- •Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка.
- •Фундаментальная система решений и построение общего решения однородного линейного уравнения.
- •Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
- •Структура общего решения неоднородного линейного уравнения п-го порядка.
- •Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных.
Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка.
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и всех ее производных. Оно имеет вид
,
где - заданные на некотором интервалефункции. Еслина этом интервале, то уравнение называется линейнымоднородным, в противном случае уравнение называется неоднородным.
Так же как и ранее будем предполагать, что функции непрерывны на интервале. Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми начальными данными,, …,при. В частности, единственным решением однородного уравнения с нулевыми начальными условиями,, …,будет очевидно нулевое решение.
Для упрощения дальнейшего изложения материала, левую часть линейного уравнения обозначим через :
. (9)
Таким образом, есть результат выполнения над функциейу операций, указанных в правой части формулы (9), а именно: вычисление производных от функции у до порядка п включительно, умножение на заданные функциии сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символомL:
и будем его называть линейным дифференциальным оператором п-го порядка.
Например, пусть , тогда
.
Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):
1. ;
2. .
В справедливости этих свойств легко убедиться непосредственной проверкой. В самом деле, имеем
,
.
Из этих основных свойств оператора L следует, что
,
т.е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.
Используя оператор L, можно записать неоднородное и однородное линейные уравнения соответственно в виде
, (10)
и
. (11)
Если функция является решением уравнения (10) или (11) в некотором интервале, то значение оператораL от этой функции равно или нулю при всехх из:
, ,
или
, .
Установим некоторые свойства решений линейного однородного уравнения. Доказательства этих свойств основываются на свойствах 1 и 2 оператора L.
Теорема 1. Если функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения (11), то функция, гдеС - произвольная постоянная, тоже является решением этого уравнения.
Теорема 2. Если функции иявляются решениями линейного однородного уравнения (11), то сумма функций+тоже является решением этого уравнения.
Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами решений,, …,линейного однородного дифференциального уравнения (11) является решением того же уравнения.
Говоря о решении дифференциального уравнения, предполагаем, что это решение – действительная функция. Однако для однородного линейного уравнения наряду с действительными решениями следует ввести понятие комплексного решения.
Функция называется комплексным решением уравнения (11) в интервале, если она обращает это уравнение в тождество
,
справедливое при всех значениях х из интервала . Это тождество равносильно в силу свойств 2 и 1 оператораL следующему тождеству:
,
откуда вытекает, что
, ,,
а это значит, что функции иявляются решениями однородного уравнения (11).
Таким образом, действительная и мнимая части комплексного решения однородного линейного уравнения являются действительными решениями этого уравнения.