3. Уравнения с разделенными переменными.
Рассмотрим уравнение вида
(6)
в котором коэффициент
при
является только функцией от х,
а коэффициент при
- функцией от у.
В таком случае говорят, что в дифференциальном
уравнении переменные разделены. Будем
предполагать, что функции
и
непрерывны при рассматриваемых значениях
х
и у.
Тогда предполагая, что функция
является решением уравнения (6), т.е.
обращает это уравнение в тождество:
,
или
.
Мы можем проинтегрировать это уравнение. Получим:
,
Вычислим второй
интеграл с помощью подстановки
,
:
.
Общее решение уравнения (6) можно также записать в виде
.
Пример.
.
Переменные здесь
разделены, следовательно, общим интегралом
уравнения будет
или
,
или
,
т.е. интегральными кривыми являются
окружности произвольного радиуса с
центром в начале координат.
4. Наиболее распространенным типом дифференциальных уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Эти уравнения имеют вид
. (7)
Т.е. коэффициенты
при
и
являются произведениями двух функций,
из которых одна зависит только от х,
а другая – только от у.
Будем предполагать, что все функции,
входящие в уравнение (7), непрерывны при
рассматриваемых значениях х
и у.
Чтобы разделить
переменные в уравнении (7), надо разделить
обе его части на произведение
.
Получим
,
причем следует
проверить не потеряны ли решения при
и
.
Если эти уравнения имеют решения вида
,
,
то эти решения могут оказаться особыми.
Из этих решений, однако следует исключить
точки пересечения прямых
,
,
так как в этих точках уравнение (7) не
задано.
Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимся переменными.
5. Однородные уравнения.
Напомним, что
функция
называется однородной
функцией k-го
порядка, если она удовлетворяет следующему
соотношению:
.
Например, функция
- однородная функция третьего порядка.
Дифференциальное уравнение вида
, (8)
где
и
- однородные функции одного и того же
порядка k,
называется однородным уравнением. Будем
предполагать, как и ранее, что
и
непрерывны в рассматриваемой области
и не обращаются одновременно в нуль.
Введем вместо у
новую искомую функцию и,
полагая
,
и
= и(х).
Тогда
.
Подставляя в уравнение (8) вместо у
и
найденные выражения, получим
.
Учитывая, что
и
- однородные функции одного и того же
порядка k,
получим
,
или
.
Это есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, будем иметь
(
?
?).
Интегрируя, найдем
или
,
.
Вернемся к искомой
функции у,
заменив и
на
:
.
Это есть общий интеграл однородного уравнения (8).
Иногда в однородном дифференциальном уравнении удобнее сделать подстановку вида
,
.
Пример.
,
.
Это уравнение
задано при
,
и
,
.
Полагая
,
имеем
и уравнение примет вид
,
или
.
Разделим переменные
,
(
?).
Интегрируя, имеем
.
Заменив и
на
,
получим
.
Это и есть общий интеграл исходного уравнения.
Из уравнения
находим
.
Таким образом
,
- решения исходного уравнения. Эти
решения особые, так как в каждой точке
каждого из этих решений нарушается
единственность решения задачи Коши.