Б) Основная литература

3. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики М. Просвещение, 2010.

4. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. СПб.: Профессия, 2011.

5. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2009.

6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 2008.

В) Дополнительная литература

7. Бохан А. и др. Курс математического анализа, ч.1,2. М. Просвещение, 2010.

8. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического анализа (под редакцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича) – М.: Наука, 2009.

9. Ильин В., Поздняк Э. Основы математического анализа, ч.1,2. М.Наука, 2010г.

10. Рудаков И.А. Лекции по высшей математике. Ч. 1, 2. Брянск, 2010.

3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НУЛЕВОГО ВАРИАНТА

Найти предел последовательности, общий член которой .

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на , получим:

.

Замечание. и предел постоянной равен самой постоянной.

Найти .

Решение.

Поскольку и, то

Найти производную функции .

Решение.

Применяя формулы дифференцирования, получим

.

Найти производную функции .

Решение.

На основе формул дифференцирования находим

Найти производную функции .

Решение.

Применяя формулы дифференцирования, получим

Найти производную функции .

Решение.

Аргументом данной функции является не , а. Это сложная тригонометрическая функция, которую можно представить так:

.

Поскольку , то получаем.

Найти вторую производную функции .

Решение.

Находим сначала первую производную данной функции:

.

Дифференцируя ее еще раз, получаем .

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Данная функция определена при всех , областью ее определения является бесконечный промежуток. Производная этой функции

обращается в нуль в трех точках: , которые делят область определения на четыре интервала:.

Поскольку при, то функция возрастает в промежутке.

Так как при, то функция убывает в промежутке.

Аналогично устанавливаем, что в промежутке функция возрастает (ибопри), в промежуткеона также возрастает (при).

Найти экстремумы функции .

Решение.

Производная данной функции определена для всехи обращается в нуль при. Исследуем эти критические точки с помощью второй производной.

Поскольку , то- точка максимума; так как, то- точка минимума.

Вычисляем значения экстремумов:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Решение.

Находим экстремумы функции:

- точки минимума, - точка максимума,.

Находим значения функции на концах отрезка:

.

Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наибольшее равно 11.

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение.

Найти производные данной функции:

Вторая производная равна нулю при . Если, то, поэтому график функции является выпуклым вверх в промежутке. Посколькупри, то график функции является выпуклым вниз в промежутке. Так как привторая производная меняет знак, то- точка перегиба графика функции.

Найти асимптоты графика функции .

Решение.

Поскольку

то уравнение определяет вертикальную асимптоту графика данной функции.

Так как , гдепри, то уравнениеопределяет невертикальную асимптоту графика данной функции.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Областью определения данной функции является бесконечный промежуток .

2. Функция неограниченно возрастает при , т.е., далее.

3. Производная данной функции обращается в нуль при. Так какпри, то функция возрастает в промежутках. Посколькупри, то функция убывает в промежутке. Отсюда уже можно заключить, что при- точка максимума,- точка минимума.

4. Подставляя значения в выражение для функции, вычисляем ее экстремальные значения:

Получаем две точки графика .

5. Вторая производная обращается в нуль при. Так какпри, то график функции является выпуклым вверх в промежутке; посколькупри, то график функции является выпуклым вниз в промежутке- точка перегиба графика.

6. Решая уравнение , т.е., находим нули функции:

,

поэтому - точки пересечения графика функции с осью. Положив в выражении, получим- точка пересечения с осью, она совпадает с точкой.

7) Поскольку , т.е. не существует конечных пределов, то график данной функции асимптот не имеет.

Отметив полученные точки и приняв во внимание указанные результаты исследования функции, строим график.

Найти неопределенный интеграл

Решение.

Разделив почленно числитель на знаменатель, используя свойства неопределенного интеграла, находим

Найти .

Решение.

Раскрывая скобки и применяя формулы, получаем

Найти .

Решение.

Поскольку , то.

Найти .

Решение.

Введем новую переменную по формуле , откудаили. Подставляя полученные выражения в подынтегральное выражение, находим

.

Снова переходя к переменной , получаем

.

Найти .

Решение.

Чтобы избавиться от иррациональности, положим , откуда.

.

Переходя к переменной , получаем

.

Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Принимая во внимание свойства определенного интеграла, находим

Вычислить значения частных производных функции в точке .

Решение.

Найдем сначала выражения для частных производных.

Считая постоянным и дифференцируя почастное, получаем:

.

Считая постоянным и дифференцируя по, находим:

.

В полученные выражения подставим значения :

,

.

Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение имеет кратный корень, поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде.

Поскольку

,

то

,

,

то есть

.

Так как , то общее решение данного уравнения определяется формулой

.

Записать первые пять членов ряда, общий член которого задан формулой .

Решение.

Полагая в данной формуле , получаем:

Следовательно,