х любит y», «х сын у и z» служат соответственно примерами 1-местного, 2-местного и 3-местного Предиката. Они преобразуются в высказывания либо при надлежащей подстановке, например «2 + 2 = 4», «Сократ – человек», «Ксантиппа любит Сократа», «Софрониск – сын Ксантиппы и Сократа», либо при связывании переменных кванторными словами, например «$х (х + 2 = 4)» (существует число, которое в сумме с 2 даёт 4), «$ (х – человек)» (существуют люди), «"x$y$z (х сын у и z) >> (каждый человек является сыном по крайней мере двух родителей) и т.п., имея в виду, что области значений переменных, в первом случае – числа, во втором – живые существа, в третьем – люди.

Если нам удалось записать посылки на языке логики предикатов, который, несомненно, шире языка логики высказываний, то формальные логические построения не отличаются от построений, применяемых в логике высказываний. Исключением будут являться преобразования, связанные с использованием кванторов существования и кванторов всеобщности.