Случайная величина и ее числовые характеристики
Задача 1. Дискретная величина Х задана следующим законом распределения:
Х 48 53 57 61
р 0,2 0,4 0,3 0,1
Требуется
вычислить: а)
математическое ожидание 
;
б) дисперсию 
;
в) среднее квадратическое отклонение
.
Задача
2. Случайная
величина Х
задана функцией распределения 
.
Найти плотность распределения
вероятностей, математическое ожидание
и дисперсию случайной величины.
а) 
б) 
в) 
Задача
3. Случайная
величина Х
распределена по нормальному закону.
Математическое ожидание 
;
дисперсия 
.
Найти вероятность того, что в результате
испытания Х
примет значение в интервале (4; 7).
Задача
4. Диаметр
деталей, изготовленных заводом, является
случайной величиной, распределенной
по нормальному закону. Стандартная
длина диаметра 
см, среднее квадратическое отклонение
.
В каких границах можно практически
гарантировать длину диаметра этой
детали, если за достоверное принимается
событие, вероятность которого равна
0,9973?
Задача
5. Считается,
что отклонение длины изготавливаемых
деталей от стандарта является случайной
величиной, распределенной по нормальному
закону. Стандартная длина (математическое
ожидание) 
см, среднее квадратическое отклонение
см. Найти вероятность того, что отклонение
длины от стандартной составит по
абсолютной величине не более 0,6 см.
Контрольная работа №5
по математической статистике
В ряде задач будет предложено использовать данные таблицы 1, в которой приведены результаты выборочного социологического обследования 100 городских семей на предмет изучения уровня жизни населения. Известно, что всего в данном городе проживает около 500 тыс. семей. Выборка 100 семей произведена по принципу случайного отбора.
Таблица 1
Данные обследования 100 городских семей
|
№ п.п. |
Количество членов в семье |
Жилищные условия |
Совокупный доход семьи в месяц, руб. |
Наличие загородного земельного участка |
Личный автомобиль |
Гараж | |||||
|
всего |
в т. ч. |
отдельная квартира |
общая площадь, кв. м. |
жилая площадь, кв. м. |
количество жилых комнат | ||||||
|
муж. пола |
жен. пола | ||||||||||
|
А |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 |
2 5 3 4 1 3 6 2 4 3 4 1 3 5 2 3 4 4 3 3 2 5 3 4 1 3 3 4 4 3 2 5 3 1 4 3 4 2 6 4 6 3 1 6 4 4 3 2 4 3 3 4 2 3 4 4 7 1 3 2 3 8 2 4 3 4 1 6 3 2 4 5 4 3 3 1 4 3 5 2 3 5 4 4 3 2 5 3 1 4 3 4 2 6 3 1 4 3 5 2 |
1 2 1 1 1 2 3 1 2 1 1 – – 3 1 2 3 2 – 1 – 4 1 2 – 1 2 1 2 1 – 1 2 1 3 1 3 1 4 1 3 – – 2 3 3 2 – 1 2 1 1 1 2 2 2 1 – 2 1 1 5 2 1 2 3 – – 3 – 2 3 3 – 1 – 2 2 2 – – 4 3 2 1 – 2 1 1 3 1 2 1 3 2 – 3 1 2 – |
1 3 2 3 – 1 3 1 2 2 3 1 3 2 1 1 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1 3 2 2 2 4 1 – 1 2 1 1 2 2 3 3 1 4 1 1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 6 1 1 1 2 3 – 3 1 1 1 6 – 2 2 2 1 3 3 1 2 1 3 2 3 1 1 2 2 2 3 2 – 1 2 2 1 3 1 1 1 2 3 2 |
да да да нет да нет да нет да да да нет да да да нет да да нет да да нет да да нет да да да да да нет да да да да да да да да да нет нет да да нет да да да да да нет да да да да да да нет да да да да да да да да нет да нет да да да да нет да да да да да да да да нет да да нет да да да да нет да да да да да да да да нет |
50 63 48 22 29 21 58 21 39 34 65 18 81 65 37 40 29 55 25 65 31 39 38 45 19 35 58 39 69 104 31 65 52 54 54 74 31 67 51 39 45 17 35 88 35 91 96 34 55 58 42 70 80 47 69 57 64 30 64 31 42 71 40 70 61 118 17 62 26 32 37 69 41 50 104 28 77 41 61 47 57 101 80 40 34 43 39 79 48 78 33 63 31 62 37 31 66 31 53 36 |
28 36 26 14 14 15 35 13 22 20 43 12 45 37 20 22 16 36 17 38 16 28 19 29 10 24 32 19 42 55 19 43 29 32 32 47 17 43 28 26 31 12 19 51 23 50 62 18 30 33 29 45 51 31 39 41 48 20 36 19 29 34 29 49 41 75 11 43 14 15 16 49 20 35 61 14 49 28 34 30 33 62 52 26 18 29 20 45 28 48 22 38 17 41 27 17 36 17 28 25 |
2 3 2 1 1 1 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 2 4 1 3 2 2 2 1 1 3 2 3 5 1 2 2 2 3 4 2 2 3 3 1 3 1 2 2 2 3 2 5 1 3 1 1 1 4 1 2 4 1 4 2 2 2 2 3 3 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 |
450 410 145 287 82 140 487 197 185 262 281 116 294 415 415 659 214 655 214 452 118 243 396 500 192 216 957 312 1080 855 212 881 404 95 277 605 522 612 625 140 992 361 75 190 390 472 375 183 810 315 125 218 713 611 290 493 515 253 670 244 317 458 319 714 125 382 164 290 288 106 602 215 145 871 220 132 810 212 360 131 802 691 184 162 211 304 262 355 187 516 160 410 215 818 195 88 425 415 620 78 |
да нет нет нет да нет да да нет нет нет нет да да да да нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет да нет нет да нет нет да нет нет нет нет нет да нет нет да нет нет нет нет да да нет да нет нет нет да да да нет нет да да нет нет да нет нет да нет нет да нет да нет нет нет да нет нет нет да да нет нет да да нет да нет да нет нет да да нет нет да нет нет да |
да нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет нет да нет да нет да нет да нет нет нет да нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет да да нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет да нет да нет нет нет нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет нет да нет да нет да нет да нет нет да нет да нет |
да нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет нет да нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет да да нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет нет да нет нет нет нет да нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет нет да нет нет да нет да нет |
Задача 1
По данным таблицы 1 постройте ряд распределения семей по числу членов. Наряду с локальными частотами подсчитайте накопленные частоты. Постройте полигон распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 2
По данным таблицы 1 рассчитайте по каждой семье показатель обеспеченности общей площадью жилища в расчете на одного человека. Постройте интервальный ряд распределения обследованного населения по обеспеченности общей площадью, образовав при этом 7–8 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные частоты и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 3
Выполните то же задание, что и в задаче 2, для показателя обеспеченности жилой площадью.
Задача 4
По данным таблицы 1 постройте ряд распределения тех жилищ, которые являются отдельными квартирами, по числу жилых комнат. Наряду с локальными частотами подсчитайте накопленные частоты. Постройте полигон распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 5
По данным таблицы 1 рассчитайте по каждой семье месячный доход в расчете на одного члена семьи. Постройте интервальный ряд распределения обследованного населения по данному показателю, образовав при этом 7–8 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные частоты и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 6
На 80 сортоиспытательных участках определена следующая урожайность яровой пшеницы (ц/га): 23,9; 22,4; 23,1; 16,3; 21,8; 21,6; 20,5; 20,4; 20,6; 21,3; 25,1; 21,7; 21,3; 20,2; 21,0; 20,7; 18,2; 20,2; 25,1; 19,6; 24,0; 22,5; 23,2; 16,4; 21,9; 21,7; 20,6; 20,5; 20,5; 20,7; 21,2; 25,0; 21,6; 21,2; 20,1; 20,9; 20,6; 18,1; 19,5; 20,1; 25,0; 21,6; 20,5; 20,4; 20,6; 21,3; 25,1; 21,7; 21,3; 20,2; 22,9; 23,4; 22,1; 17,3; 20,8; 22,6; 19,5; 21,4; 19,6; 22,3; 24,1; 22,7; 20,3; 21,2; 20,0; 21,7; 17,2; 21,2; 24,1; 20,6; 23,0; 23,5; 22,2; 17,4; 20,9; 22,7; 19,6; 21,5; 19,5; 21,7;. Постройте интервальный ряд распределения участков по урожайности, образовав при этом 6–7 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные частоты и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану. Среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 7
В результате взвешивания 90 коров получены следующие данные (ц): 4,5; 4,7; 3,4; 5,4; 4,6; 5,0; 3,8; 4,7; 5,6; 4,0; 5,1; 4,9; 3,3; 3,5; 4,3; 5,5; 4,5; 4,2; 5,1; 4,9; 4,5; 3,2; 4,0; 5,9; 4,7; 5,8; 4,4; 4,6; 4,8; 5,7; 3,3; 4,4; 4,9; 3,3; 5,5; 4,5; 5,1; 3,7; 4,8; 5,3; 4,1; 4,2; 5,2; 4,8; 3,4; 3,4; 5,7; 4,5; 4,5; 4,7; 4,5; 4,6; 3,7; 5,1; 4,6; 4,9; 4,1; 4,7; 5,2; 4,2; 5,0; 4,8; 3,6; 3,8; 4,3; 5,2; 4,6; 4,4; 5,1; 5,0; 4,4; 3,6; 4,0; 5,3; 4,7; 5,5; 4,4; 4,6; 4,8; 5,4; 3,9; 4,4; 4,9; 3,7; 5,2; 4,5; 5,1; 4,0; 4,8; 5,3. Постройте интервальный ряд распределения коров по живой массе, образовав при этом 7–8 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные частоты и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 8
В случайном порядке отобрано 100 клубней картофеля и определен вес каждого клубня (г): 112, 210, 133, 215, 206, 80, 197, 134, 145, 183, 251, 53, 142, 120, 177, 159, 111, 185, 200, 191, 96, 205, 138, 213, 209, 77, 201, 131, 148, 180, 260, 50, 146, 117, 180, 156, 116, 181, 203, 188, 81, 120, 135, 220, 144, 152, 150, 110, 118, 140, 125, 208, 134, 214, 209, 85, 195, 136, 143, 181, 256, 59, 142, 122, 177, 160, 114, 183, 199, 197, 101, 202, 142, 218, 209, 79, 206, 137, 148, 180, 259, 65, 82, 88, 117, 180, 68, 117, 181, 202, 188, 94, 113, 135, 220, 144, 59, 69, 100, 91. Постройте интервальный ряд распределения клубней по весу, образовав при этом 7–8 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 9
В случайном порядке было отобрано 60 личных карточек студентов и выписаны их экзаменационные оценки по высшей математике: 4, 4, 2, 3, 5, 3, 5, 4, 3, 3, 4, 2, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 3, 2, 4, 4, 3, 4, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 5, 3, 3, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 3, 5, 4, 3. Постройте ряд распределения студентов по успеваемости. Наряду с локальными частотами подсчитайте накопленные частоты. Постройте полигон распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, средний балл, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 10
Среднемесячная заработная плата 81 работника совхоза за истекший год составила (руб.): 220, 205, 130, 183, 198, 265, 177, 184, 110, 92, 125, 208, 244, 157, 189, 160, 231, 269, 185, 199, 70, 80, 101, 122, 155, 150, 195, 321, 77, 144, 297, 82, 85, 180, 306, 276, 197, 143, 153, 280, 301, 102, 169, 168, 285, 211, 149, 191, 276, 158, 162, 214, 222, 146, 189, 207, 294, 177, 178, 106, 160, 305, 188, 178, 169, 195, 211, 145, 180, 234, 235, 290, 212, 237, 229, 342, 231, 225, 172, 130, 194. Постройте интервальный ряд распределения работников по размеру заработной платы, образовав при этом 6–7 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные частоты и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю заработную плату, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 11
Рассматривая данные таблицы 1, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
точечную оценку доли мужского населения в генеральной совокупности;
доверительный интервал при доверительной вероятности 0,95;
вероятность того, что ошибка выборочной доли не превысит 0,01;
необходимый объем выборки, который с вероятностью 0,95 обеспечил бы ошибку выборочной доли не более чем 0,01.
Задача 12
Выполните то же задание, что и в задаче 11, для доли семей, проживающих в отдельных квартирах.
Задача 18
Рассматривая данные таблицы 1, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности и используя результаты решения задачи 2, определите:
точечные оценки средней и дисперсии в генеральной совокупности;
интервальную оценку средней при доверительной вероятности 0,95;
вероятность, что ошибка выборочной средней не превысит 1 кв. м.;
необходимый объем выборки, чтобы ошибка выборочной средней с вероятностью 0,99 не превышала 0,5 кв. м.
Задача 19
Рассматривая данные таблицы 1, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности и используя результаты решения задачи 3, выполните то же задание, что и в задаче 18.
Задача 20
Рассматривая данные таблицы 1, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности и используя результаты решения задачи 5, определите:
точечные оценки средней и дисперсии в генеральной совокупности;
интервальную оценку средней при доверительной вероятности 0,95;
вероятность, что ошибка выборочной средней не превысит 5 руб.;
необходимый объем выборки, чтобы ошибка выборочной средней с вероятностью 0,99 не превышала 3 руб.
Задача 21
Рассматривая данные задачи 6, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
точечные оценки средней и дисперсии в генеральной совокупности;
интервальную оценку средней при доверительной вероятности 0,95;
вероятность, что ошибка выборочной средней не превысит 0,1 ц/га;
необходимый объем выборки, чтобы ошибка выборочной средней с вероятностью 0,99 не превышала 0,1 ц/га.
Задача 22
Рассматривая данные задачи 7, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
точечные оценки средней и дисперсии в генеральной совокупности;
интервальную оценку средней при доверительной вероятности 0,95;
вероятность, что ошибка выборочной средней не превысит 0,1 ц;
необходимый объем выборки, чтобы ошибка выборочной средней с вероятностью 0,99 не превышала 0,1 ц.
Задача 23
Рассматривая данные задачи 8, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
точечные оценки средней и дисперсии в генеральной совокупности;
интервальную оценку средней при доверительной вероятности 0,95;
вероятность, что ошибка выборочной средней не превысит 5 г;
необходимый объем выборки, чтобы ошибка выборочной средней с вероятностью 0,99 не превышала 5 г.
Задача 24
Рассматривая данные задачи 9, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
процент неудовлетворительных оценок по высшей математике;
в каких пределах может находиться данный процент в генеральной совокупности с вероятностью 0,95;
вероятность, что процент неудовлетворительных оценок в генеральной совокупности будет отличаться от выборочного не более чем на 1%;
необходимый объем выборки, чтобы с вероятностью 0,99 ошибка выборки не превышала 1%.
Задача 25
Рассматривая данные задачи 10, как данные случайной выборки из большой генеральной совокупности, определите:
точечные оценки средней и дисперсии в генеральной совокупности;
интервальную оценку средней при доверительной вероятности 0,95;
вероятность, что ошибка выборочной средней не превысит 5 руб.;
необходимый объем выборки, чтобы ошибка выборочной средней с вероятностью 0,99 не превышала 5 руб.