Теория вероятностей справочные формулы

СОБЫТИЯ А, В, С…

Сумма событий (хотя бы или А, илиВ)	А + В	А В
Произведение событий (и А, иВодновременно)	А  В	А В
Виды событий	Обозначение или определение
Невозможное	V– заведомо не произойдет
Достоверное (истинное)	U– обязательно произойдет
Случайное	в результате испытания может либо произойти, либо не произойти
Несовместные АиВ	если появление Аисключает появлениеВ, т. е.А  В= V
Совместные АиВ	если появление Анеисключает появлениеВ, т. е.А  В V
Равновозможные АиВ	если ни одно из них не является более возможным, чем другое
Противоположные А и	если
Полная группа А1,А2,…Аk	если
Независимые А иВ	если А не зависит отВ и наоборот

СОЕДИНЕНИЯ

РАЗМЕЩЕНИЯ – группы элементов, отличающиеся друг от друга и элементами, и порядком
ПЕРЕСТАНОВКИ – группы элементов, отличающиеся друг от друга только порядком элементов.
СОЧЕТАНИЯ – группы элементов, отличающиеся друг от друга только самими элементами

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА события А п– общее число испытаний m– число появлений событияА		ВЕРОЯТНОСТЬ события А п– общее число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу m– число исходов, благоприятствующих событиюА
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ БЕРНУЛЛИ при
СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ
СЛОЖЕНИЕ: Если АиВ несовместны, то ЕслиА иВсовместны, то	ПРОИЗВЕДЕНИЕ: Если АиВ независимы, то Если АиВзависимы, то Условной вероятностью РАназывают вероятность событияВ, вычисленную в предположении, что событиеА уже произошло.
Следствия: 1. Если А и- противоположные события, тоили. 2. Вероятность появления хотя бы одного события из А1,А2,…Аk :
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ: Апроисходит с одной из гипотезНi. ЕслиН1+Н2+…+Нп=U; HiHj=V; ij, то
ФОРМУЛА БЕЙЕСА позволяет найти изменение вероятности гипотез, если событие Апроизошло. , гдеР(А)– полная вероятность.

ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ

Производится писпытаний (независимых), вероятность каждого, а. Находим вероятность того, что событиеАпоявилось ровнотраз.
ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ ( п– мало)	ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА (п– велико) , где
ФОРМУЛА ПУАССОНА (р– мало,п– велико ) ,	ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА ;
Вероятность появления хотя бы одного события в писпытаниях:.
Примечание: - четная функция, т.е.. Ее значения находят из таблицы,.	- нечетная функция, т.е.. ФункциюФ(х)часто называют функцией Лапласа. Ее значения находят из таблицы, причем прих>5.
у х  0  а=0 =1	у 0,5 у=Ф(х) 0 х 0,5
Отклонение W(A)от постоянной вероятности в независимых испытаниях

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная величины – это величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение . Х– случайная величина,х– ее возможное значение.

ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА – это случайная величина, у которой множество возможных значений конечно или счетно (т.е. их можно перенумеровать в каком-то порядке).

НЕПРЕРВЫНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА – это случайная величина, у которой множество возможных значений сплошь занимает какой-то участок числовой оси, границы которого могут быть как зафиксированными, так и неопределенными.

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ –

это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующим им вероятностям (для дискретной случайной величины) или плотностями вероятностей (для непрерывной случайной величины).

Х	х1	х2	…	хп	…	хп–возможные значения
р	р1	р2	…	рп	…	случайной величины

р₁+р₂+ …+р_п+…=1р_п- вероятности

илир₂ р

р₁ … х

х₁ х₂ х_п

Многоугольник распределения

, гдеf(x)– плотность распределения

вероятностейХ.

f(x)Ее свойства:

1.

График плотности 2 .распределения 3.

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ –

это вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем заданное х, т.е.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

Свойства:

1. F(x)– неубывающая функция

2. F()=0

3. F(+)=1

4. 0 F(x)1

5.

6.

Функция распределения любой непрерывной случайной величины есть непрерывная функция в любой точке и дифференцируема всюду.

Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, т.е. .

Связь между плотностью и функцией распределения непрерывной случайной величины .

F(x)

1

р₁+р₂

р₁

х₁ 0 х₂ х₃ …х_п х

F(x)1

0. х

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Дискретная случайная величина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

ДИСПЕРСИЯ

СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

Непрерывная случайная величина



Свойства:

М(С)=С D(С)=0

М(СХ)=СМ(Х) D(CX)=C²D(X)

М(ХY)=М(Х)М(Y) D(ХY)=D(Х)+D(Y)

М(ХY)=М(Х)М(Y)

ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Дискретная случайная величина

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

М(Х)=пр; D(Х)=прq; q=1p

Х	0	1	…	k	…	n-1	n
р	q^n	nq^n^-1p	…		…	nqp^n^-1	p^n

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

М(Х)=; D(Х)=; =пр10; р-мало;п-велико

Х	0	1	…	k	…	n
р	е^		…		…

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

М(Х)=; D(Х)=; q=1p

Х	1	2	3	…	k	…
р	р	qp	q^2p	…	q^k^-1p	...

Непрерывная случайная величина

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

, гдеа=М(Х); =(Х).

График плотности распределения – кривая Гаусса или нормальная кривая.

А f(x) В1 В2 0 х

-точка максимума ;

- точки перегиба.

Вероятность попадания в заданный интервал

, гдеФ(х)– функция Лапласа.

Вероятность заданного отклонения

.

Правило трех сигм .

Непрерывная случайная величина

РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

;

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

;

Для нормального распределения

, где- функция Лапласа.

Интеграл Пуассона

или

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ–ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА

Если Х₁, Х₂, …, Х_п– попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены, то,

где >0 сколь угодно малое число.

НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА