6. Линейные уравнения и уравнение Бернулли.
Уравнение вида
, (9)
где
и
известные функции от х,
которое содержит искомую функцию у
и ее производную только в первых степенях
и не содержит их произведения, является
линейным уравнением.
Уравнение (9) можно записать в виде
, (10)
где
.
Выясним при каких условиях для линейных
дифференциальных уравнений будет
справедлива задача Коши: пусть
существует ли решение уравнения (9)
,
удовлетворяющее начальному условию
?
Согласно теореме
Пикара о существовании и единственности
решения задачи Коши для дифференциального
уравнения первого порядка в нормальной
форме, если функция
непрерывна в некоторой окрестности
точки
и имеет в этой окрестности непрерывную
частную производную по у,
то в некоторой окрестности точки
существует единственное решение
уравнения (10), удовлетворяющая начальному
условию
.
Функция
непрерывна в окрестности точки
тогда и только тогда, когда функции
и
непрерывны в окрестности точки
.
Производная по у
функции
является непрерывной в некоторой
окрестности точки
тогда и только тогда, когда функция
непрерывна в окрестности точки
.
Таким образом,
теорема Пикара справедлива для тех и
только тех точек плоскости, для которых
в некоторой окрестности точки
функции
и
определены и непрерывны.
С
ледовательно,
теорема Пикара для линейных дифференциальных
уравнений справедлива во всей области,
представляющей собой полосу, параллельную
оси ОУ
и пересекающую ось ОХ
по множеству на котором функции
и
определены и непрерывны.
Предположим, что
функции
и
определены и непрерывны на отрезке
,
тогда в любой точке
полосы существует единственная кривая,
проходящая через эту точку, которая
является решением уравнения (9).
Выделяют линейные однородные и линейные неоднородные уравнения. Линейное однородное уравнение может быть записано в виде
. (11)
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, если его переписать в виде
.
Разделяя переменные, будем иметь
,
(
?)
интегрируя, получим
.
или
,
.
Потенцируя, найдем
,
или
.
Откуда
. (12)
Формула (12) содержит
все решения однородного уравнения (11).
В частности решение, которое удовлетворяет
уравнению
,
т.е. нулевое решение
содержится в этой формуле при
.
Таким образом мы получили общее решение
линейного однородного уравнения (11).
Рассмотрим теперь неоднородное линейное уравнение, т.е. уравнение вида
,
. (13)
Прежде всего докажем некоторые свойства решений линейных неоднородных уравнений.
1. Если
и
- решения уравнения (13), то разность этих
решений
является решением соответствующего
однородного уравнения (11).
Действительно,
положим
,
тогда
.
Подставляя полученные выражения для
и
в уравнение (11), будем иметь
.
2. Если
- решение уравнения (11), а
- решение уравнения (13), то их сумма
является решением уравнения (13).
Положим
,
тогда
.
Подставляя выражения для
и
в уравнение (13), получим
.
Пусть мы имеем
некоторое частное решение уравнения
(13), обозначим его
и пусть
- произвольное решение уравнения (13).
Тогда по свойству 1. их разность
является решением уравнения (11), т.е.
имеет вид (12):
,
следовательно,
.
По свойству 2.
является решением уравнения (13). Таким
образом, общее решение неоднородного
линейного уравнения равно сумме
какого-нибудь одного частного решения
этого уравнения и общего решения
соответствующего однородного уравнения.
Выясним, как можно найти частное решение неоднородного уравнения (13)? Для его нахождения можно воспользоваться методом неопределенных множителей.
Частное решение
будем искать в виде
,
тогда
.
Подставим полученные выражения для
и
,
получим
,
или
.
В качестве функции
выберем частное решение однородного
уравнения
,
тогда
.
Частное решение
получим из общего решения однородного
уравнения при
,
т.е.
.
Далее
,
откуда
.
Найдем частное решение этого уравнения
.
Следовательно,
.
А значит общее решение неоднородного
дифференциального уравнения (13) будет
иметь вид
.
Рассмотрим далее одно нелинейное уравнение, которое всегда приводится к линейному. Это уравнение Бернулли:
. (14)
Приведем это
уравнение к виду (10), где
.
Таким образом задача Коши имеет место
при тех же условиях.
В том случае, когда
уравнение (14) является линейным уравнением.
При
получаем уравнение
,
являющееся линейным однородным уравнением.
Будем считать, что
,
1.Разделим обе части этого уравнения на
у:
(
?).
Это уравнение можно переписать в виде
.
Введя новую
неизвестную функцию z:
,
получим уравнение
или
.
Это есть линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле
.